سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

ماتریس واحد (همانی)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 02 شهریور 1400
دسته‌بندی: ماتریس
امتیاز:
بازدید: 29 مرتبه

هرگاه در یک ماتریس قطری، تمام عضوهای روی قطر اصلی برابر عدد 1 باشد، ماتریس را واحد نامیده و عضو بی اثر عمل ضرب ماتریس ها می‌باشد. 

I2=10012×2I3=1000100013×3                 In=10...001...000...1n×n

نکته

1- برای هر nN ماتریس همانی In از مرتبه n×n یک ماتریس قطری است که تمام درایه های روی قطر اصلی آن برابر 1 است. 

2- در هر ماتریس همانی داریم: 

I2=I3==In=II=I2=I3==In

3- هر ماتریس همانی عضو خنثی برای عمل ضرب ماتریس های مربعی مرتبه An×n است:  

An×n×In=In×An×n=An×nA×I=abcd×1001=abcdI×A=1001×abcd=abcdA×I=I×A

4- اگر A هر ماتریس مربع مرتبه n و In ماتریس همانی n×n باشد، آن‌گاه: 

AnI=AIAn1+An2+...+A+IA+In=n0An+n1An1+...+   nn1A+I

تمرین

حاصل ضرب ماتریس C=2514 را در I2×2 بیابید. آیا CI=IC است؟

ماتریس I2×2=1001 را ماتریس واحد یا یکه می‌نامیم و آن را با I2×2 نمایش می‌دهیم.  


حاصل‌ضرب ماتریس C=2514 را در ماتریس I2×2 پیدا می‌کنیم:

CI=25141001=21+5020+5111+4010+41=2514IC=10012514=12+0115+0402+1105+14=2514CI=IC

اگر A=4624 باشد، ماتریس A6 را به‌دست آورید.

A2=46244624=4004=41001=4I


if   A2=4IA23=4I3A6=64I3    ;     I3=IA6=64I

اگر A2=5A2I در این‌صورت A3 را به‌دست آورید.  

A3=A2AA3=5A2IAA3=5A22IAA3=5A22AA3=55A2I2AA3=25A10I2AA3=23A10I

فرض کنید A'=A و B=A43A2+I در این‌صورت B' را به‌دست آورید.

B=A43A2+IB'=A43A2+I'B'=A4'3A2'+I'B'=A'43A'2+I     ;    A'=AB'=A43A2+IB'=A43A2+I    ;    B=A43A2+IB'=B

تمرین

فرض کنیم A یک ماتریس 2×2 باشد که ستون‌های آن u و v می‌باشند و A=u,v و u و v بردارهایی در R2 هستند.

اگر u'u=1 و u'v=0 ثابت کنید A'A=I

v=v1v2   ,   u=u1u2u'u=1u1u2u1u2=1u12+u22=1v'v=1v1v2v1v2=1v12+v22=1u'v=0u1u2v1v2=0u1v1+u2v2=0


A'A=u1u2v1v2u1v1u2v2A'A=u12+u22u1v1+u2v2v1u1+v2u2v12+v22A'A=1001A'A=I

تمرین

اگر A و B دو ماتریس مربع هم‌مرتبه باشند، آن‌گاه کدام یک از گزاره‌های زیر درست است؟

1- AB2=A2B2

2- AB2=A2+B22AB

3- A+B2=A2+B2+2AB

4- A+I2=A2+2A+I

گزینه 4 صحیح است.

A+I2=A+IA+IA+I2=A2+AI+IA+I2   ;    AI=IA=AA+I2=A2+A+A+I2    ;    I2=IA+I2=A2+2A+I

تمرین

اگر A2=A و B=2AI باشد، در این‌صورت A3+B3 کدام است؟

1- 2A+B

2- A+2B

3- A+B

4- A-B

گزینه 3 صحیح است.

A3=A2A=AA=A2=AB3=2AI3=8A312A2I+6AI2I3=8A12A+6AI=2AI=BA3+B3=A+B

برای ارسال نظر وارد سایت شوید