سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

ماتریس واحد (همانی)

آخرین ویرایش: 20 آبان 1403

دسته‌بندی: ماتریس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

هرگاه در یک ماتریس قطری، تمام عضوهای روی قطر اصلی برابر عدد $1$ باشد، ماتریس را واحد نامیده و عضو بی اثر عمل ضرب ماتریس ها می‌باشد.

$\begin{array}{l} I_{2} = {[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]}_{2 \times 2} \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ \end{array}$

$I_{3} = {[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]}_{3 \times 3}$

$I_{n} = {[\begin{matrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ... & 1 \end{matrix}]}_{n \times n}$

نکته

1- برای هر $n \in N$ ماتریس همانی $I_{n}$ از مرتبه $n \times n$ یک ماتریس قطری است که تمام درایه های روی قطر اصلی آن برابر $1$ است.

2- در هر ماتریس همانی داریم:

$\begin{array}{l} I_{2} = I_{3} = \dots = I_{n} = I \\ I = I^{2} = I^{3} = \dots = I^{n} \end{array}$

3- هر ماتریس همانی عضو خنثی برای عمل ضرب ماتریس های مربعی مرتبه $A_{n \times n}$ است:

$\begin{array}{l} A_{n \times n} \times I_{n} = I_{n} \times A_{n \times n} = A_{n \times n} \end{array}$

$\begin{array}{l} A \times I = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \end{array}$

$I \times A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$

$A \times I = I \times A$

4- اگر $A$ هر ماتریس مربع مرتبه $n$ و $I_{n}$ ماتریس همانی $n \times n$ باشد، آن‌گاه:

$\begin{array}{l} A^{n} - I = (A - I) (A^{n - 1} + A^{n - 2} + ... + A + I) \end{array}$

${(A + I)}^{n} = (\begin{array}{l} n \\ 0 \end{array}) A^{n} + (\begin{array}{l} n \\ 1 \end{array}) A^{n - 1} + ... + (\begin{array}{l} n \\ n - 1 \end{array}) A + I$

تمرین

حاصل ضرب ماتریس $C = [\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 1 & 4 \end{matrix}]$ را در $I_{2 \times 2}$ بیابید. آیا $C I = I C$ است؟

ماتریس $I_{2 \times 2} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ را ماتریس واحد یا یکه می‌نامیم و آن را با $I_{2 \times 2}$ نمایش می‌دهیم.

حاصل‌ضرب ماتریس $C = [\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 1 & 4 \end{matrix}]$ را در ماتریس $I_{2 \times 2}$ پیدا می‌کنیم:

$\begin{array}{l} C I = [\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 1 & 4 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} (2) (1) + (5) (0) & (2) (0) + (5) (1) \\ (- 1) (1) + (4) (0) & (- 1) (0) + (4) (1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 1 & 4 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} I C = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 1 & 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} (1) (2) + (0) (- 1) & (1) (5) + (0) (4) \\ (0) (2) + (1) (- 1) & (0) (5) + (1) (4) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 1 & 4 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{matrix} C I = I C \end{matrix}$

اگر $A = [\begin{matrix} 4 & 6 \\ - 2 & - 4 \end{matrix}]$ باشد، ماتریس $A^{6}$ را به‌دست آورید.

$A^{2} = [\begin{matrix} 4 & 6 \\ - 2 & - 4 \end{matrix}] [\begin{matrix} 4 & 6 \\ - 2 & - 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}] = 4 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = 4 I$

$\begin{array}{l} i f A^{2} = 4 I \\ \Rightarrow {(A^{2})}^{3} = {(4 I)}^{3} \\ \Rightarrow A^{6} = 64 I^{3}; I^{3} = I \\ \Rightarrow A^{6} = 64 I \end{array}$

اگر $A^{2} = 5 A - 2 I$ در این‌صورت $A^{3}$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} A^{3} = A^{2} A \\ \Rightarrow A^{3} = (5 A - 2 I) A \\ \Rightarrow A^{3} = 5 A^{2} - 2 I A \\ \Rightarrow A^{3} = 5 A^{2} - 2 A \\ \Rightarrow A^{3} = 5 (5 A - 2 I) - 2 A \\ \Rightarrow A^{3} = 25 A - 10 I - 2 A \\ \Rightarrow A^{3} = 23 A - 10 I \end{array}$

فرض کنید $A^{'} = - A$ و $B = A^{4} - 3 A^{2} + I$ در این‌صورت $B^{'}$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} B = A^{4} - 3 A^{2} + I \\ \Rightarrow B^{'} = {(A^{4} - 3 A^{2} + I)}^{'} \\ \Rightarrow B^{'} = {(A^{4})}^{'} - {(3 A^{2})}^{'} + I^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B^{'} = {(A^{'})}^{4} - 3 {(A^{'})}^{2} + I; A^{'} = - A \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B^{'} = {(- A)}^{4} - 3 {(- A)}^{2} + I \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B^{'} = A^{4} - 3 A^{2} + I; B = A^{4} - 3 A^{2} + I \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B^{'} = B \end{array}$

تمرین

فرض کنیم $A$ یک ماتریس $2 \times 2$ باشد که ستون‌های آن $u$ و $v$ می‌باشند و $A = [u, v]$ و $u$ و $v$ بردارهایی در $R^{2}$ هستند.

اگر $u^{'} u = 1$ و $u^{'} v = 0$ ثابت کنید $A^{'} A = I$ .

$\begin{array}{l} v = [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}], u = [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} u^{'} u = 1 \Rightarrow [\begin{matrix} u_{1} & u_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}] = 1 \Rightarrow u_{1}^{2} + u_{2}^{2} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} v^{'} v = 1 \Rightarrow [\begin{matrix} v_{1} & v_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}] = 1 \Rightarrow v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} u^{'} v = 0 \Rightarrow [\begin{matrix} u_{1} & u_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}] = 0 \Rightarrow u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} A^{'} A = [\begin{matrix} u_{1} & u_{2} \\ v_{1} & v_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{'} A = [\begin{matrix} u_{1}^{2} + u_{2}^{2} & u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} \\ v_{1} u_{1} + v_{2} u_{2} & v_{1}^{2} + v_{2}^{2} \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{'} A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \\ \Rightarrow A^{'} A = I \end{array}$

تمرین

اگر $A$ و $B$ دو ماتریس مربع هم‌مرتبه باشند، آن‌گاه کدام یک از گزاره‌های زیر درست است؟

1- ${(A B)}^{2} = A^{2} B^{2}$

2- ${(A - B)}^{2} = A^{2} + B^{2} - 2 A B$

3- ${(A + B)}^{2} = A^{2} + B^{2} + 2 A B$

4- ${(A + I)}^{2} = A^{2} + 2 A + I$

گزینه $(4)$ صحیح است.

$\begin{array}{l} {(A + I)}^{2} = (A + I) (A + I) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(A + I)}^{2} = A^{2} + A I + I A + I^{2}; A I = I A = A \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(A + I)}^{2} = A^{2} + A + A + I^{2}; I^{2} = I \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(A + I)}^{2} = A^{2} + 2 A + I \end{array}$

تمرین

اگر $A^{2} = A$ و $B = (2 A - I)$ باشد، در این‌صورت $A^{3} + B^{3}$ کدام است؟

1- $2 A + B$

2- $A + 2 B$

3- $A + B$

4- $A - B$

گزینه $(3)$ صحیح است.

$\begin{array}{l} A^{3} = A^{2} A = (A) A = A^{2} = A \end{array}$

$\begin{matrix} B^{3} = {(2 A - I)}^{3} = 8 A^{3} - 12 A^{2} I + 6 A I^{2} - I^{3} = 8 A - 12 A + 6 A - I = 2 A - I = B \end{matrix}$

$\begin{matrix} A^{3} + B^{3} = A + B \end{matrix}$

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی اردیبهشت 1403

اگر $A, B$ دو ماتریس مربعی مرتبه $2$ و $A B = [\begin{matrix} 3 & 2 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix}]$ باشد، حاصل ضرب درایه های غیر واقع بر قطر اصلی ماتریس زیر کدام است؟

$A [\begin{matrix} 0 & 3 \\ - 6 & - 1 \end{matrix}] B - \frac{3}{2} A [\begin{matrix} 2 & 2 \\ - 4 & \frac{4}{3} \end{matrix}]$

$3$
$- 3$
$9$
$- 9$

مشاهده پاسخ تست

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

ماتریس

ماتریس واحد (همانی)

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟