ماتریس پوچ توان

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: ماتریس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

ماتریس مربع $A$ را پوچ توان می‌نامند، هرگاه به ازای یک عدد طبیعی مانند $n$ داشته باشیم:

$A^{n} = \bar{0}$

نکته

1- هر ماتریس اکیدا بالا مثلثی و هر ماتریس اکیدا پایین مثلثی $A_{n \times n}$ پوچ توان است و حداکثر به ازای عدد طبیعی $n$ که مرتبه ماتریس است یعنی $A^{n} = \bar{0}$ و مرتبه پوچ توانی آن حداکثر برابر $n$ است.

2- اگر $A$ و $B$ دو ماتریس تعویض پذیر و پوچ توان باشند، آن‌گاه $B A$ یا $A B$ نیز پوچ توان است و به‌صورت کلی‌تر اگر $B$ و $A$ دو ماتریس تعویض پذیر و حداقل یکی از آنها پوچ توان باشد، حاصل ضرب پوچ توان است.

3- اگر $A$ ماتریس پوچ توان و $λ \in R$ باشد، آن‌گاه $λ A$ پوچ توان است و مجموع یا تفاضل دو ماتریس پوچ توان و تعویض پذیر، پوچ توان است.

4- به‌طور کلی هر ماتریسی به‌صورت $A = [\begin{matrix} m n & n^{2} \\ - m^{2} & - m n \end{matrix}]$ پوچ توان است.

تمرین

نشان دهید ماتریس‌های زیر پوچ توان است:

$A = [\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 1 & - 2 \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} \forall n = 2; A^{2} = \bar{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} A^{2} = [\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 1 & - 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 1 & - 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] = \bar{0} \end{array}$

$A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ - 2 & - 1 & - 3 \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} \forall n = 3; A^{3} = \bar{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} A \times A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ - 2 & - 1 & - 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ - 2 & - 1 & - 3 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ - 1 & - 1 & - 3 \end{matrix}] \\ \Rightarrow A^{3} = A^{2} \times A \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{3} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ - 1 & - 1 & - 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ - 2 & - 1 & - 3 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{3} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ \Rightarrow A^{3} = \bar{0} \end{array}$

تمرین

$i f A = {[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \end{matrix}]}_{3 \times 3} \Rightarrow A^{22} = ?$

هر ماتریس اکیدا پایین مثلثی $A_{n \times n}$ پوچ توان است و حداکثر به‌ازای عدد طبیعی $n$ که مرتبه ماتریس است $A^{n} = 0$ یعنی مرتبه پوچ توانی آن حداکثر برابر $n$ است.

چون حداکثر به‌ازای $n = 3$ داریم:

$\begin{array}{l} A^{3} = \bar{0} \\ A^{22} = A^{3} . A^{19}; A^{3} = \bar{0} \\ \Rightarrow A^{22} = \bar{0} \times A^{19} \\ \Rightarrow A^{22} = \bar{0} \end{array}$

$i f A = [\begin{matrix} 30 & 25 \\ - 36 & - 30 \end{matrix}] \Rightarrow A^{100} = ?$

به‌طور کلی هر ماتریس به‌صورت $A = [\begin{matrix} m n & n^{2} \\ - m^{2} & - m n \end{matrix}]$ پوچ توان است:

$\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} 30 & 25 \\ - 36 & - 30 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \times 6 & 5^{2} \\ - 6^{2} & - 5 \times 6 \end{matrix}] \Rightarrow A^{2} = \bar{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} A^{100} = A^{2} \times A^{98}; A^{2} = \bar{0} \\ \Rightarrow A^{100} = \bar{0} . A^{98} \\ \Rightarrow A^{100} = \bar{0} \end{array}$

$i f A = [\begin{matrix} 0 & 2 & 25 \\ 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \Rightarrow A^{26} + A^{2} = ?$

$A$ ماتریس اکیدا بالا مثلثی است، حداکثر دارای مرتبه پوچ توانی $3$ است.

$\begin{array}{l} A^{3} = \bar{0} \\ A^{26} + A^{2} \\ = A^{24} . A^{2} + A^{2} \\ = {(A^{3})}^{8} . A^{2} + A^{2}; A^{3} = \bar{0} \\ = 0 \times A^{2} + A^{2} \\ = A^{2} \\ = [\begin{matrix} 0 & 2 & 25 \\ 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 2 & 25 \\ 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 0 & 0 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{array}$

تمرین

ماتریس زیر یک ماتریس اکیدا بالا مثلثی است:

$A = [\begin{matrix} 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

ثابت کنید $A$ پوچ توان است مرتبه پوچ توانی آن را پیدا کنید.

$\begin{array}{l} A^{2} = [\begin{matrix} 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a c \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} A^{3} = A . A^{2} = [\begin{matrix} 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a c \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] = {[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]}_{3 \times 3} \end{array}$

مرتبه پوچی $3$ است و لذا $A$ پوچ توان است و چون $A$ ماتریس اکیدا بالا مثلثی است،مرتبه پوچی $A$ مساوی مرتبه ماتریس یعنی $3$ است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

ماتریس

ماتریس پوچ توان

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟