سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

ماتریس پوچ توان

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: ماتریس
امتیاز:
بازدید: 27 مرتبه

ماتریس مربع A را پوچ توان می‌نامند، هرگاه به ازای یک عدد طبیعی مانند n داشته باشیم:

An=0¯

نکته

1- هر ماتریس اکیدا بالا مثلثی و هر ماتریس اکیدا پایین مثلثی An×n پوچ توان است و حداکثر به ازای عدد طبیعی n که مرتبه ماتریس است یعنی An=0¯ و مرتبه پوچ توانی آن حداکثر برابر n است.   

2- اگر A و B دو ماتریس تعویض پذیر و پوچ توان باشند، آن‌گاه BA یا AB نیز پوچ توان است و به‌صورت کلی‌تر اگر B و A دو ماتریس تعویض پذیر و حداقل یکی از آنها پوچ توان باشد، حاصل ضرب پوچ توان است.

3- اگر A ماتریس پوچ توان و λR باشد، آن‌گاه λA پوچ توان است و مجموع یا تفاضل دو ماتریس پوچ توان و تعویض پذیر، پوچ توان است. 

4- به‌طور کلی هر ماتریسی به‌صورت A=mnn2m2mn پوچ توان است.

تمرین

نشان دهید ماتریس‌های زیر پوچ توان است:

A=2412

n=2  ;   A2=0¯A2=24122412=0000=0¯

A=113526213

n=3   ;    A3=0¯A×A=113526213113526213A2=000339113A3=A2×AA3=000339113113526213A3=000000000A3=0¯

تمرین

if   A=0001002503×3A22=?

هر ماتریس اکیدا پایین مثلثی An×n پوچ توان است و حداکثر به‌ازای عدد طبیعی n که مرتبه ماتریس است An=0 یعنی مرتبه پوچ توانی آن حداکثر برابر n است.


چون حداکثر به‌ازای n=3 داریم:

A3=0¯  A22=A3.A19    ;    A3=0¯  A22=0¯×A19A22=0¯

if   A=30253630A100=?

به‌طور کلی هر ماتریس به‌صورت A=mnn2m2mn پوچ توان است:

A=30253630=5×652625×6A2=0¯A100=A2×A98  ;  A2=0¯A100=0¯.A98A100=0¯

if   A=0225002000A26+A2=?

A ماتریس اکیدا بالا مثلثی است، حداکثر دارای مرتبه پوچ توانی 3 است.

A3=0¯A26+A2=A24.A2+A2=A38.A2+A2  ;   A3=0¯=0×A2+A2=A2=02250020000225002000=004000000

تمرین

ماتریس زیر یک ماتریس اکیدا بالا مثلثی است:

A=0ab00c000

ثابت کنید A پوچ توان است مرتبه پوچ توانی آن را پیدا کنید.

A2=0ab00c0000ab00c000=00000ac000A3=A.A2=0ab00c00000000ac000=0000000003×3


مرتبه پوچی 3 است و لذا A پوچ توان است و چون A ماتریس اکیدا بالا مثلثی است،مرتبه پوچی A مساوی مرتبه ماتریس یعنی 3 است.  

برای ارسال نظر وارد سایت شوید