ماتریس خود توان

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: ماتریس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

ماتریس مربع $A$ را خود توان می‌نامند، هرگاه:

$A^{2} = A$

قضیه

اگر $A$ خود توان باشد، آن‌گاه:

$\forall n \in N; A^{n} = A$

اثبات

اثبات به روش استقرای ریاضی:

فرض کنیم $A^{2} = A$ باشد:

$p (1) : n = 1 \Rightarrow A^{1} = A$

به‌ازای $n = 1$ تساوی برقرار است.

فرض استقرای ریاضی:

$p (k) : n = k \Rightarrow A^{k} = A$

حکم استقرای ریاضی:

$p (k + 1) : n = k + 1 \Rightarrow A^{k + 1} = A$

$\begin{array}{l} A^{k + 1} = A^{k} . A; A^{k} = A \\ \Rightarrow A^{k + 1} = (A) . A \\ \Rightarrow A^{k + 1} = A^{2}; A^{2} = A \\ \Rightarrow A^{k + 1} = A \end{array}$

تمرین

ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

$A = [\begin{matrix} - 1 & 3 & 5 \\ 1 & - 3 & - 5 \\ - 1 & 3 & 5 \end{matrix}]$

آیا ماتریس فوق، خود توان است؟

$\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} - 1 & 3 & 5 \\ 1 & - 3 & - 5 \\ - 1 & 3 & 5 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} A^{2} = [\begin{matrix} - 1 & 3 & 5 \\ 1 & - 3 & - 5 \\ - 1 & 3 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} - 1 & 3 & 5 \\ 1 & - 3 & - 5 \\ - 1 & 3 & 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 & 3 & 5 \\ 1 & - 3 & - 5 \\ - 1 & 3 & 5 \end{matrix}] \end{array}$