ماتریس متعامد

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: ماتریس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

ماتریس مربع $A_{n \times n}$ مفروض است، اگر $A^{'} A = A A^{'} = I$ باشد، آن‌گاه ماتریس $A$ را متعامد گویند.

واضح است که اگر $A$ متعامد باشد، آن‌گاه $A^{'}$ نیز متعامد است.

قضیه

اگر $A$ و $B$ متعامد باشند، آن‌گاه $A B$ متعامد است.

اثبات

فرض آن است که:

$\{\begin{cases} A A^{'} = A^{'} A = I \\ B B^{'} = B^{'} B = I \end{cases}$

می‌خواهیم ثابت کنیم که:

$(A B) {(A B)}^{'} = {(A B)}^{'} (A B) = I$

$\begin{array}{l} (A B) {(A B)}^{'} = (A B) (B^{'} A^{'}) = (A) (B B^{'}) (A^{'}) = A I A^{'} = A A^{'} = I \end{array}$

${(A B)}^{'} (A B) = (B^{'} A^{'}) (A B) = B^{'} (A^{'} A) B = B^{'} I B = B^{'} B = I$

تمرین

ثابت کنید ماتریس $A = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}]$ متعامد است.

$A^{'} A = [\begin{matrix} \cos θ & \sin θ \\ - \sin θ & \cos θ \end{matrix}] [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = I$

به‌همین ترتیب $A A^{'} = I$ می‌باشد.

تمرین

$A$ یک ماتریس $2 \times 2$ است به‌طوری‌که $[\begin{matrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}] A = \bar{0}$ ، در این‌‌‌صورت $A$ را بیابید:

فرض کنیم $A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ باشد:

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}] A = \bar{0} \\ \Rightarrow [\begin{matrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\begin{matrix} 5 a + 3 c & 5 b + 3 d \\ 2 a + c & 2 b + d \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} \{\begin{cases} 5 a + 3 c = 0 \\ 2 a + c = 0 \end{cases}〉 a = c = 0 \\ \{\begin{cases} 5 b + 3 d = 0 \\ 2 b + d = 0 \end{cases}〉 b = d = 0 \end{cases} \end{array}$

دستگاه، جواب غیر صفر ندارد یعنی $A = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] = \bar{0}$ است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

ماتریس

ماتریس متعامد

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟