سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

محاسبه شعاع دایره محاطی داخلی و خارجی

آخرین ویرایش: 28 بهمن 1402

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

معمولا در هندسه، طول شعاع دایره محاطی داخلی را با $r$ نشان می‌دهند.

محاسبه شعاع دایره محاطی داخلی و خارجی - پیمان گردلو

برای محاسبه $r$ بر حسب $R$ و خطوط مثلثاتی زوایا، از فرمول $S = p r$ استفاده می‌کنیم:

$\begin{array}{l} S = p r \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow r = \frac{S}{p} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow r = \frac{2 R^{2} \sin A \sin B \sin C}{4 R \cos \frac{A}{2} . \cos \frac{B}{2} . \cos \frac{C}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow r = \frac{2 R^{2} . (2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}) . (2 \sin \frac{B}{2} . \cos \frac{B}{2}) . (2 \sin \frac{C}{2} . \cos \frac{C}{2})}{4 R \cos \frac{A}{2} . \cos \frac{B}{2} . \cos \frac{C}{2}} \end{array}$

$\Rightarrow r = 4 R \sin \frac{A}{2} . \sin \frac{B}{2} . \sin \frac{C}{2}$

برای محاسبه شعاع دایره محاطی خارجی به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

در مثلث $A B C$ اگر $I_{a}$ مرکز دایره محاطی خارجی نظیر راس $A$ باشد و طول شعاع این دایره $r_{a}$ فرض گردد، در مثلث قائم‌الزاویه $A E I_{a}$ داریم:

$\frac{r_{a}}{A E} = \tan \frac{A}{2}$

از تساوی فوق به روابط زیر می‌رسیم:

$\begin{array}{l} r_{a} = 4 R \sin \frac{A}{2} . \cos \frac{B}{2} . \cos \frac{C}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} r_{b} = 4 R \sin \frac{B}{2} . \cos \frac{A}{2} . \cos \frac{C}{2} \end{array}$

$r_{c} = 4 R \sin \frac{C}{2} . \cos \frac{A}{2} . \cos \frac{B}{2}$

تمرین

ثابت كنيد در هر مثلث نامساوی $p^{2} \geq 27 r^{2}$ برقرار است.

اگر $x \geq 0$ و $y \geq 0$ باشند، در اين‌صورت خواهيم داشت:

$\begin{array}{l} {(\sqrt{x} - \sqrt{y})}^{2} \geq 0 \\ \Rightarrow x - 2 \sqrt{x} . \sqrt{y} + y \geq 0 \\ \Rightarrow x + y \geq 2 \sqrt{x} . \sqrt{y} \\ \Rightarrow x + y \geq 2 \sqrt{x . y} \end{array}$

به‌همين ترتيب می‌توان نامساوی زیر را ثابت نمود:

$x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{x . y . z}$

كه در آن $x \geq 0$ و $y \geq 0$ و $z \geq 0$ بنابراين می‌توان نوشت:

$\begin{array}{l} [(p - a) + (p - b) + (p - c)] \geq 3 \sqrt[3]{(p - a) (p - b) (p - c)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{3} [(p - a) + (p - b) + (p - c)] \geq \sqrt[3]{(p - a) (p - b) (p - c)}; p = \frac{1}{2} (a + b + c) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{3} [(3 p - (a + b + c)] \geq \sqrt[3]{\frac{p (p - a) (p - b) (p - c)}{p}}; S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{3 p - 2 p}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{S^{2}}{p}}; S = p . r \\ \Rightarrow \frac{p}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{p^{2} r^{2}}{p}} \\ \Rightarrow p^{2} \geq 27 r^{2} \end{array}$

به‌ازای $a = b = c$ مقدار $p$ حداقل ممكن می‌باشد كه در اين‌صورت $p^{2} = 27 r^{2}$ است. يعني بين كليه مثلث‌های محيط بر دايره، مثلث متساوی‌الاضلاع، كوچک‌ترين محيط را خواهد داشت.

زوايای مثلث متساوی‌الساقينی را چنان پيدا كنيد كه نسبت $\frac{r}{R}$ حداكثر مقدار ممكن باشد.

$\{\begin{cases} B = C \\ A + B + C = π \Rightarrow B + C = π - A \Rightarrow 2 B = π - A \Rightarrow B = \frac{π}{2} - - \frac{A}{2} \end{cases}〉 C = B = \frac{π}{2} - - \frac{A}{2}$

$\begin{array}{l} r = 4 R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \\ \Rightarrow r = 4 R \sin \frac{A}{2} \sin^{2} \frac{B}{2} \\ \Rightarrow \frac{r}{R} = 4 \sin \frac{A}{2} \sin^{2} \frac{B}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{r}{R} = 2 \sin \frac{A}{2} (1 - \cos B); \cos B = \sin \frac{A}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{r}{R} = 2 \sin \frac{A}{2} (1 - \sin \frac{A}{2}) \\ \Rightarrow \frac{r}{R} = 2 \sin \frac{A}{2} - 2 \sin^{2} \frac{A}{2} \\ \Rightarrow \frac{r}{R} = \frac{1}{2} - {(\sqrt{2} \sin \frac{A}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} \end{array}$

نسبت $\frac{r}{R}$ وقتی ماكزيمم است که داشته باشیم:

$\begin{array}{l} {(\sqrt{2} \sin \frac{A}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} = 0 \\ \Rightarrow \sqrt{2} \sin \frac{A}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \\ \Rightarrow \sin \frac{A}{2} = \frac{1}{2}; 0 < A < π \\ \Rightarrow \frac{A}{2} = 30^{\circ} \\ \Rightarrow A = 60^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} A + B + C = π, B = C \Rightarrow A = B = C = \frac{π}{3} \end{array}$

تمرین

در مثلثی رابطه زير مفروض است:

$\frac{1}{r_{a}} + \frac{1}{r} = \frac{k}{2 a}$

به‌فرض $\hat{B} - \hat{C} = α$ و با شرط $0 < α < \frac{π}{2}$ نتيجه بگيريد:

$8 \cos \frac{α}{2} . \cos \frac{A}{2} = k \sin B \sin C$

$\begin{array}{l} \frac{1}{r_{a}} + \frac{1}{r} = \frac{k}{2 a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{4 R \sin \frac{A}{2} . \cos \frac{B}{2} . \cos \frac{C}{2}} + \frac{1}{4 R \sin \frac{A}{2} . \sin \frac{B}{2} . \sin \frac{C}{2}} = \frac{k}{4 R \sin A} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{4 R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}} + \frac{1}{4 R \sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}} = \frac{k}{8 R \sin \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{A}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{\cos \frac{B}{2} . \cos \frac{C}{2}} + \frac{1}{\sin \frac{B}{2} . \sin \frac{C}{2}} = \frac{k}{2 \cos \frac{A}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{\sin \frac{B}{2} . \sin \frac{C}{2} + \cos \frac{B}{2} . \cos \frac{C}{2}}{(\sin \frac{B}{2} . \cos \frac{B}{2}) (\sin \frac{C}{2} . \cos \frac{C}{2})} = \frac{k}{2 \cos \frac{A}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{\cos \frac{B - C}{2}}{\frac{1}{2} \sin B . \frac{1}{2} \sin C} = \frac{k}{2 \cos \frac{A}{2}}; i f \frac{\hat{B} - \hat{C}}{2} = \frac{α}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{\cos \frac{α}{2}}{\frac{1}{2} \sin B . \frac{1}{2} \sin C} = \frac{k}{2 \cos \frac{A}{2}} \\ \Rightarrow 8 \cos \frac{α}{2} . \cos \frac{A}{2} = k \sin B . \sin C \end{array}$

به‌كمک رابطه فوق معادله درجه دومی بر حسب $\cos \frac{A}{2}$ تشكيل دهيد و زوایای $B$ و $C$ را تعيين كنيد.

$\begin{array}{l} 8 \cos \frac{α}{2} . \cos \frac{A}{2} = k \sin B . \sin C \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 8 \cos \frac{α}{2} . \cos \frac{A}{2} = \frac{k}{2} [\cos (B - C) - \cos (B + C)] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 8 \cos \frac{α}{2} . \cos \frac{A}{2} = \frac{k}{2} (\cos α + \cos A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 8 \cos \frac{α}{2} . \cos \frac{A}{2} = \frac{k}{2} [1 - 2 \sin^{2} \frac{α}{2} + \cos A] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 8 \cos \frac{α}{2} . \cos \frac{A}{2} = \frac{k}{2} [(1 + \cos A) - 2 \sin^{2} \frac{α}{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 8 \cos \frac{α}{2} . \cos \frac{A}{2} = \frac{k}{2} [2 \cos^{2} \frac{A}{2} - 2 \sin^{2} \frac{α}{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k \cos^{2} \frac{A}{2} - 8 \cos \frac{α}{2} \cos \frac{A}{2} - k \sin^{2} \frac{α}{2} = 0 \end{array}$

حدود $k$ را بر حسب $α$ تعيين كنيد.

$\hat{B} - \hat{C} < \hat{B} + \hat{C} < π \Rightarrow \frac{\hat{B} - \hat{C}}{2} < \frac{\hat{B} + \hat{C}}{2} < \frac{π}{2} \Rightarrow \sin \frac{α}{2} < \cos \frac{A}{2} < 1$

يک ريشه معادله درجه دوم بين $\sin \frac{α}{2}, 1$ می‌باشد. برای داشتن جواب بايد داشته باشیم: (قضیه بولتزوانو)

$\begin{array}{l} f (1) > 0 \\ \Rightarrow k - 8 \cos \frac{α}{2} - k \sin^{2} \frac{α}{2} > 0 \\ \Rightarrow k (1 - \sin^{2} \frac{α}{2}) - 8 \cos \frac{α}{2} > 0 \\ \Rightarrow k \cos^{2} \frac{α}{2} - 8 \cos \frac{α}{2} > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} f (\sin \frac{α}{2}) < 0 \\ \Rightarrow - 8 \cos \frac{α}{2} \sin \frac{α}{2} < 0 \\ \Rightarrow - 4 \sin α < 0 \\ \Rightarrow k \cos^{2} \frac{α}{2} - 8 \cos \frac{α}{2} > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \frac{α}{2} (k \cos \frac{α}{2} - 8) > 0; \cos \frac{α}{2} > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k \cos \frac{α}{2} - 8 > 0 \\ \Rightarrow k > \frac{8}{\cos \frac{α}{2}} \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مثلثات

محاسبه شعاع دایره محاطی داخلی و خارجی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟