سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

محاسبه شعاع دایره محاطی داخلی و خارجی

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 29 مرتبه

معمولا در هندسه، طول شعاع دایره محاطی داخلی را با r نشان می‌دهند.

محاسبه شعاع دایره محاطی داخلی و خارجی - پیمان گردلو

برای محاسبه r بر حسب R و خطوط مثلثاتی زوایا، از فرمول S=pr استفاده می‌کنیم:

S=prr=Spr=2R2sinAsinBsinC4RcosA2.cosB2.cosC2r=2R2.2sinA2cosA2.2sinB2.cosB2.2sinC2.cosC24RcosA2.cosB2.cosC2r=4RsinA2.sinB2.sinC2

برای محاسبه شعاع دایره محاطی خارجی به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

در مثلث ABC اگر Ia مرکز دایره محاطی خارجی نظیر راس A باشد و طول شعاع این دایره ra فرض گردد، در مثلث قائم‌الزاویه AEIa داریم:

raAE=tanA2

از تساوی فوق به روابط زیر می‌رسیم:

ra=4RsinA2.cosB2.cosC2rb=4RsinB2.cosA2.cosC2rc=4RsinC2.cosA2.cosB2

تمرین

ثابت كنيد در هر مثلث نامساوی p227r2 برقرار است.

اگر x0 و y0 باشند، در اين‌صورت خواهيم داشت:

x-y20x2x.y+y0x+y2x.yx+y2x.y


به‌همين ترتيب می‌توان نامساوی زیر را ثابت نمود: 

x+y+z3x.y.z3


كه در آن x0 و y0 و z0  بنابراين می‌توان نوشت:

(pa)+(pb)+(pc)      3(pa)(pb)(pc)313(pa)+(pb)+(pc)       (pa)(pb)(pc)3   ;    p=12(a+b+c)13(3p(a+b+c)      p(pa)(pb)(pc)p3      ;     S=p(pa)(pb)(pc)3p2p3   S2p3          ;          S=p.rp3p2r2p3p227r2


به‌ازای a=b=c مقدار p حداقل ممكن می‌باشد كه در اين‌صورت p2=27r2 است. يعني بين كليه مثلث‌های محيط بر دايره، مثلث متساوی‌الاضلاع، كوچک‌ترين محيط را خواهد داشت.

زوايای مثلث متساوی‌الساقينی را چنان پيدا كنيد كه نسبت rR حداكثر مقدار ممكن باشد.

B=CA+B+C=πB+C=πA2B=πAB=π2A2C=B=π2A2


r=4RsinA2sinB2sinC2r=4RsinA2sin2B2rR=4sinA2sin2B2rR=2sinA2(1cosB)    ;    cosB=sinA2rR=2sinA21sinA2rR=2sinA22sin2A2rR=122sinA2122


نسبت rR وقتی ماكزيمم است که داشته باشیم:

2sinA2122=02sinA212=0sinA2=12       ;       0<A<πA2=30A=60A+B+C=π    ,    B=CA=B=C=π3

تمرین

در مثلثی رابطه زير مفروض است:

1ra+1r=k2a

به‌فرض B^C^=α و با شرط 0<α<π2 نتيجه بگيريد: 

8cosα2.cosA2=ksinBsinC

1ra+1r=k2a14RsinA2.cosB2.cosC2+14RsinA2.sinB2.sinC2=k4RsinA14RsinA2cosB2cosC2+14RsinA2sinB2sinC2=k8RsinA2cosA2

1cosB2.cosC2+1sinB2.sinC2=k2cosA2sinB2.sinC2+cosB2.cosC2sinB2.cosB2sinC2.cosC2=k2cosA2cosBC212sinB.12sinC=k2cosA2   ;     if  B^C^2=α2cosα212sinB.12sinC=k2cosA28cosα2.cosA2=ksinB.sinC

به‌كمک رابطه فوق معادله درجه دومی بر حسب cosA2 تشكيل دهيد و زوایای B و C را تعيين كنيد.

8cosα2.cosA2=ksinB.sinC8cosα2.cosA2=k2cosBCcosB+C8cosα2.cosA2=k2cosα+cosA8cosα2.cosA2=k212sin2α2+cosA8cosα2.cosA2=k21+cosA2sin2α28cosα2.cosA2=k22cos2A22sin2α2kcos2A28cosα2cosA2ksin2α2=0

حدود k را بر حسب α تعيين كنيد. 

B^C^<B^+C^<πB^C^2<B^+C^2<π2sinα2<cosA2<1


يک ريشه معادله درجه دوم بين sinα2  ,  1 می‌باشد. برای داشتن جواب بايد داشته باشیم: (قضیه بولتزوانو)

f1>0k8cosα2ksin2α2>0k1sin2α28cosα2>0kcos2α28cosα2>0


fsinα2<08cosα2sinα2<04sinα<0kcos2α28cosα2>0cosα2kcosα28>0 ; cosα2>0kcosα28>0k>8cosα2

برای ارسال نظر وارد سایت شوید