سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

سری‌ ها در مثلثات

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 36 مرتبه

در جبر و آنالیز دیدیم كه:

هرگاه در یک دستور کلی مانند ai که متغیری مانند i در آن، نقش اساس بازی می‌کند، به جای i عددهای طبیعی از 1 تا n قرار دهیم، n جمله به نام‌های an,...,a2,a1 پدید می‌آید.

مجموع این n جمله را سری گویند و دستور کلی را، جمله عمومی می‌نامند.

تمرین

جمله عمومی زیر را در نظر بگیرید و جملات تولید شده توسط آن را بنویسید.

ai=cosα+(i1)β

i=1a1=cosαi=2a2=cos(α+β)i=3a3=cos(α+2β)                  i=nan=cosα+(n1)β

سری حاصل از این جمله عمومی را بنویسید.

S=cosα+cos(α+β)+cos(α+2β)++cos[α+(n1)β]

S=i=1ncos[α+(i1)β]

 با روش‌های ابتکاری می‌توان S را در برخی سری‌ها یافت.

روش اول: 

اگر در یک سری با جمله nام بتوانیم رابطه‌ای به‌صورت an=fn+αfn پیدا کنیم، خواهیم توانست سری محدود یا نامحدود را محاسبه کنیم. 

تمرین

مطلوب است محاسبه مجموع زير:

S=1cosx.cos2x+1cos2x.cos3x++1cosnx.cosn+1x

an=1cosnx.cosn+1xan=sinxsinx.1cosnx.cosn+1xan=1sinx.sinn+1xnxcosnx.cosn+1xan=1sinx.tann+1xtannx    ;    fn=1sinx.tannxan=1sinx.fn+1xfn

an=1sinx.tann+1xtannxa1=1sinx.tan2xtanxa2=1sinx.tan3xtan2x                              an=1sinx.tann+1xtannx

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم‌، داریم:

S=1sinxtan2xtanx+1sinxtan3xtan2x++1sinxtann+1xtannx

پس از حذف جمله های قرينه خوا هيم داشت:


S=1sinxtann+1xtanxS=1sinxsinn+1xxcosx.cosn+1xS=2sinnxsin2x.cosn+1x

دریافت مثال

روش دوم:

وقتی که با مجموع محدودی از سینوس‌ها و کسینوس‌ها سر و کار داشته باشیم که کمان‌های آنها به دنباله حسابی باشند، می‌توان برای محاسبه مجموع روشی کلی به‌دست آورد.

حالت کلی این‌گونه مجموعه‌ها چنین است:

S1=sina+sina+d+sina+2d++sina+n1dS2=cosa+cosa+d+cosa+2d++cosa+n1d

در هر یک از این موارد، اگر طرفین تساوی را در 2sind2 (دو برابر سینوس نصف قدر نسبت) ضرب و سپس تمام جملات سمت راست تساوی را به مجموع تبدیل کنیم، مجموع مورد نظر به‌دست می‌آید.

تمرین

مطلوب است محاسبه مجموع زير:

S=sinα+sin2α++sinnα

عبارت فوق را در 2sinα2 ضرب و تقسيم می‌كنيم:

sinα+sin2α++sinnα=2sinα2(sinα+sin2α++sinnα)2sinα2=2sinα2sinα+2sinα2sin2α++2sinα2.sinnα2sinα2=cosα2cos3α2+cos3α2cos5α2++cos(2n1)α2cos(2n+1)α22sinα2=cosα2cos(2n+1)α22sinα2=sin(n+1)α2.sinnα2sinα2

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

سری‌ها در مثلثات

2,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید