سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

سری‌ ها در مثلثات

آخرین ویرایش: 28 بهمن 1402

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

قبل از مطالعه این بخش به مبحث سری مراجعه کنید.

در جبر و آنالیز دیدیم كه:

هرگاه در یک دستور کلی مانند $a_{i}$ که متغیری مانند $i$ در آن، نقش اساس بازی می‌کند، به جای $i$ عددهای طبیعی از $1$ تا $n$ قرار دهیم، $n$ جمله به نام‌های $a_{n}, ..., a_{2}, a_{1}$ پدید می‌آید.

مجموع این $n$ جمله را سری گویند و دستور کلی را، جمله عمومی می‌نامند.

تمرین

جمله عمومی زیر را در نظر بگیرید و جملات تولید شده توسط آن را بنویسید.

$a_{i} = \cos [α + (i - 1) β]$

$\begin{array}{l} i = 1 \Rightarrow a_{1} = \cos α \\ i = 2 \Rightarrow a_{2} = \cos (α + β) \\ i = 3 \Rightarrow a_{3} = \cos (α + 2 β) \\ ⋮ \\ i = n \Rightarrow a_{n} = \cos [α + (n - 1) β] \end{array}$

سری حاصل از این جمله عمومی را بنویسید.

$S = \cos α + \cos (α + β) + \cos (α + 2 β) + \cdot \cdot \cdot + \cos [α + (n - 1) β]$

$\Rightarrow S = \sum_{i = 1}^{n} \cos [α + (i - 1) β]$

محاسبه $S$ را در برخی سری‌ ها

روش اول

اگر در یک سری با جمله $n$ ام بتوانیم رابطه‌ای به‌صورت $a_{n} = f (n + α) - f (n)$ پیدا کنیم، خواهیم توانست سری محدود یا نامحدود را محاسبه کنیم.

تمرین

مطلوب است محاسبه مجموع زير:

$S = \frac{1}{\cos x . \cos 2 x} + \frac{1}{\cos 2 x . \cos 3 x} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\cos n x . \cos (n + 1) x}$

$\begin{array}{l} a_{n} = \frac{1}{\cos n x . \cos (n + 1) x} \\ \Rightarrow a_{n} = \frac{\sin x}{\sin x} . \frac{1}{\cos n x . \cos (n + 1) x} \\ \Rightarrow a_{n} = \frac{1}{\sin x} . \frac{\sin [(n + 1) x - n x]}{\cos (n x) . \cos (n + 1) x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a_{n} = \frac{1}{\sin x} . [\tan (n + 1) x - \tan (n x)]; f (n) = \frac{1}{\sin x} . \tan (n x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a_{n} = \frac{1}{\sin x} . [f (n + 1) x - f (n)] \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{n} = \frac{1}{\sin x} . [\tan (n + 1) x - \tan (n x)] \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} a_{1} = \frac{1}{\sin x} . (\tan 2 x - \tan x) \\ a_{2} = \frac{1}{\sin x} . (\tan 3 x - \tan 2 x) \\ ⋮ \\ a_{n} = \frac{1}{\sin x} . [\tan (n + 1) x - \tan (n x)] \end{cases} \end{matrix}$

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم‌، داریم:

$\begin{array}{l} S = \frac{1}{\sin x} (\tan 2 x - \tan x) + \frac{1}{\sin x} (\tan 3 x - \tan 2 x) + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sin x} [\tan (n + 1) x - \tan (n x)] \end{array}$

پس از حذف جمله های قرينه خوا هيم داشت:

$\begin{array}{l} S = \frac{1}{\sin x} [\tan (n + 1) x - \tan x] \\ \Rightarrow S = \frac{1}{\sin x} \frac{\sin [(n + 1) x - x]}{\cos x . \cos (n + 1) x} \\ \Rightarrow S = \frac{2 \sin n x}{\sin 2 x . \cos (n + 1) x} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

روش دوم

وقتی که با مجموع محدودی از سینوس‌ها و کسینوس‌ها سر و کار داشته باشیم که کمان‌های آنها به دنباله حسابی باشند، می‌توان برای محاسبه مجموع روشی کلی به‌دست آورد.

حالت کلی این‌گونه مجموعه‌ها چنین است:

$\begin{array}{l} S_{1} = \sin a + \sin (a + d) + \sin (a + 2 d) + \cdot \cdot \cdot + \sin [a + (n - 1) d] \end{array}$

$S_{2} = \cos a + \cos (a + d) + \cos (a + 2 d) + \cdot \cdot \cdot + \cos [a + (n - 1) d]$

در هر یک از این موارد، اگر طرفین تساوی را در $2 \sin \frac{d}{2}$ (دو برابر سینوس نصف قدر نسبت) ضرب و سپس تمام جملات سمت راست تساوی را به مجموع تبدیل کنیم، مجموع مورد نظر به‌دست می‌آید.

تمرین

مطلوب است محاسبه مجموع زير:

$S = \sin α + \sin 2 α + \cdot \cdot \cdot + \sin n α$

عبارت فوق را در $2 \sin \frac{α}{2}$ ضرب و تقسيم می‌كنيم:

$\begin{array}{l} \sin α + \sin 2 α + \cdot \cdot \cdot + \sin n α \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{2 s i n \frac{α}{2} (\sin α + \sin 2 α + \cdot \cdot \cdot + \sin n α)}{2 s i n \frac{α}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{2 \sin \frac{α}{2} \sin α + 2 \sin \frac{α}{2} \sin 2 α + \cdot \cdot \cdot + 2 \sin \frac{α}{2} . \sin n α}{2 \sin \frac{α}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{\cos \frac{α}{2} - \cos \frac{3 α}{2} + \cos \frac{3 α}{2} - \cos \frac{5 α}{2} + \cdot \cdot \cdot + \cos \frac{(2 n - 1) α}{2} - \cos \frac{(2 n + 1) α}{2}}{2 \sin \frac{α}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{\cos \frac{α}{2} - \cos \frac{(2 n + 1) α}{2}}{2 \sin \frac{α}{2}} \\ = \frac{\sin \frac{(n + 1) α}{2} . \sin \frac{n α}{2}}{\sin \frac{α}{2}} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

سری‌ها در مثلثات

5,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مثلثات

سری‌ ها در مثلثات

مقدمه

محاسبه $S$ را در برخی سری‌ ها

روش اول

روش دوم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

مثلثات

سری‌ ها در مثلثات

مقدمه

محاسبه S را در برخی سری‌ ها

روش اول

روش دوم

محاسبه $S$ را در برخی سری‌ ها