سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

حدود تغییرات نسبت‌ های مثلثاتی و نامساوی‌ های مثلثاتی

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 44 مرتبه

در این قسمت به اثبات چند نامساوی اکتفا می‌کنیم. برای توضیحات بیشتر به مبحث نامساوی رجوع کنید.

x:1cosx11sinx1x:<tanx<+<cotx<+

if  m=tanα2m1+m2=2tanα1+tan2α=sin2α    ;    1sin2α112m1+m211m21+m2=1tan2α1+tan2α=cos2α    ;    1cos2α111m21+m21   

دو کسر 2m1+m2 و 1m21+m2 همواره بین -1,1 هستند و به عنوان سینوس و کسینوس یک کمان قابل قبولند.  

2sinx±cosx2

a2+b2asinx+bcosxa2+b2

1<sinx+cosx2    ;    0<x<π2

1<sinxcosx<1    ;    0<x<π2

12sinx.cosx12

12sin4x+cos4x1

14sin6x+cos6x1

0<x<π2:m,nN,m,n2    ;    0<sinmx+cosnx1

اثبات

0<x<π20<sinx<10<sinm2x<1m2sinmxsin2x<10<cosx<10<cosn2x<1n2cosnxcos2x<1

طرفین نامساوی‌های فوق را در sin2x و cos2x که اعداد مثبتی هستند، ضرب می‌کنیم و جهت نامساوی عوض نمی‌شود:

if   sinmxsin2x<1sin2x.sinmxsin2x<sin2xsinmx<sin2xif   cosnxcos2x<1cos2x.cosnxcos2x<cos2xcosnx<cos2x

طرفین نامساوی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

sinmx+cosnx<sin2x+cos2xsinmx+cosnx<1

0<x<π2  :  m,n>2    ;    1<sinxm+cosxn<2

اثبات

0<x<π20<sinx<1sinxm<10<cosx<1cosxn<1sinxm+cosxn<2    ;    Ι

if   sinx<1sin(1m2)x>1(1m2)sin2x.sin(1m2)x>sin2xsin 1mx>sin2xif   cosx<1cos(1n2)x>1(1n2)cos2x.cos(1n2)x>cos2xcos 1nx>cos2x


طرفین نامساوی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

sin1mx+cos1nx>sin2x+cos2xsin1mx+cos1nx>1sinxm+cosxn>1     ;    ΙΙ

Ι,ΙΙsinxm+cosxn<2sinxm+cosxn>11<sinxm+cosxn<2

1+tanx<2cosx

کمان x در ناحیه اول یا چهارم می‌باشد.

cotx2>1+cotx

کمان x در ناحیه اول یا سوم باشد.

اثبات

cotx2>1+cotxcotx2>1+cot2x212cotx22cot2x2>2cotx2+cot2x21cot2x22cotx2+1>0(cotx21)2>0

(cotx21)2>0 همواره برقرار است، بنابراین نامساوی cotx2>1+cotx همواره درست است. 

tanx+cotx2    ;    Ιtanx+cotx2    ;    ΙΙ

در فرمول اولی کمان x در ناحیه اول یا سوم می‌باشد.

در فرمول دومی کمان x در ناحیه دوم یا چهارم می‌باشد.

اثبات

tanα+cotgα2sinαcosα+cosαsinα2sin2α+cos2αsinαcosα21sinαcosα2sinαcosα1212sinα.cosα12sinα.cosα0sin2α+cos2α2sinαcosα0sinα-cosα20

sinα-cosα20 همواره برقرار است، بنابراین نامساوی tanα+cotα2 همواره درست است. 

if  0<x<π2    ;   sinx<x<tanx

if  0<x<π4cosx>sinxcotgx>tanxif  π4<x<π2sinx>cosxtanx>cotgx

تذکر

اگر α<x<β باشد، نمی‌توان از طرفین این نامساوی نسبت مثلثاتی گرفت، بلکه بایستی کمان پیموده شده x را روی دایره مثلثاتی مشخص و کم‌ترین و بیش‌ترین مقدار نسبت مثلثاتی مورد نظر را از α تا β بدست آورد.

تمرین

اگر sinx=2m7 باشد، حدود m چيست؟

1sinx1sinx=2m7  12m7112m71712m7+162m83m4

اگر π6<x<5π6و sinx=2m7 باشد، حدود m چيست؟ 

if    π6<x<5π612<sinx112<2m7112+7<2m1+7152<2m8154<m4


حدود تغییرات - پیمان گردلو

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

حدود تغییرات نسبت‌های مثلثاتی و نامساوی‌های مثلثاتی

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید