سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

حدود تغییرات نسبت‌ ها و نامساوی های مثلثاتی

آخرین ویرایش: 28 بهمن 1402

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

در این قسمت به معرفی چند نامساوی مثلثاتی اکتفا می‌کنیم. برای توضیحات بیشتر به مبحث نامساوی رجوع کنید.

$\begin{array}{l} \forall x \in ℝ : \{\begin{cases} - 1 \leq \cos x \leq 1 \\ - 1 \leq \sin x \leq 1 \end{cases} \end{array}$

$\forall x \in ℝ : \{\begin{cases} - \infty < \tan x < + \infty \\ - \infty < \cot x < + \infty \end{cases}$

$\begin{array}{l} i f m = \tan α \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{2 m}{1 + m^{2}} = \frac{2 \tan α}{1 + \tan^{2} α} = \sin 2 α; - 1 \leq \sin 2 α \leq 1 \Rightarrow - 1 \leq \frac{2 m}{1 + m^{2}} \leq 1 \end{array}$

$\frac{1 - m^{2}}{1 + m^{2}} = \frac{1 - \tan^{2} α}{1 + \tan^{2} α} = \cos 2 α; - 1 \leq \cos 2 α \leq 1 \Rightarrow - 1 \leq \frac{1 - m^{2}}{1 + m^{2}} \leq 1$

دو کسر $\frac{2 m}{1 + m^{2}}$ و $\frac{1 - m^{2}}{1 + m^{2}}$ همواره بین $[- 1, 1]$ هستند و به عنوان سینوس و کسینوس یک کمان قابل قبولند.

$- \sqrt{2} \leq \sin x \pm \cos x \leq \sqrt{2}$

$- \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq a \sin x + b \cos x \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

$1 < \sin x + \cos x \leq \sqrt{2}; 0 < x < \frac{π}{2}$

$- 1 < \sin x - \cos x < 1; 0 < x < \frac{π}{2}$

$- \frac{1}{2} \leq \sin x . \cos x \leq \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} \leq \sin^{4} x + \cos^{4} x \leq 1$

$\frac{1}{4} \leq \sin^{6} x + \cos^{6} x \leq 1$

$0 < x < \frac{π}{2} : m, n \in N, m, n \geq 2; 0 < \sin^{m} x + \cos^{n} x \leq 1$

اثبات

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\begin{array}{l} 0 < \sin x < 1 \Rightarrow 0 < \sin^{m - 2} x < 1^{m - 2} \Rightarrow \frac{\sin^{m} x}{\sin^{2} x} < 1 \end{array}$

$0 < \cos x < 1 \Rightarrow 0 < \cos^{n - 2} x < 1^{n - 2} \Rightarrow \frac{\cos^{n} x}{\cos^{2} x} < 1$

طرفین نامساوی‌های فوق را در $\sin^{2} x$ و $\cos^{2} x$ که اعداد مثبتی هستند، ضرب می‌کنیم و جهت نامساوی عوض نمی‌شود:

$\begin{array}{l} i f \frac{\sin^{m} x}{\sin^{2} x} < 1 \Rightarrow s i n^{2} x . \frac{\sin^{m} x}{\sin^{2} x} < s i n^{2} x \Rightarrow \sin^{m} x < \sin^{2} x \end{array}$

$i f \frac{\cos^{n} x}{\cos^{2} x} < 1 \Rightarrow c o s^{2} x . \frac{\cos^{n} x}{\cos^{2} x} < c o s^{2} x \Rightarrow \cos^{n} x < \cos^{2} x$

طرفین نامساوی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$\sin^{m} x + \cos^{n} x < \sin^{2} x + \cos^{2} x \Rightarrow \sin^{m} x + \cos^{n} x < 1$

$0 < x < \frac{π}{2} : m, n > 2; 1 < \sqrt[m]{\sin x} + \sqrt[n]{\cos x} < 2$

اثبات

$0 < x < \frac{π}{2} \Rightarrow \{\begin{cases} 0 < \sin x < 1 \Rightarrow \sqrt[m]{\sin x} < 1 \\ 0 < \cos x < 1 \Rightarrow \sqrt[n]{\cos x} < 1 \end{cases}〉 \sqrt[m]{\sin x} + \sqrt[n]{\cos x} < 2; (Ι)$

$\begin{array}{l} i f \sin x < 1 \Rightarrow \sin^{(\frac{1}{m} - 2)} x > 1^{(\frac{1}{m} - 2)} \Rightarrow \sin^{2} x . \sin^{(\frac{1}{m} - 2)} x > \sin^{2} x \Rightarrow \sin^{\frac{1}{m}} x > \sin^{2} x \end{array}$

$i f \cos x < 1 \Rightarrow \cos^{(\frac{1}{n} - 2)} x > 1^{(\frac{1}{n} - 2)} \Rightarrow \cos^{2} x . \cos^{(\frac{1}{n} - 2)} x > \cos^{2} x \Rightarrow \cos^{\frac{1}{n}} x > \cos^{2} x$

طرفین نامساوی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$\sin^{\frac{1}{m}} x + \cos^{\frac{1}{n}} x > \sin^{2} x + \cos^{2} x \Rightarrow \sin^{\frac{1}{m}} x + \cos^{\frac{1}{n}} x > 1 \Rightarrow \sqrt[m]{\sin x} + \sqrt[n]{\cos x} > 1; (Ι Ι)$

$(Ι), (Ι Ι) \Rightarrow \{\begin{cases} \sqrt[m]{\sin x} + \sqrt[n]{\cos x} < 2 \\ \sqrt[m]{\sin x} + \sqrt[n]{\cos x} > 1 \end{cases}〉 1 < \sqrt[m]{\sin x} + \sqrt[n]{\cos x} < 2$

$1 + \tan x < \frac{2}{\cos x}$

کمان $x$ در ناحیه اول یا چهارم می‌باشد.

$\cot \frac{x}{2} > 1 + \cot x$

کمان $x$ در ناحیه اول یا سوم باشد.

اثبات

$\begin{array}{l} \cot \frac{x}{2} > 1 + \cot x \end{array}$

$\Rightarrow \cot \frac{x}{2} > 1 + \frac{\cot^{2} \frac{x}{2} - 1}{2 \cot \frac{x}{2}}$

$\Rightarrow 2 \cot^{2} \frac{x}{2} > 2 \cot \frac{x}{2} + \cot^{2} \frac{x}{2} - 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cot^{2} \frac{x}{2} - 2 \cot \frac{x}{2} + 1 > 0 \end{array}$

$\Rightarrow {(\cot \frac{x}{2} - 1)}^{2} > 0$

${(\cot \frac{x}{2} - 1)}^{2} > 0$ همواره برقرار است، بنابراین نامساوی $\cot \frac{x}{2} > 1 + \cot x$ همواره درست است.

$\{\begin{cases} \tan x + \cot x \geq 2; (Ι) \\ \tan x + \cot x \leq - 2; (Ι Ι) \end{cases}$

در فرمول اولی کمان $x$ در ناحیه اول یا سوم می‌باشد.

در فرمول دومی کمان $x$ در ناحیه دوم یا چهارم می‌باشد.

اثبات

$\begin{array}{l} \tan α + \cot g α \geq 2 \\ \Rightarrow \frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\cos α}{\sin α} \geq 2 \\ \Rightarrow \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\sin α \cos α} \geq 2 \\ \Rightarrow \frac{1}{\sin α \cos α} \geq 2 \\ \Rightarrow \sin α \cos α \leq \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \Rightarrow 1 \geq 2 \sin α . \cos α \\ \Rightarrow 1 - 2 \sin α . \cos α \geq 0 \end{array} \end{array}$

$\Rightarrow (\sin^{2} α + \cos^{2} α) - 2 \sin α \cos α \geq 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(\sin α - \cos α)}^{2} \geq 0 \end{array}$

${(\sin α - \cos α)}^{2} \geq 0$ همواره برقرار است، بنابراین نامساوی $\tan α + \cot α \geq 2$ همواره درست است.

$i f 0 < x < \frac{π}{2}; s i n x < x < t a n x$

$\begin{array}{l} i f 0 < x < \frac{π}{4} \Rightarrow \{\begin{cases} \cos x > \sin x \\ \cot g x > \tan x \end{cases} \end{array}$

$i f \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} \Rightarrow \{\begin{cases} \sin x > \cos x \\ \tan x > \cot g x \end{cases}$

تمرین

المپیاد ریاضی

معادله زیر را حل کنید:

$\sin^{50} y - x^{50} = 1$

$\begin{array}{l} \sin^{50} y - x^{50} = 1 \end{array}$

$\Rightarrow \sin^{50} y = x^{50} + 1; \{\begin{cases} x^{50} \geq 0 \\ x^{50} + 1 \geq 1 \end{cases}$

یادآوری)

$- 1 \leq \sin y \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \sin^{50} y \leq 1$

$\{\begin{cases} \sin^{50} y = x^{50} + 1 \geq 1 \\ \sin^{50} y \leq 1 \end{cases}〉 \sin^{50} y = 1$

$\begin{array}{l} \sin^{50} y = 1 \Rightarrow x^{50} + 1 = 1 \Rightarrow x^{50} = 0 \Rightarrow x = 0 \end{array}$

$i f \sin^{50} y = 1$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} \sin y = 1 \Rightarrow y = 2 k π + \frac{π}{2} \\ \sin y = - 1 \Rightarrow y = 2 k π + \frac{3 π}{2} \end{cases} \end{matrix}$

جواب‌ها برابر است با:

$\{(0 \frac{π}{2}), (0, \frac{3 π}{2})\}; y \in [0, 2, π)$

تمرین

نامساوی زیر را ثابت کنید:

$\frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x} \geq 4$

$\begin{array}{l} \frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\sin^{2} x . \cos^{2} x}; \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x} = \frac{1}{s i n^{2} x . \cos^{2} x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x} = \frac{4 \times 1}{4 \times \sin^{2} x . \cos^{2} x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x} = \frac{4}{{(2 \sin x . \cos x)}^{2}}; \sin 2 x = 2 \sin x . \cos x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x} = \frac{4}{{(\sin 2 x)}^{2}} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x} = \frac{4}{\sin^{2} 2 x}; \sin 2 x \neq 0$

$\begin{array}{l} 0 < \sin^{2} 2 x \leq 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{\sin^{2} 2 x} \geq 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{4}{\sin^{2} 2 x} \geq 1 \times 4 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x} \geq 4$

تمرین

المپیاد ریاضی 1393

اگر $x, y$ دو عدد حقیقی باشند به‌طوری که:

$\sin (x) + \cos (y) = 1$

بیش‌ترین مقدار عبارت زیر را بیابید.

$\sin (y) + \cos (x)$

$\begin{array}{l} \sin y + \cos x = A \\ \Rightarrow A^{2} = {(\sin y + \cos x)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = {(\sin y)}^{2} + {(\cos x)}^{2} + 2 \sin y . \cos x; A = \sin x + \cos y = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1^{1} = {(\sin y)}^{2} + {(\cos y)}^{2} + 2 \sin x . \cos y \end{array}$

از جمع طرفین معادلات اخیر داریم:

$\begin{array}{l} A^{2} + 1 = [{(\sin y)}^{2} + {(\cos y)}^{2}] + [{(\sin x)}^{2} + {(\cos x)}^{2}] + 2 (\sin y \cos x + \sin x \cos y) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} + 1 = 1 + 1 + 2 \sin (x + y) \\ \Rightarrow A^{2} = 1 + 2 \sin (x + y) \end{array}$

$\begin{array}{l} - 1 \leq \sin (x + y) \leq 1 \\ \Rightarrow - 2 \leq 2 \sin (x + y) \leq 2 \\ \Rightarrow - 1 \leq 1 + 2 \sin (x + y) \leq 3 \\ \Rightarrow - 1 \leq A^{2} \leq 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} \leq 3 \\ \Rightarrow |a| \leq \sqrt{3} \\ \Rightarrow - \sqrt{3} \leq A \leq \sqrt{3} \end{array}$

تذکر

اگر $α < x < β$ باشد، نمی‌توان از طرفین این نامساوی نسبت مثلثاتی گرفت، بلکه بایستی کمان پیموده شده $x$ را روی دایره مثلثاتی مشخص و کم‌ترین و بیش‌ترین مقدار نسبت مثلثاتی مورد نظر را از $α$ تا $β$ به‌دست آورد.

تمرین

اگر $\sin x = 2 m - 7$ باشد، حدود $m$ چيست؟

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} - 1 \leq \sin x \leq 1 \\ \sin x = 2 m - 7 \end{array}〉 - 1 \leq 2 m - 7 \leq 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} - 1 \leq 2 m - 7 \leq 1 \\ \Rightarrow 7 - 1 \leq 2 m \leq 7 + 1 \\ \Rightarrow 6 \leq 2 m \leq 8 \\ \Rightarrow 3 \leq m \leq 4 \end{array}$

اگر $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ و $\sin x = 2 m - 7$ باشد، حدود $m$ چيست؟

$\begin{array}{l} i f \frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} < \sin x \leq 1 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} < 2 m - 7 \leq 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} + 7 < 2 m \leq 1 + 7 \\ \Rightarrow \frac{15}{2} < 2 m \leq 8 \\ \Rightarrow \frac{15}{4} < m \leq 4 \end{array}$