ماکزیمم و مینیمم عبارات مثلثاتی

آخرین ویرایش: 28 بهمن 1402

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

در این قسمت به حل چند تمرین اکتفا می‌کنیم. برای توضیحات بیش‌تر به مبحث نامساوی ‌رجوع کنید.

تمرین

جدول زیر را در نظر بگیرید:

ماکزیمم و مینیمم عبارت های مثلثاتی - پیمان گردلو

مقادیر حداکثری و حداقلی توابع فوق را به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} (\sin x) : \{\begin{array}{l} \max (\sin x) = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{2} \\ \min (\sin x) = - 1 \Rightarrow x = \frac{3 π}{2} \end{array}〉 - 1 \leq \sin x \leq 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} (2 \sin x) : \{\begin{array}{l} \max (2 \sin x) = 2 \Rightarrow x = \frac{π}{2} \\ \min (2 \sin x) = - 2 \Rightarrow x = \frac{3 π}{2} \end{array}〉 - 2 \leq 2 \sin x \leq 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} (\frac{1}{2} \sin x) : \{\begin{array}{l} \max (\frac{1}{2} \sin x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{π}{2} \\ \min (\frac{1}{2} \sin x) = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{3 π}{2} \end{array}〉 - \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} \sin x \leq \frac{1}{2} \end{array}$

مقدار حداکثری و حداقلی تابع $y = a \sin x$ را به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} - 1 \leq \sin x \leq 1 \overset{a > 0}{\to} - a \leq a \sin x \leq a \Rightarrow - a \leq y \leq a \Rightarrow \{\begin{cases} \max (y) = a \\ \min (y) = - a \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} - 1 \leq \sin x \leq 1 \overset{a < 0}{\to} - a \geq a \sin x \geq a \Rightarrow a \leq y \leq - a \Rightarrow \{\begin{cases} \max (y) = - a \\ \min (y) = a \end{cases} \end{array}$

تمرین

ماکزیمم یا مینیمم عبارت های مثلثاتی زير را محاسبه كنيد.

$\begin{array}{l} \min (3 \sin x + 4 \cos x) \end{array}$

یادآوری)

$\begin{array}{l} - \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq a s i n x + b c o s x \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - \sqrt{9 + 16} \leq 3 \sin x + 4 \cos x \leq \sqrt{9 + 16} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - \sqrt{25} \leq 3 \sin x + 4 \cos x \leq \sqrt{25} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \min (3 \sin x + 4 \cos x) = - \sqrt{25} \\ \Rightarrow \min (3 \sin x + 4 \cos x) = - 5 \end{array}$

$\min (\sin^{4} x + \cos^{4} x - \sin^{2} x \cos^{2} x)$

$\begin{array}{l} (\sin^{4} x + \cos^{4} x) - \sin^{2} x \cos^{2} x \end{array}$

$\begin{array}{l} = (1 - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x) - \sin^{2} x \cos^{2} x \end{array}$

$\begin{array}{l} = 1 - 3 \sin^{2} x . \cos^{2} x \\ = \sin^{6} x + \cos^{6} x \end{array}$

یادآوری)

$\begin{array}{l} \frac{1}{4} \leq s i n^{6} x + c o s^{6} x \leq 1 \\ \Rightarrow \min (\sin^{6} x + \cos^{6} x) = \frac{1}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \min (\sin^{4} x + \cos^{4} x - \sin^{2} x \cos^{2} x) = \frac{1}{4} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

ماکزیمم و مینیمم عبارات مثلثاتی

12,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مثلثات

ماکزیمم و مینیمم عبارات مثلثاتی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟