محاسبه طول نیمسازهای خارجی

آخرین ویرایش: 28 بهمن 1402

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

حالتی را در نظر می‌گیریم که $\hat{B} > \hat{C}$ باشد.

طول نیمسازهای خارجی - پیمان گردلو

در مثلث $A B C$ نیمساز خارجی زاویه $A$ را رسم می‌کنیم. $(A D^{'})$

طول $A D^{'}$ را با ${d^{'}}_{a}$ نمایش می‌دهیم. اگر $y$ زاویه بین ارتفاع $A A^{'}$ و نیمساز خارجی $A D^{'}$ باشد، خواهیم داشت:

$\begin{array}{l} y = 90^{\circ} - \hat{B} + 90^{\circ} - \frac{\hat{A}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = \frac{\hat{A}}{2} + \frac{\hat{B}}{2} + \frac{\hat{C}}{2} - \hat{B} + 90^{\circ} - \frac{\hat{A}}{2} \end{array}$

$\Rightarrow y = 90^{\circ} - \frac{\hat{B} - \hat{C}}{2}$

$\begin{array}{l} Δ A A^{'} D^{'} : \frac{A A^{'}}{A D^{'}} = \cos y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{h_{a}}{{d^{'}}_{a}} = \cos (90^{\circ} - \frac{\hat{B} - \hat{C}}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{h_{a}}{{d^{'}}_{a}} = \sin \frac{\hat{B} - \hat{C}}{2} \end{array}$

$\Rightarrow {d^{'}}_{a} = \frac{h_{a}}{|\sin \frac{B - C}{2}|}$

به‌همین ترتیب داریم:

$\begin{array}{l} {d^{'}}_{b} = \frac{h_{b}}{|\sin \frac{A - C}{2}|} \end{array}$

${d^{'}}_{c} = \frac{h_{c}}{|\sin \frac{A - B}{2}|}$

تمرین

در مثلثی بین اضلاع، رابطه $b^{3} + c^{3} = a^{2} (b + c)$ برقرار است.

ثابت کنید در این مثلث $\hat{A} = 60^{\circ}$ است.

$\begin{array}{l} b^{3} + c^{3} = a^{2} (b + c) \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow (b + c) (b^{2} - b c + c^{2}) = a^{2} (b + c) \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow b^{2} + c^{2} - b c = a^{2} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow b^{2} + c^{2} - b c = (b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A) \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow \cos A = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \hat{A} = 60^{\circ} \end{array} \end{matrix}$

تمرین

هرگاه در یک مثلث بین ارتفاع و نیمسازهای داخلی و خارجی $\hat{A}$ رابطه $4 h_{a}^{2} = d_{a} \times {d^{'}}_{a}$ برقرار باشد:

زوایای $B$ و $C$ را محاسبه کنید. $(\hat{B} > \hat{C})$

$\begin{array}{l} 4 h_{a}^{2} = d_{a} \times {d^{'}}_{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 h_{a}^{2} = \frac{h_{a}}{\cos \frac{B - C}{2}} \times \frac{h_{a}}{\sin \frac{B - C}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 \sin \frac{B - C}{2} . \cos \frac{B - C}{2} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 \sin (B - C) = 1 \\ \Rightarrow \sin (B - C) = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} \hat{B} - \hat{C} = 30^{\circ} \\ \hat{B} - \hat{C} = 150^{\circ} \end{cases} \end{array}$

جواب $\hat{B} - \hat{C} = 150^{\circ}$ قابل قبول نیست، زیرا $\hat{A} = 60^{\circ}$ است.

$\{\begin{cases} \hat{B} - \hat{C} = 30^{\circ} \\ \hat{B} + \hat{C} = 120^{\circ} \end{cases}〉 \{\begin{cases} \hat{B} = 75^{\circ} \\ \hat{C} = 45^{\circ} \end{cases}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مثلثات

محاسبه طول نیمسازهای خارجی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟