سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

مفهوم Arc

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 42 مرتبه

تعریفArc

Arcsinm=αsinα=m    ;    1m1   ,  π2Arcsinmπ2Arccosm=αcosα=m    ;    1m1  ,  0ArccosmπArctanm=αtanα=m     ;    m      ,  π2<Arctanm<π2Arccotm=αcotgα=m    ;    m    ,  0<Arccotgm<π

تمرین

حاصل عبارات زیر را بیابید.

Arcsin32

if   Arcsinx=αsinα=xArcsin32=αsinα=32α=π3

Arccos(12)

if   Arccosx=αcosα=xArccos(12)=αcosα=12cosα=cosπ3cosα=cos(ππ3)α=ππ3α=2π3

Arctan3

if  Arctanx=αtanα=xArctan3=αtanα=3tanα=tanπ3tanα=tanπ3α=π3

Arctan3+Arctan13

Arctan3=αtanα=3tanα=tanπ3α=π3Arctan13=βtanβ=13=33tanβ=tanπ6β=π6α+β=π3+π6Arctan3+Arctan13=π2

arcsin32

arcsinx=2kπ+α2kπ+παarcsin32=2kπ+π32kπ+ππ3

اتحادهای مربوط به Arc 

دسته اول: در اتحادهای زیر x عدد حقیقی است.

Arcsin(x)=Arcsinx

اثبات

در فاصله -1,1 داریم:



sinα=xArcsinx=αsinα=xArcsinx=αArcsinx=Arcsinx

Arc​ cos(x)=πArccosx

اثبات

در فاصله -1,1 داریم:



cosα=xArccosx=αcosπα=xArccosx=παArccosx=πArccosx

Arctan(x)=Arctanx

Arccot(x)=πArccotx

دسته دوم: در اتحادهای زیر x عدد حقیقی است.

sin(Arcsinx)=x      ;    1x1

cos(Arccosx)=x    ;    1x1

tan(Arctanx)=x      ;    xR

cot(Arccotx)=x     ;    xR

sec(Arcsecx)=x     ;    x|1

دسته سوم: در اتحادهای زیر x یک كمان است.

Arcsin(sinx)=x    ;    π2xπ2  ,  if   π2x<3π2y=πx

Arccos(cosx)=x    ;    0xπ  ,  if   πx2πy=2πx

Arctan(tanx)=x    ;    π2<x<π2  ,  f   π2<x<3π2y=xπ

Arccot(cotx)=x    ;    0<x<π  ,  if    π<x<2πy=xπ

Arcsec(secx)=x    ;    x[0,π]  ,  xπ2

دسته چهارم: در اتحادهای زیر x عدد حقیقی است.

sin(Arccosx)=1x2

اثبات

در فاصله -1,1 داریم:

Arccosx=αx=cosαsinArccosx=sinα=1cos2α=1x2=1x2

sin(Arctanx)=x1+x2    ;    1x1

اثبات

Arctanx=αx=tanαsinArctanx=sinα=tan2α1+tan2α=x21+x2=x21+x2=x1+x2

یادآوری می‌کنیم که:

sin2α=tan2α1+tan2αsinα=tan2α1+tan2α

sin(Arccotx)=11+x2

cos(Arcsinx)=1x2

اثبات

در فاصله -1,1 داریم:

Arcsinx=αx=sinαcosArcsinx=cosα=1sin2α=1x2=1x2

cos(Arctanx)=11+x2    ;     1x1

اثبات

Arctanx=αx=tanαcosArctanx=cosα=11+tan2α=11+x2=11+x2

یادآوری می‌کنیم که:

cos2α=11+tan2α

cos(Arccotx)=x1+x2

tan(Arcsinx)=x1x2

اثبات

Arcsinx=αx=sinαcosα=1sin2αcosα=1x2tan(Arcsinx)=sin(Arcsinx)cos(Arcsinx)=sin(α)cos(α)=x1x2

tan(Arccosx)=1x2x    ;   1x1

اثبات

Arccosx=αx=cosαsinα=1cos2αsinα=1x2tan(Arccosx)=sin(Arccosx)cos(Arccosx)=sin(α)cos(α)=1x2x

tan(Arccotx)=1x

cot(Arcsinx)=1x2x

cot(Arccosx)=x1x2     ;   1x1

cot(Arctanx)=1x

دسته پنجم: در اتحادهای زیر x عدد حقیقی است.

Arcsinx+Arccosx=π2    ;    1x1

اثبات

sinx=cos(π2x)if  f(x)=sinxx=Arcsinf(x)f1(x)=Arcsinxif  g(x)=cos(π2x)π2x=Arccosg(x)π2g1(x)=Arccosxg1(x)=π2Arccosxif   f(x)=g(x)f1(x)=g1(x)Arcsinx=π2ArccosxArcsinx+Arccosx=π2      

Arctanx+Arccotx=π2    ;    xR

Arcsinx+Arcsiny=Arccos1x2.1y2xy    ;    0x10y1

ArcsinxArcsiny=Arcsinx1y2y1x2    ;    x0y1

Arcsinx=Arccos1x2

Arctanx+Arctan1x=π2    ;    x>0

اثبات

Arctanx=αx=tanαx>00<x<π2Arctan1x=β1x=tanβx>01x>00<β<π20<α+β<π0<tan1x+tan11x<πArctanx=αx=tanαArctan1x=β1x=tanβx=1tanβx=cotβ

از دو تساوی فوق نتیجه می‌گیریم که:

tanα=cotβtanα=tanπ2βα=π2βα+β=π2Arctanx+Arctan1x=π2

Arctanx+Arctany=Arccot1xyx+y

اثبات

if      x>00<Arctanx<π2if      y>00<Arctany<π20<Arctanx+Arctany<πz  Arctanx+Arctany=Arccotg  zArctanx+Arctany=Arccot  ztan(Arctanx+Arctany)=tan(Arccotgz)tan(Arctanx)+tan(Arctany)1tan(Arctanx).tan(Arctany)=1cotg(Arccotz)x+y1xy=1zz(x+y)=1xyz=1xyx+y

Arctanx+Arctany=Arccot  zArctanx+Arctany=Arccot1xyx+y

ArctanxArctany=Arctanxy1+xy

اثبات

if   x>00<Arctanx<π2if    y>00<Arctany<π20<ArctanxArctany<π  z  ArctanxArctany=ArctanzArctanxArctany=Arctanztan(ArctanxArctany)=tan(Arctanz)tan(Arctanx)tan(Arctany)1+tan(Arctanx).tan(Arctany)=tan(Arctanz)  xy1+xy=z

ArctanxArctany=ArctanzArctanxArctany=Arctanxy1+xy

تمرین

حاصل عبارات زير را پيدا كنيد.

tan1tan5π4

tan1tan5π4=αtanα=tan5π4tanα=tanπ+π4tanα=tanπ4α=π4tan1tan5π4=π4

sin1tan3π4

sin1tan3π4=αsinα=tan3π4sinα=tanππ4sinα=tanπ4sinα=1sinα=sinπ2sinα=sinπ2α=π2sin1tan3π4=π2

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مفهوم Arc

20,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید