سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

مفهوم Arc

آخرین ویرایش: 28 بهمن 1402

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف $A r c$

$\begin{array}{l} A r c \sin m = α \Leftrightarrow \sin α = m; - 1 \leq m \leq 1, - \frac{π}{2} \leq A r c \sin m \leq \frac{π}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} A r c \cos m = α \Leftrightarrow \cos α = m; - 1 \leq m \leq 1, 0 \leq A r c \cos m \leq π \end{array}$

$\begin{array}{l} A r c \tan m = α \Leftrightarrow \tan α = m; m \in ℝ, - \frac{π}{2} < A r c \tan m < \frac{π}{2} \end{array}$

$A r c \cot m = α \Leftrightarrow \cot g α = m; m \in ℝ, 0 < A r c \cot g m < π$

تمرین

حاصل عبارات زیر را بیابید.

$A r c \sin \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l} i f A r c s i n x = α \Leftrightarrow s i n α = x \end{array}$

$\begin{array}{l} A r c \sin \frac{\sqrt{3}}{2} = α \Rightarrow \sin α = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow α = \frac{π}{3} \end{array}$

$A r c \cos (- \frac{1}{2})$

$\begin{array}{l} i f A r c c o s x = α \Leftrightarrow c o s α = x \\ \begin{array}{l} A r c \cos (- \frac{1}{2}) = α \\ \Rightarrow \cos α = - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \cos α = - \cos \frac{π}{3} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos α = \cos (π - \frac{π}{3}) \\ \Rightarrow α = π - \frac{π}{3} \\ \Rightarrow α = \frac{2 π}{3} \end{array}$

$A r c \tan (- \sqrt{3})$

$\begin{array}{l} i f A r c t a n x = α \Leftrightarrow t a n α = x \\ A r c \tan (- \sqrt{3}) = α \\ \Rightarrow \tan α = - \sqrt{3} \\ \Rightarrow \tan α = - \tan \frac{π}{3} \\ \Rightarrow \tan α = \tan (- \frac{π}{3}) \\ \Rightarrow α = - \frac{π}{3} \end{array}$

$Arctan (\sqrt{3}) + Arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} Arctan (\sqrt{3}) = α \Rightarrow \tan α = \sqrt{3} \Rightarrow \tan α = \tan \frac{π}{3} \Rightarrow α = \frac{π}{3} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} Arctan (\frac{1}{\sqrt{3}}) = β \Rightarrow \tan β = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \tan β = \tan \frac{π}{6} \Rightarrow β = \frac{π}{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} α + β = \frac{π}{3} + \frac{π}{6} \Rightarrow Arctan (\sqrt{3}) + Arctan (\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{π}{2} \end{array}$

$a r c \sin \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a r c \sin x = \{\begin{cases} 2 k π + α \\ 2 k π + π - α \end{cases}$

$\begin{matrix} a r c \sin \frac{\sqrt{3}}{2} = \{\begin{cases} 2 k π + \frac{π}{3} \\ 2 k π + π - \frac{π}{3} \end{cases} \end{matrix}$

اتحادهای مربوط به $A r c$

دسته اول

در اتحادهای زیر $x$ عدد حقیقی است.

$A r c \sin (- x) = - A r c \sin x$

اثبات

در فاصله $[- 1, 1]$ داریم:

$\begin{array}{l} \sin α = x \Rightarrow A r c \sin x = α \end{array}$

$\sin (- α) = - x \Rightarrow A r c \sin (- x) = - α$

$A r c \sin (- x) = - A r c \sin x$

$A r c \cos (- x) = π - A r c \cos x$

اثبات

در فاصله $[- 1, 1]$ داریم:

$\begin{array}{l} \cos α = x \Rightarrow A r c \cos x = α \end{array}$

$\cos (π - α) = - x \Rightarrow A r c \cos (- x) = π - α$

$A r c \cos (- x) = π - A r c \cos x$

$A r c \tan (- x) = - A r c \tan x$

$A r c \cot (- x) = π - A r c \cot x$

دسته دوم

در اتحادهای زیر $x$ عدد حقیقی است.

$\sin (A r c \sin x) = x; - 1 \leq x \leq 1$

$\cos (A r c \cos x) = x; - 1 \leq x \leq 1$

$\tan (A r c \tan x) = x; \forall x \in R$

$\cot (A r c \cot x) = x; \forall x \in R$

$\sec (A r c \sec x) = x; x | \geq 1$

دسته سوم

در اتحادهای زیر $x$ یک كمان است.

$A r c \sin (\sin x) = x; - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}, i f \frac{π}{2} \leq x < \frac{3 π}{2} \Rightarrow y = π - x$

$A r c \cos (\cos x) = x; 0 \leq x \leq π, i f π \leq x \leq 2 π \Rightarrow y = 2 π - x$

$A r c \tan (\tan x) = x; - \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}, f \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2} \Rightarrow y = x - π$

$A r c \cot (\cot x) = x; 0 < x < π, i f π < x < 2 π \Rightarrow y = x - π$

$A r c \sec (\sec x) = x; x \in [0, π], x \neq \frac{π}{2}$

دسته چهارم

در اتحادهای زیر $x$ عدد حقیقی است.

$\sin (A r c \cos x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

اثبات

در فاصله $[- 1, 1]$ داریم:

$\begin{array}{l} A r c \cos x = α \Rightarrow x = \cos α \end{array}$

$\sin (A r c \cos x) = \sin α = \sqrt{1 - \cos^{2} α} = \sqrt{1 - {(x)}^{2}} = \sqrt{1 - x^{2}}$

$\sin (A r c \tan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}; - 1 \leq x \leq 1$

اثبات

$\begin{array}{l} A r c \tan x = α \Rightarrow x = \tan α \end{array}$

$\sin (A r c \tan x) = \sin α = \sqrt{\frac{\tan^{2} α}{1 + \tan^{2} α}} = \sqrt{\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

یادآوری می‌کنیم که:

$\sin^{2} α = \frac{\tan^{2} α}{1 + \tan^{2} α} \Rightarrow \sin α = \sqrt{\frac{\tan^{2} α}{1 + \tan^{2} α}}$

$\sin (A r c \cot x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

$\cos (A r c \sin x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

اثبات

در فاصله $[- 1, 1]$ داریم:

$\begin{array}{l} A r c \sin x = α \Rightarrow x = \sin α \end{array}$

$\cos (A r c \sin x) = \cos α = \sqrt{1 - \sin^{2} α} = \sqrt{1 - {(x)}^{2}} = \sqrt{1 - x^{2}}$

$\cos (A r c \tan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}; - 1 \leq x \leq 1$

اثبات

$\begin{array}{l} A r c \tan x = α \Rightarrow x = \tan α \end{array}$

$\cos (A r c \tan x) = \cos α = \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^{2} α}} = \sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

یادآوری می‌کنیم که:

$\cos^{2} α = \frac{1}{1 + \tan^{2} α}$

$\cos (A r c \cot x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

$\tan (A r c \sin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

اثبات

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} A r c \sin x = α \Rightarrow x = \sin α \end{array} \end{array}$

$\cos α = \sqrt{1 - \sin^{2} α} \Rightarrow \cos α = \sqrt{1 - x^{2}}$

$\tan (A r c \sin x) = \frac{\sin (A r c \sin x)}{\cos (A r c \sin x)} = \frac{\sin (α)}{\cos (α)} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

$\tan (A r c \cos x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}; - 1 \leq x \leq 1$

اثبات

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} A r c \cos x = α \Rightarrow x = \cos α \end{array} \end{array}$

$\sin α = \sqrt{1 - \cos^{2} α} \Rightarrow \sin α = \sqrt{1 - x^{2}}$

$\tan (A r c \cos x) = \frac{\sin (A r c \cos x)}{\cos (A r c \cos x)} = \frac{\sin (α)}{\cos (α)} = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$

$\tan (A r c \cot x) = \frac{1}{x}$

$\cot (A r c \sin x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$

$\cot (A r c \cos x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}; - 1 \leq x \leq 1$

$\cot (A r c \tan x) = \frac{1}{x}$

دسته پنجم

در اتحادهای زیر $x$ عدد حقیقی است.

$A r c \sin x + A r c \cos x = \frac{π}{2}; - 1 \leq x \leq 1$

اثبات

$\begin{array}{l} \sin x = \cos (\frac{π}{2} - x) \\ i f f (x) = \sin x \\ \Rightarrow x = A r c \sin f (x) \\ \Rightarrow f^{- 1} (x) = A r c \sin x \end{array}$

$\begin{array}{l} i f g (x) = \cos (\frac{π}{2} - x) \\ \Rightarrow \frac{π}{2} - x = A r c \cos g (x) \\ \Rightarrow \frac{π}{2} - g^{- 1} (x) = A r c \cos x \\ \Rightarrow g^{- 1} (x) = \frac{π}{2} - A r c \cos x \end{array}$

$\begin{array}{l} i f f (x) = g (x) \\ \Rightarrow f^{- 1} (x) = g^{- 1} (x) \\ \Rightarrow A r c \sin x = \frac{π}{2} - A r c \cos x \\ \Rightarrow A r c \sin x + A r c \cos x = \frac{π}{2} \end{array}$

$A r c \tan x + A r c \cot x = \frac{π}{2}; x \in R$

$A r c \sin x + A r c \sin y = A r c \cos (\sqrt{1 - x^{2}} . \sqrt{1 - y^{2}} - x y); \{\begin{cases} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 1 \end{cases}$

$A r c \sin x - A r c \sin y = A r c \sin (x \sqrt{1 - y^{2}} - y \sqrt{1 - x^{2}}); \{\begin{cases} x \geq 0 \\ y \leq 1 \end{cases}$

$A r c \sin x = A r c \cos \sqrt{1 - x^{2}}$

$A r c \tan x + A r c \tan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}; x > 0$

اثبات

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A r c \tan x = α \Rightarrow x = \tan α \overset{x > 0}{\to} 0 < x < \frac{π}{2} \\ A r c \tan \frac{1}{x} = β \Rightarrow \frac{1}{x} = \tan β \overset{x > 0 \Rightarrow \frac{1}{x} > 0}{\to} 0 < β < \frac{π}{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} 0 < α + β < π \Rightarrow 0 < \tan^{- 1} x + \tan^{- 1} \frac{1}{x} < π \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A r c \tan x = α \Rightarrow x = \tan α \\ A r c \tan \frac{1}{x} = β \Rightarrow \frac{1}{x} = \tan β \Rightarrow x = \frac{1}{\tan β} \Rightarrow x = \cot β \end{cases} \end{array}$

از دو تساوی فوق نتیجه می‌گیریم که:

$\begin{array}{l} \tan α = \cot β \\ \Rightarrow \tan α = \tan (\frac{π}{2} - β) \\ \Rightarrow α = \frac{π}{2} - β \\ \Rightarrow α + β = \frac{π}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A r c \tan x + A r c \tan \frac{1}{x} = \frac{π}{2} \end{array}$

$A r c \tan x + A r c \tan y = A r c \cot \frac{1 - x y}{x + y}$

اثبات

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} i f x > 0 \Rightarrow 0 < A r c \tan x < \frac{π}{2} \\ i f y > 0 \Rightarrow 0 < A r c \tan y < \frac{π}{2} \end{array}〉 0 < A r c \tan x + A r c \tan y < π \end{array}$

$\begin{array}{l} \exists z \in ℝ ∍ A r c \tan x + A r c \tan y = A r c \cot g z \end{array}$

$\begin{array}{l} A r c \tan x + A r c \tan y = A r c \cot z \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \tan (A r c \tan x + A r c \tan y) = \tan (A r c \cot g z) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{\tan (A r c \tan x) + \tan (A r c \tan y)}{1 - \tan (A r c \tan x) . \tan (A r c \tan y)} = \frac{1}{\cot g (A r c \cot z)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x + y}{1 - x y} = \frac{1}{z} \\ \Rightarrow z (x + y) = 1 - x y \\ \Rightarrow z = \frac{1 - x y}{x + y} \end{array}$

$A r c \tan x + A r c \tan y = A r c \cot z \Rightarrow A r c \tan x + A r c \tan y = A r c \cot \frac{1 - x y}{x + y}$

$A r c \tan x - A r c \tan y = A r c \tan \frac{x - y}{1 + x y}$

اثبات

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} i f x > 0 \Rightarrow 0 < A r c \tan x < \frac{π}{2} \\ i f y > 0 \Rightarrow 0 < A r c \tan y < \frac{π}{2} \end{array}〉 0 < A r c \tan x - A r c \tan y < π \end{array}$

$\begin{array}{l} \exists z \in ℝ ∍ A r c \tan x - A r c \tan y = A r c \tan z \end{array}$

$\begin{array}{l} A r c \tan x - A r c \tan y = A r c \tan z \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \tan (A r c \tan x - A r c \tan y) = \tan (A r c \tan z) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{\tan (A r c \tan x) - \tan (A r c \tan y)}{1 + \tan (A r c \tan x) . \tan (A r c \tan y)} = \tan (A r c \tan z) \end{array}$

$\Rightarrow \frac{x - y}{1 + x y} = z$

$A r c \tan x - A r c \tan y = A r c \tan z \Rightarrow A r c \tan x - A r c \tan y = A r c \tan \frac{x - y}{1 + x y}$

تمرین

حاصل عبارات زير را پيدا كنيد.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \tan α = \tan \frac{π}{4} \\ \Rightarrow α = \frac{π}{4} \\ \Rightarrow \tan^{- 1} (\tan \frac{5 π}{4}) = \frac{π}{4} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \tan^{- 1} (\tan \frac{5 π}{4}) = α \\ \Rightarrow \tan α = \tan \frac{5 π}{4} \\ \Rightarrow \tan α = \tan (π + \frac{π}{4}) \end{array} \end{matrix}$

$\sin^{- 1} (\tan \frac{3 π}{4})$

$\begin{array}{l} \sin^{- 1} (\tan \frac{3 π}{4}) = α \\ \Rightarrow \sin α = \tan \frac{3 π}{4} \\ \Rightarrow \sin α = \tan (π - \frac{π}{4}) \\ \Rightarrow \sin α = - \tan \frac{π}{4} \\ \Rightarrow \sin α = - 1 \\ \Rightarrow \sin α = - s i n \frac{π}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sin α = \sin (- \frac{π}{2}) \\ \Rightarrow α = - \frac{π}{2} \\ \Rightarrow \sin^{- 1} (\tan \frac{3 π}{4}) = - \frac{π}{2} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

مفهوم Arc

35,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مثلثات

مفهوم Arc

تعریف $A r c$

اتحادهای مربوط به $A r c$

دسته اول

دسته دوم

دسته سوم

دسته چهارم

دسته پنجم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

مثلثات

مفهوم Arc

تعریف Arc

اتحادهای مربوط به Arc

دسته اول

دسته دوم

دسته سوم

دسته چهارم

دسته پنجم

تعریف $A r c$

اتحادهای مربوط به $A r c$