فاصله بین مركز دایره محیطی و مركز دایره محاطی

آخرین ویرایش: 28 بهمن 1402

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

فرض کنیم $O$ مرکز دایره محیطی و $I$ مرکز دایره محاطی داخلی مثلث $A B C$ باشد.

فاصله بین مركز دایره محیطی و مركز دایره محاطی - پیمان گردلو

$I \hat{A} O = \frac{\hat{A}}{2} - 90^{\circ} + \hat{C} = \frac{\hat{A} - (\hat{A} + \hat{B} + \hat{C}) + 2 C}{2} = \frac{\hat{C} - \hat{B}}{2}$

با در نظر گرفتن $A O = R$ داریم:

$\begin{array}{l} A I = \frac{r}{\sin \frac{A}{2}} = 4 R \sin \frac{B}{2} . \sin \frac{C}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} Δ I O A : \end{array}$

$\begin{array}{l} O I^{2} = A O^{2} + A I^{2} - 2 A O . A I \cos O A I \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O I^{2} = R^{2} + 16 R^{2} \sin^{2} \frac{B}{2} . \sin^{2} \frac{C}{2} - 8 R^{2} \sin \frac{B}{2} . \sin \frac{C}{2} . \cos \frac{C - B}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O I^{2} = R^{2} + 8 R^{2} \sin \frac{B}{2} . \sin \frac{C}{2} [2 \sin \frac{B}{2} . \sin \frac{C}{2} - \cos \frac{C}{2} . \cos \frac{B}{2} - \sin \frac{C}{2} . \sin \frac{B}{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O I^{2} = R^{2} - 8 R^{2} \sin \frac{B}{2} . \sin \frac{C}{2} . \cos \frac{B + C}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O I^{2} = R^{2} [1 - 8 \sin \frac{B}{2} . \sin \frac{C}{2} . \sin \frac{A}{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O I^{2} = R^{2} - 2 R . 4 R \sin \frac{A}{2} . \sin \frac{B}{2} . \sin \frac{C}{2} \end{array}$

$\Rightarrow O I^{2} = R^{2} - 2 R r$

اگر $I_{3}, I_{2}, I_{1}$ به‌ترتیب مرکز دوایر محاطی خارجی باشند با همین روش ثابت می‌شود:

$\begin{array}{l} O I_{1}^{2} = R^{2} + 2 R r_{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} O I_{2}^{2} = R^{2} + 2 R r_{2} \end{array}$

$O I_{3}^{2} = R^{2} + 2 R r_{3}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مثلثات

فاصله بین مركز دایره محیطی و مركز دایره محاطی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟