سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

دستگاه‌ های مثلثاتی غیر‌ كلاسیک

آخرین ویرایش: 28 بهمن 1402

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

این دستگاه‌ها فاقد صورت کلی بوده و روش حل به خصوصی ندارند، با حل چند مثال به بررسی آنها می‌پردازیم.

تمرین

دستگاه های زير را حل كنيد.

$\{\begin{cases} x - y = \frac{π}{4} \\ \sin^{2} x - \sin^{2} y = \frac{1}{2} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \sin^{2} x - \sin^{2} y = \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1 - \cos 2 x}{2} - \frac{1 - \cos 2 y}{2} = \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos 2 y - \cos 2 x = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 2 \sin \frac{2 y + 2 x}{2} . \sin \frac{2 y - 2 x}{2} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 2 \sin (x + y) . \sin (y - x) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (- 2) \times (- 1) \sin (x + y) . \sin (x - y) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 \sin (x + y) . \sin (\frac{π}{4}) = 1 \\ \Rightarrow 2 \sin (x + y) . \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \\ \Rightarrow \sqrt{2} \sin (x + y) = 1 \\ \Rightarrow \sin (x + y) = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sin (x + y) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \sin (x + y) = \sin \frac{π}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x + y = 2 k π + \frac{π}{4} \\ x + y = 2 k π + π - \frac{π}{4} = 2 k π + \frac{3 π}{4} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x - y = \frac{π}{4} \\ x + y = 2 k π + \frac{3 π}{4} \end{cases}〉 \{\begin{cases} x = k π + \frac{π}{2} \\ y = k π + \frac{π}{4} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x - y = \frac{π}{4} \\ x + y = 2 k π + \frac{π}{4} \end{cases}〉 \{\begin{cases} x = k π + \frac{π}{4} \\ y = k π \end{cases} \end{array}$

$\{\begin{cases} x - y = \frac{π}{6} \\ \frac{\tan x}{\tan y} = \sin (x + y) + 2 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \frac{\tan x}{\tan y} = \sin (x + y) + 2 \\ \Rightarrow \frac{\tan x}{\tan y} = \frac{\sin (x + y) + 2}{1} \end{array}$

تركيب نسبت در صورت و تفضيل نسبت در مخرج:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{\tan x + \tan y}{\tan x - \tan y} = \frac{[\sin (x + y) + 2] + 1}{[\sin (x + y) + 2] - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{\tan x + \tan y}{\tan x - \tan y} = \frac{\sin (x + y) + 3}{\sin (x + y) + 1} \\ \Rightarrow \frac{\frac{\sin (x + y)}{\cos x \cos y}}{\frac{\sin (x - y)}{\cos x . \cos y}} = \frac{\sin (x + y) + 3}{\sin (x + y) + 1} \\ \Rightarrow \frac{\sin (x + y)}{\sin (x - y)} = \frac{\sin (x + y) + 3}{\sin (x + y) + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{\sin (x + y)}{\sin \frac{π}{6}} = \frac{\sin (x + y) + 3}{\sin (x + y) + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 \sin (x + y) = \frac{\sin (x + y) + 3}{\sin (x + y) + 1}; i f \sin (x + y) = P \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 P = \frac{P + 3}{P + 1} \\ \Rightarrow 2 P (P + 1) = P + 3 \\ \Rightarrow 2 p^{2} + 2 p = p + 3 \\ \Rightarrow 2 p^{2} + p - 3 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} p = 1 \Rightarrow \sin (x + y) = 1 \Rightarrow x + y = 2 k π + \frac{π}{2} \\ p = \frac{3}{2} \Rightarrow \sin (x + y) = \frac{3}{2} \end{cases} \end{array}$

$\sin (x + y) = \frac{3}{2}$ قابل قبول نیست.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x - y = \frac{π}{6} \\ x + y = 2 k π + \frac{π}{2} \end{cases}〉 \{\begin{cases} x = k π + \frac{π}{3} \\ y = k π + \frac{π}{6} \end{cases} \end{array}$

$\{\begin{cases} \tan x + \tan y = 5 \\ \cot x + \cot y = \frac{5}{6} \end{cases}$

روش اول -

$\begin{array}{l} \tan x + \tan y = 5 \Rightarrow a + b = 5 \Rightarrow b = 5 - a \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\tan y} = \frac{5}{6} \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \Rightarrow \frac{b + a}{a b} = \frac{5}{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{b + a}{a b} = \frac{5}{6}; a + b = 5 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{5}{a b} = \frac{5}{6}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a b = 6; b = 5 - a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a (5 - a) = 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 a - a^{2} = 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{2} - 5 a + 6 = 0 \end{array}$

$\Rightarrow (a - 2) (a - 3) = 0$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = 5 - 2 = 3 \\ a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow b = 5 - 3 = 2 \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \Rightarrow \tan x = 2 \Rightarrow x = A r c t a n 2 + n π \\ b = 3 \Rightarrow \tan y = 3 \Rightarrow y = A r c t a n 3 + n π \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = 3 \Rightarrow \tan x = 3 \Rightarrow x = A r c t a n 3 + n π \\ b = 2 \Rightarrow \tan y = 2 \Rightarrow y = A r c t a n 2 + n π \end{cases}$

روش دوم - طرفین تساوی فوق را در هم ضرب می‌کنیم.

$\begin{array}{l} \Rightarrow (\tan x + \tan y) (\cot x + \cot y) = 5 \times \frac{5}{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \tan x . \cot x + \tan x . \cot y + \tan y . \cot x + \tan y . \cot y = \frac{25}{6} \end{array}$

$\Rightarrow 1 + \frac{\tan x}{\tan y} + \frac{\tan y}{\tan x} + 1 = \frac{25}{6}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{\tan x}{\tan y} + \frac{\tan y}{\tan x} = \frac{13}{6}; \frac{\tan x}{\tan y} = u \end{array}$

$u + \frac{1}{u} = \frac{13}{6} \Rightarrow \{\begin{cases} u = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{\tan x}{\tan y} = \frac{2}{3} \Rightarrow \{\begin{cases} \tan x = 2 \\ \tan y = 3 \end{cases} \\ u = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{\tan x}{\tan y} = \frac{3}{2} \Rightarrow \{\begin{cases} \tan x = 3 \\ \tan y = 2 \end{cases} \end{cases}$

تمرین

المپیاد ریاضی 1387

دستگاه زیر مفروض است:

$\{\begin{cases} x, y, z \in [- π, π] \\ x + y + z = 0 \\ \sin x + \sin y + \sin z = 0 \\ \cos x + \cos y + \cos z = 0 \end{cases}$

حاصل زیر را محاسبه کنید:

$x^{2} + y^{2} + z^{2}$

به دنبال یک دسته جواب هستیم و به حل کامل و یافتن تمام جواب ها نمی‌پردازیم.

$i f x = 0 \Rightarrow (0) + y + z = 0 \Rightarrow y = - z$

پس دسته جواب مورد نظر برابر است با:

$\{\begin{cases} x = 0 \\ y = - z \end{cases}$

چون $\sin x$ تابعی فرد است، داریم:

$\sin (0) + \sin y + \sin (- y) = 0 + \sin y - \sin y = 0$

حالا کافی است که $y$ را به گونه‌ای بیابیم که معادله سوم برقرار باشد.

$\cos y$ تابعی زوج است:

$\begin{array}{l} \cos (0) + \cos y + \cos (- y) = 0 \\ \Rightarrow 1 + \cos y + \cos y = 0 \\ \Rightarrow 2 \cos y = - 1 \\ \Rightarrow \cos y = - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow y = \frac{2 π}{3} \end{array}$