سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

مثلثات و حل معادلات جبری

آخرین ویرایش: 30 آبان 1403

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

به کمک اتحادهای مثلثاتی و روابط بین نسبت‌های مثلثاتی کمان‌ها، می‌توان بعضی از معادلات جبری را حل کرد و جواب‌ها را با تقریب کافی به‌دست آورد.

این روش که اغلب بر روش تحلیلی (تعیین ریشه‌های معادله از راه رسم منحنی) برتری دارد، به‌سهولت و سرعت حل مساله کمک می‌کند و چون جواب‌های مساله به‌صورت مضربی از یک نسبت مثلثاتی به‌دست می‌آید.

با استفاده از جدول مقادیر مثلثاتی کمان‌ها، تعیین مقادیر عددی ریشه‌های معادله به آسانی مسیر می‌شود.

تمرین

مطلوب است حل معادلات زیر:

$x^{3} + p x + q = 0$

فرض کنیم $x = λ \cos α, λ \neq 0$ :

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(λ \cos α)}^{3} + p (λ \cos α) + q = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow λ^{3} \cos α^{3} + p λ \cos α + q = 0 \\ \Rightarrow \cos^{3} α + \frac{p}{λ^{2}} \cos α + \frac{q}{λ^{3}} = 0 \end{array}$

یادآوری می‌کنیم که:

$\cos 3 α = 4 \cos^{3} α - 3 \cos α \Rightarrow \cos^{3} α - \frac{3}{4} \cos α - \frac{1}{4} \cos 3 α = 0$

$\{\begin{cases} \cos^{3} α + \frac{p}{λ^{2}} \cos α + \frac{q}{λ^{3}} = 0 \\ \cos^{3} α - \frac{3}{4} \cos α - \frac{1}{4} \cos 3 α = 0 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \frac{p}{λ^{2}} = - \frac{3}{4} \Rightarrow λ = \pm 2 \sqrt{- \frac{p}{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{q}{λ^{3}} = - \frac{1}{4} \cos 3 α \Rightarrow \cos 3 α = \frac{- 4 q}{λ^{3}} \Rightarrow \cos 3 α = \frac{- 4 q}{\pm \frac{8}{3} (- p) \sqrt{- \frac{p}{3}}} \Rightarrow \cos 3 α = \frac{3 q}{\pm 2 p \sqrt{- \frac{p}{3}}} \end{array}$

حالا اگر $φ$ کوچک‌ترین کمان مثبتی باشد که برای آن $\cos φ = \frac{3 q}{2 p \sqrt{- \frac{p}{3}}}$ بشود، داریم:

$\cos 3 α = \frac{3 q}{\pm 2 p \sqrt{- \frac{p}{3}}} \Rightarrow \cos 3 α = \cos φ \Rightarrow 3 α = 2 k π \pm φ \Rightarrow α = \frac{2}{3} k π \pm \frac{φ}{3}$

که جواب‌های محصور بین $0$ و $2 π$ برای $α$ چنین است:

$\frac{φ}{3}, - \frac{φ}{3}, \frac{2 π}{3} + \frac{φ}{3}, \frac{2 π}{3} - \frac{φ}{3}, \frac{4 π}{3} + \frac{φ}{3}, \frac{4 π}{3} - \frac{φ}{3}, 2 π - \frac{φ}{3}$

اما با توجه به رابطه $\cos (2 π - θ) = \cos θ$ ، شش قوس بالا دو‌به‌دو کسینوس‌های مساوی دارند و جواب‌های معادله $x^{3} + p x + q = 0$ به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$\begin{array}{l} x_{1} = 2 \sqrt{- \frac{p}{3}} \cos \frac{φ}{3} \\ x_{2} = 2 \sqrt{- \frac{p}{3}} \cos (\frac{2 π}{3} - \frac{φ}{3}) \\ x_{3} = 2 \sqrt{- \frac{p}{3}} \cos (\frac{2 π}{3} + \frac{φ}{3}) \end{array}$

$8 x^{3} - 6 x = \sqrt{2}$

معادله را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} f (x) = 8 x^{3} - 6 x - \sqrt{2} = 0 \end{array}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} f (- 1) = - (2 + \sqrt{2}) < 0 \\ f (1) = 2 - \sqrt{2} > 0 \end{cases}〉 f (- 1) . f (1) < 0 \end{matrix}$

بنابراین معادله مفروض لااقل یک ریشه بین $1$ و $- 1$ دارد.

$\begin{array}{l} 8 x^{3} - 6 x = \sqrt{2} \\ \Rightarrow 4 x^{3} - 3 x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow 3 x - 4 x^{3} = - \frac{\sqrt{2}}{2}; x = \sin α \\ \Rightarrow 3 \sin α - 4 \sin^{3} α = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \sin 3 α = \sin (- \frac{π}{4}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} 3 α = 2 k π - \frac{π}{4} \Rightarrow α = \frac{2}{3} k π - \frac{π}{12} \\ 3 α = 2 k π + π + \frac{π}{4} \Rightarrow α = \frac{2}{3} k π + \frac{5 π}{12} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x = \sin (\frac{2}{3} k π - \frac{π}{12}) \\ x = \sin (\frac{2}{3} k π + \frac{5 π}{12}) \end{cases} \end{array}$

که اگر مقادیر صحیح $k$ را قرار دهیم، سه جواب زیر برای $x$ به‌دست می‌آید:

$\begin{array}{l} x_{1} = - \sin \frac{π}{12} \\ x_{2} = \sin \frac{5 π}{12} \\ x_{3} = - \sin \frac{π}{4} \end{array}$

و این جواب‌ها به‌صورت مقادیر جبری چنین است:

$\begin{array}{l} x_{1} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \\ x_{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ x_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

جواب حقیقی معادله زیر کدام گزینه است؟

$\sqrt{16 - 4 \sqrt{2} x} = x^{2} - 4 + x \sqrt{8 - x^{2}}$

$\sqrt{5 - \sqrt{5}}$
$\sqrt{6 - \sqrt{6}}$
$\sqrt{7 - \sqrt{7}}$
$\sqrt{8 - \sqrt{8}}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

المپیاد ریاضی

مقدار عبارت مثلثاتی زیر کدام یک از گزینه می‌باشد؟

$\sin^{7} (54^{\circ}) - \sin^{7} (18^{\circ})$

$\frac{29}{128}$
$\frac{29}{127}$
$\frac{29}{127}$
$\frac{29}{126}$

مشاهده پاسخ تست

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مثلثات

مثلثات و حل معادلات جبری

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟