سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

مثلثات و حل معادلات جبری

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 27 مرتبه

به کمک اتحادهای مثلثاتی و روابط بین نسبت‌های مثلثاتی کمان‌ها، می‌توان بعضی از معادلات جبری را حل کرد و جواب‌ها را با تقریب کافی به‌دست آورد.

این روش که اغلب بر روش تحلیلی (تعیین ریشه‌های معادله از راه رسم منحنی) برتری دارد، به‌سهولت و سرعت حل مساله کمک می‌کند و چون جواب‌های مساله به‌صورت مضربی از یک نسبت مثلثاتی به‌دست می‌آید، با استفاده از جدول مقادیر مثلثاتی کمان‌ها، تعیین مقادیر عددی ریشه‌های معادله به آسانی مسیر می‌شود.

تمرین

مطلوب است حل معادلات زیر:

x3+px+q=0

فرض کنیم x=λcosα  ,  λ0:

λcosα3+pλcosα+q=0λ3cosα3+pλcosα+q=0cos3α+pλ2cosα+qλ3=0


یادآوری می‌کنیم که:

cos3α=4cos3α3cosαcos3α34cosα14cos3α=0


cos3α+pλ2cosα+qλ3=0cos3α34cosα14cos3α=0


pλ2=34λ=±2p3qλ3=14cos3αcos3α=4qλ3cos3α=4q±83pp3cos3α=3q±2pp3


حالا اگر φ کوچک‌ترین کمان مثبتی باشد که برای آن cosφ=3q2pp3 بشود، داریم:

cos3α=3q±2pp3cos3α=cosφ3α=2kπ±φα=23kπ±φ3


که جواب‌های محصور بین 0 و 2π برای α چنین است:

φ3  ,φ3  ,2π3+φ3  ,  2π3φ3  ,  4π3+φ3  ,  4π3φ3  ,  2πφ3


اما با توجه به رابطه cos2πθ=cosθ، شش قوس بالا دو‌به‌دو کسینوس‌های مساوی دارند و جواب‌های معادله x3+px+q=0 به‌صورت زیر به‌دست می‌آید: 

x1=2p3cosφ3x2=2p3cos2π3φ3x3=2p3cos2π3+φ3

8x36x=2

معادله را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

fx=8x36x2=0f1=2+2<0f1=22>0  f1.f1<0


بنابراین معادله مفروض لااقل یک ریشه بین 1 و -1 دارد.

8x36x=24x33x=22                           3x4x3=22     ;   x=sinα3sinα4sin3α=22sin3α=sinπ43α=2kππ4α=23kππ123α=2kπ+π+π4α=23kπ+5π12  x=sin23kππ12x=sin23kπ+5π12


که اگر مقادیر صحیح k را قرار دهیم، سه جواب زیر برای x به‌دست می‌آید:

x1=sinπ12x2=sin5π12x3=sinπ4


و این جواب‌ها به‌صورت مقادیر جبری چنین است:

x1=264x2=2+64x3=22

برای ارسال نظر وارد سایت شوید