اتحادهای شرطی

آخرین ویرایش: 28 بهمن 1402

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

با در نظر گرفتن این‌که مجموع سه زاویه هر مثلث $180$ درجه و مجموع زوایای هر چهارضلعی $360$ درجه است، اتحادهایی بر این مبنا وجود دارد که با حل چند مساله به معرفی آنها می‌پردازیم.

تمرین

درستی اتحادهای شرطی زير را بررسی كنيد.

$i f α + β + γ = 0 \Rightarrow \sin α + \sin β + \sin γ = - 4 \sin \frac{α}{2} . \sin \frac{β}{2} . \sin \frac{γ}{2}$

$\begin{array}{l} α + β + γ = 0 \\ \Rightarrow β + γ = - α \\ \Rightarrow \frac{β + γ}{2} = - \frac{α}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} \sin \frac{β + γ}{2} = \sin (- \frac{α}{2}) \Rightarrow \sin \frac{β + γ}{2} = - \sin \frac{α}{2} \\ \cos \frac{β + γ}{2} = \cos (- \frac{α}{2}) \Rightarrow \cos \frac{β + γ}{2} = \cos \frac{α}{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin α + \sin β + \sin γ \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 \sin \frac{α}{2} . \cos \frac{α}{2} + 2 \sin \frac{β + γ}{2} . \cos \frac{β - γ}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 \sin \frac{α}{2} . \cos \frac{α}{2} - 2 \sin \frac{α}{2} . \cos \frac{β - γ}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 \sin \frac{α}{2} (\cos \frac{α}{2} - \cos \frac{β - γ}{2}) \\ = 2 \sin \frac{α}{2} (\cos \frac{β + γ}{2} - \cos \frac{β - γ}{2}) \\ = - 4 \sin \frac{α}{2} . \sin \frac{β}{2} . \sin \frac{γ}{2} \end{array}$

$i f α + β + γ = \frac{π}{2} \Rightarrow \tan α \tan β + \tan β \tan γ + \tan α . \tan γ = 1$

$\begin{array}{l} α + β + γ = \frac{π}{2} \\ \Rightarrow α + β = \frac{π}{2} - γ \\ \Rightarrow \tan (α + β) = \tan (\frac{π}{2} - γ) \\ \Rightarrow \tan (α + β) = \cot γ \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \tan (α + β) = \frac{1}{\tan γ} \\ \Rightarrow \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \cdot \tan β} = \frac{1}{\tan γ} \end{array}$