انتگرال معین (طول منحنی)

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

محاسبه طول منحنی

فرض کنیم تابع $f$ در فاصله $[a, b]$ پیوسته و در فاصله $(a, b)$ مشتق پیوسته داشته باشد.

برای محاسبه طول منحنی $y = f (x)$ از $x = a$ تا $x = b$ اگر وترهایی از منحنی را در نظر بگیریم، شبیه آن‌چه در محاسبه سطح و حجم بیان شد و با استفاده از قضیه میانگین در مورد مشتق و تعریف انتگرال معین به رابطه زیر می‌رسیم:

محاسبه طول منحنی - پیمان گردلو

$P = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x$

تمرین

مطلوب است محاسبه طول منحنی $y = \sqrt[3]{x^{2}}$ از $x = 1$ تا $x = 8$ .

$y = \sqrt[3]{x^{2}} \Rightarrow y^{'} = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

$\begin{array}{l} P = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x \\ \Rightarrow P = \int_{0}^{8} \sqrt{1 + {(\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}})}^{2}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P = \int_{0}^{8} \sqrt{1 + \frac{4}{9 \sqrt[3]{x^{2}}}} d x \\ \Rightarrow P = \int_{0}^{8} \frac{\sqrt{9 \sqrt[3]{x^{2}} + 4}}{3 \sqrt[3]{x}} d x \\ \Rightarrow P = \frac{1}{27} (40 \sqrt{40} - 4 \sqrt{4}) \end{array}$

محیط دایره‌ای به شعاع $R$ را محاسبه کنید.

طول منحنی - پیمان گردلو

مرکز دایره را بر مبدا مختصات منطبق می‌گیریم.

معادله دایره به‌صورت $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ خواهد بود. کافی است که طول ربع دایره $O A B$ را پیدا کنیم و مقدار را چهار برابر کنیم:

$\begin{array}{l} y = 0 \Rightarrow x^{2} = R^{2} \Rightarrow x = \pm R \\ x = 0 \Rightarrow y^{2} = R^{2} \Rightarrow y = \pm R \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} {y^{'}}_{x} = - \frac{{f^{'}}_{x}}{{f^{'}}_{y}} = - \frac{2 x}{2 y} \Rightarrow {y^{'}}_{x} = - \frac{x}{y} \Rightarrow {y^{'}}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}} \\ y^{2} = R^{2} - x^{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{matrix} {y^{'}}^{2} = {f^{'}}^{2} (x) = \frac{x^{2}}{R^{2} - x^{2}} \end{matrix}$

محیط دایره $P = 4 P_{A B}$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{l} P = 4 P_{A B} \\ \Rightarrow P = 4 \int_{0}^{R} \sqrt{1 + {y^{'}}^{2}} d x \\ \Rightarrow P = 4 \int_{0}^{R} \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{R^{2} - x^{2}}} d x \\ \Rightarrow P = 4 \int_{0}^{R} \frac{R}{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} d x \\ \Rightarrow P = 4 R \int_{0}^{R} \frac{d x}{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P = 4 R [A r c \sin \frac{x}{R} |\begin{matrix} R \\ 0 \end{matrix} \\ \Rightarrow P = 4 R (A r c \sin (1)) \\ \Rightarrow P = 4 R (\frac{π}{2}) \\ \Rightarrow P = 2 π R \end{array}$

طول منحنی $y = 2 x^{\frac{3}{2}}$ در بازه $[0, 1]$ را بیابید.

$y = 2 x^{\frac{3}{2}} \Rightarrow y^{'} = 2 \times \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = y^{'} = 3 \sqrt{x}$

$\begin{array}{l} P = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + {y^{'}}^{2}} d x \\ \Rightarrow P = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(3 \sqrt{x})}^{2}} d x \\ \Rightarrow P = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 9 x} d x \\ \Rightarrow P = \frac{2}{27} [{(1 + 9 x)}^{\frac{3}{2}} |\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \Rightarrow P = \frac{2}{27} (10 \sqrt{10} - 1) \end{array}$

طول قوس منحنی $y^{2} = \frac{4}{9} x^{3}$ از $x = 0$ تا $x = 3$ را بیابید.

$y^{2} = \frac{4}{9} x^{3} \Rightarrow y = \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} \Rightarrow y^{'} = \sqrt{x} \Rightarrow {y^{'}}^{2} = x$

$\begin{array}{l} P = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + {y^{'}}^{2}} d x \\ \Rightarrow P = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + x} d x \\ \Rightarrow P = \frac{2}{3} [{(1 + x)}^{\frac{3}{2}} |_{0}^{3} = \frac{14}{3} \end{array}$

طول قوس منحنی $\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y^{2}} = 9$ از $x = 1$ تا $x = 9$ را بیابید.

$\begin{array}{l} f (x, y) = \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y^{2}} - 9 = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{y^{2}} = 9 - \sqrt[3]{x^{2}} \end{array}$

$\begin{matrix} {y^{'}}_{x} = - \frac{{f^{'}}_{x}}{{f^{'}}_{y}} = - \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}}{\frac{2}{3 \sqrt[3]{y}}} = - \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}} \Rightarrow {y^{'}}^{2} = \frac{\sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} = \frac{9 - \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} P = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {y^{'}}^{2}} d x \\ \Rightarrow P = \int_{1}^{9} \sqrt{1 + \frac{9 - \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P = \int_{1}^{9} \sqrt{\frac{9}{\sqrt[3]{x^{2}}}} d x = 3 \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{3}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P = \frac{9}{2} [x^{\frac{2}{3}} |\begin{matrix} 9 \\ 1 \end{matrix} = \frac{9}{2} (3 \sqrt[3]{3} - 1) \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

انتگرال

انتگرال معین (طول منحنی)

محاسبه طول منحنی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟