انتگرال معین (طول منحنی)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

محاسبه طول منحنی

فرض کنیم تابع f در فاصله a,b پیوسته و در فاصله a,b مشتق پیوسته داشته باشد.

برای محاسبه طول منحنی y=fx از x=a تا x=b اگر وترهایی از منحنی را در نظر بگیریم، شبیه آن‌چه در محاسبه سطح و حجم بیان شد و با استفاده از قضیه میانگین در مورد مشتق و تعریف انتگرال معین به رابطه زیر می‌رسیم:

محاسبه طول منحنی - پیمان گردلو

P=ab1+f'x2dx

تمرین

مطلوب است محاسبه طول منحنی y=x23 از x=1 تا x=8.

y=x23y'=23x3


P=ab1+f'x2dxP=081+23  x32dxP=081+49x23dxP=089  x23+43x3dxP=127404044

محیط دایره‌ای به شعاع R را محاسبه کنید.

طول منحنی - پیمان گردلو

مرکز دایره را بر مبدا مختصات منطبق می‌گیریم.


معادله دایره به‌صورت x2+y2=R2 خواهد بود. کافی است که طول ربع دایره OAB را پیدا کنیم و مقدار را چهار برابر کنیم:

y=0x2=R2x=±Rx=0y2=R2y=±Ry'x=f'xf'y=2x2yy'x=xyy'2=x2y2y2=R2x2y'2=f'2x=x2R2x2


محیط دایره P=4PAB به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

P=4PABP=40R1+y'2dxP=40R1+x2R2x2dxP=40RRR2x2dxP=4R0RdxR2x2P=4RArcsinxRR0P=4RArcsin1P=4Rπ2P=2πR

طول منحنی y=2x32 در بازه 0,1 را بیابید.

y=2x32y'=2×32x12=y'=3x


P=011+y'2dxP=011+3x2dxP=011+9x   dxP=2271+9x3210P=22710101

طول قوس منحنی y2=49x3 از x=0 تا x=3 را بیابید.

y2=49x3y=23x3y'=xy'2=x


P=031+y'2  dxP=031+x  dxP=231+x3203=143

طول قوس منحنی x23+y23=9 از x=1 تا x=9 را بیابید.

fx,y=x23+y239=0y23=9x23y'x=f'xf'y= 23x3 23y3=y3x3y'2=y23x23=9x23x23


P=ab1+y'2   dxP=191+9   x23x23  dxP=199x23   dx=319x13dxP=92x2391=923331

برای ارسال نظر وارد سایت شوید