سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

انتگرال نامعین (توابع اصم)

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

انتگرال گیری از توابع اصم

حالت اول

انتگرال توابعی که به‌صورت $f (x, x^{\frac{m}{n}}, ..., x^{\frac{p}{q}})$ می‌باشد را در نظر بگیرید که در آن $f$ تابعی گویا از $x^{\frac{p}{q}}$ و $x^{\frac{m}{n}}$ و $x$ است و $m$ و $n$ و ... و $p$ و $q$ اعداد صحیح هستند.

برای محاسبه انتگرال چنین توابعی فرض می‌کنیم $k$ کوچک‌ترین مضرب مشترک $n$ و .... و $q$ باشد، پس با تغییر متغیر $x^{\frac{1}{k}} = t$ یا $x = t^{k}$ محاسبه انتگرال تابع غیر گویا به محاسبه انتگرال گویا تبدیل می‌شود.

تمرین

انتگرال زير را محاسبه کنيد.

$I = \int \frac{x + \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[6]{x}}{x (1 + \sqrt[3]{x})} . d x$

$I = \int \frac{x + \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[6]{x}}{x (1 + \sqrt[3]{x})} . d x = \int \frac{x + x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}}}{x + x . x^{\frac{1}{3}}} d x = \int \frac{x + x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}}}{x^{1} + x^{\frac{4}{3}}}$

کوچک‌ترين مضرب مشترک بين $(1, 6, 3)$ یعنی $k = 6$ را انتخاب کرده و تغيير متغير زير را انجام می‌دهيم:

$x^{\frac{1}{6}} = t \Rightarrow x = t^{6} \Rightarrow d x = 6 t^{5} d t$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x + x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}}}{x^{1} + x^{\frac{4}{3}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{t^{6} + {(t^{6})}^{\frac{2}{3}} + {(t^{6})}^{\frac{1}{6}}}{t^{6} + {(t^{6})}^{\frac{4}{3}}} \cdot 6 t^{5} d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{t^{6} + t^{4} + t}{t^{6} + t^{8}} \cdot 6 t^{5} d t \\ \Rightarrow I = 6 \int \frac{(t^{6} + t^{4} + t) t^{5}}{t^{6} (1 + t^{2})} \cdot d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 6 \int \frac{t^{5} + t^{3} + 1}{1 + t^{2}} d t; \frac{t^{5} + t^{3} + 1}{1 + t^{2}} = t^{3} + \frac{1}{t^{2} + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 6 \int \frac{t^{5} + t^{3} + 1}{1 + t^{2}} d t \\ \Rightarrow I = 6 \int (t^{3} + \frac{1}{t^{2} + 1}) d t \\ \Rightarrow I = 6 \int t^{3} d t + 6 \int \frac{1}{t^{2} + 1} d t \\ \Rightarrow I = \frac{6}{4} t^{4} + 6 A r c \tan t + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{3}{2} {(x^{\frac{1}{6}})}^{4} + 6 A r c \tan x^{\frac{1}{6}} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت دوم

انتگرال توابع غیر گویا که به‌صورت زیر است:

$f [x, {(\frac{a x + b}{c x + d})}^{\frac{m}{n}}, ...., {(\frac{a x + b}{c x + d})}^{\frac{p}{q}}]$

از تغییر متغیر ${(\frac{a x + b}{c x + d})}^{\frac{1}{k}} = t$ استفاده می‌کنیم که در آن $k$ کوچک‌ترین مضرب مشترک $n$ و .... و $q$ می‌باشد.

تمرین

انتگرال زير را محاسبه کنيد.

$I = \int \frac{1}{(1 + x) \sqrt{1 - x^{2}}} d x$

$\sqrt{1 - x^{2}} = \sqrt{(1 - x) (1 + x)} = \sqrt{(1 - x) (1 - x) \frac{(1 + x)}{(1 - x)}} = \sqrt{{(1 - x)}^{2} \frac{1 + x}{1 - x}} = (1 - x) \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{(1 + x) \sqrt{1 - x^{2}}} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2} \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}} d x; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{{(1 - x)}^{2} . t . d t}{{(1 - x)}^{2} t} \\ \Rightarrow I = \int d t \\ \Rightarrow I = t + c \\ \Rightarrow I = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} + c \end{array}$

$(A) : {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}} = t \Rightarrow (\frac{x + 1}{1 - x}) = t^{2} \Rightarrow \frac{2}{{(1 - x)}^{2}} d x = 2 t d t \Rightarrow d x = {(1 - x)}^{2} . t . d t$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت سوم

متغیرهای اویلری

انتگرال توابع غیر گویا که به‌صورت زیر می‌باشد:

$f (x, \sqrt{a x^{2} + b x + c})$

این تابع در موارد زیر می‌تواند به یک تابع گویا تبدیل شود.

الف- به ازای $a > 0$ تغییر متغیر زیر را در نظر می‌گیریم:

$\sqrt{a x^{2} + b x + c} = t \pm x \sqrt{a}$

تابع فوق به‌صورت زیر به یک تابع گویا تبدیل می‌شود:

$\begin{array}{l} \sqrt{a x^{2} + b x + c} = t \pm x \sqrt{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{2} + b x + c = {(t \pm x \sqrt{a})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{2} + b x + c = t^{2} \pm 2 t x \sqrt{a} + a x^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow b x + c = \pm 2 t x \sqrt{a} + t^{2} \end{array}$

$\Rightarrow x = \frac{t^{2} - c}{b \mp 2 t \sqrt{a}}$

در این‌صورت عبارت $\sqrt{a x^{2} + b x + c}$ به‌عبارتی برحسب $t$ به‌صورت زیر تبدیل می‌شود:

$\sqrt{a x^{2} + b x + c} = t \pm x \sqrt{a} \Rightarrow \sqrt{a x^{2} + b x + c} = t \pm (\frac{t^{2} - c}{b \mp 2 t \sqrt{a}}) \sqrt{a}$

تمرین

انتگرال زير را محاسبه کنيد.

$I = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

$\begin{array}{l} a = 1 > 0 \\ \sqrt{x^{2} + 4} = t - x \sqrt{1} \\ \Rightarrow \sqrt{x^{2} + 4} = t - x \\ \Rightarrow x^{2} + 4 = {(t - x)}^{2} \\ \Rightarrow x^{2} + 4 = t^{2} - 2 t x + x^{2} \\ \Rightarrow 4 = t^{2} - 2 t x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 t x = t^{2} - 4 \\ \Rightarrow x = \frac{t^{2} - 4}{2 t} \\ \Rightarrow d x = \frac{t^{2} + 4}{2 t^{2}} d t \end{array}$

$\sqrt{x^{2} + 4} = t - x = t - \frac{t^{2} - 4}{2 t} = \frac{2 t^{2} - t^{2} + 4}{2 t} = \frac{t^{2} + 4}{2 t}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{\frac{t^{2} + 4}{2 t^{2}}}{\frac{t^{2} + 4}{2 t}} d t \\ \Rightarrow I = \int \frac{2 t \cdot (t^{2} + 4)}{2 t^{2} (t^{2} + 4)} d t \\ \Rightarrow I = 2 \int \frac{1}{t} d t \\ \Rightarrow I = 2 L n |t| + c \\ \Rightarrow I = 2 L n |\sqrt{x^{2} + 4} + x| + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

ب- به ازای $c > 0$ تغییر متغیر $\sqrt{a x^{2} + b x + c} = x t \pm \sqrt{c}$ را در نظر می‌گیریم.

تمرین

انتگرال زير را محاسبه کنيد.

$I = \int \frac{{(1 - \sqrt{1 + x + x^{2}})}^{2}}{x^{2} \sqrt{1 + x + x^{2}}} d x$

$\begin{array}{l} \sqrt{x^{2} + x + 1} = x t + 1 \\ \Rightarrow x^{2} + x + 1 = {(x t + 1)}^{2} \\ \Rightarrow x^{2} + x + 1 = x^{2} t^{2} + 2 x t + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} t^{2} + 2 x t - x^{2} - x = 0 \\ \Rightarrow x^{2} (t^{2} - 1) + x (2 t - 1) = 0 \\ \Rightarrow x [(t^{2} - 1) x + (2 t - 1)] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ (t^{2} - 1) x + (2 t - 1) = 0 \Rightarrow x = \frac{1 - 2 t}{t^{2} - 1} \Rightarrow d x = \frac{2 t^{2} - 2 t + 2}{{(t^{2} - 1)}^{2}} d t \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{{(1 - \sqrt{1 + x + x^{2}})}^{2}}{x^{2} \sqrt{1 + x + x^{2}}} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{{[1 - (x t + 1)]}^{2}}{x^{2} (x t + 1)} . d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{{[1 - (\frac{1 - 2 t}{t^{2} - 1} t + 1)]}^{2}}{{(\frac{1 - 2 t}{t^{2} - 1})}^{2} (\frac{1 - 2 t}{t^{2} - 1} t + 1)} \times \frac{2 t^{2} - 2 t + 2}{{(t^{2} - 1)}^{2}} d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2 \int \frac{t^{2}}{1 + t^{2}} d t \\ \Rightarrow I = 2 \int (1 - \frac{1}{1 + t^{2}}) d t \\ \Rightarrow I = 2 \int d t - 2 \int \frac{1}{t^{2} + 1} d t \\ \Rightarrow I = 2 t - 2 A r c \tan t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2 \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1} - 1}{x} - 2 A r c \tan \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1} - 1}{x} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

ج- هرگاه معادله $a x^{2} + b x + c = 0$ دارای دو ریشه $α$ و $β$ باشد، آن‌گاه:

$a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$

در این‌صورت با تغییر متغیر $\sqrt{a x^{2} + b x + c} = (x - α) t$ انتگرال را به‌صورت زیر حل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \sqrt{a x^{2} + b x + c} = (x - α) t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{2} + b x + c = {[(x - α) t]}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{2} + b x + c = {(x - α)}^{2} t^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a (x - α) (x - β) = {(x - α)}^{2} t^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a (x - β) = (x - α) t^{2} \end{array}$

$\Rightarrow x = \frac{a β - α t^{2}}{a - t^{2}}$

تمرین

انتگرال زير را محاسبه کنيد.

$I = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

$\begin{array}{l} x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4) \\ \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} = (x + 4) t \\ \Rightarrow \sqrt{(x - 1) (x + 4)} = (x + 4) t \\ \Rightarrow (x - 1) (x + 4) = {[(x + 4) t]}^{2} \\ \Rightarrow x - 1 = (x + 4) t^{2} \\ \Rightarrow x - 1 = x t^{2} + 4 t^{2} \\ \Rightarrow x t^{2} - x = - (1 + 4 t^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x (t^{2} - 1) = - (1 + 4 t^{2}) \\ \Rightarrow x = \frac{1 + 4 t^{2}}{1 - t^{2}} \\ \Rightarrow d x = \frac{10 t}{{(1 - t^{2})}^{2}} d t \end{array}$

$\sqrt{x^{2} + 3 x - 4} = (x + 4) t = (\frac{4 t^{2} + 1}{1 - t^{2}} + 4) t = \frac{5 t}{1 - t^{2}}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{\frac{10 t}{{(1 - t^{2})}^{2}} . d t}{\frac{5 t}{1 - t^{2}}} \\ \Rightarrow I = 2 \int \frac{1}{1 - t^{2}} d t \\ \Rightarrow I = L n |\frac{1 + t}{1 - t}| + c \\ \Rightarrow I = L n |\frac{1 + \sqrt{\frac{x - 1}{x + 4}}}{1 - \sqrt{\frac{x - 1}{x + 4}}}| + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت چهارم

چون در اغلب مواقع، تغییر متغیرهای اویلری باعث زحمت و کندی محاسبه می‌شوند، لذا اگر روش دیگر و ساده‌تری برای محاسبه انتگرال پیدا نکردیم از تغییر متغیرهای اویلری استفاده می‌کنیم.

برای محاسبه انتگرال های $\int R (x, \sqrt{a x^{2} + b x + c}) d x$ روش‌های ساده‌تری به‌صورت زیر به‌کار برده می‌شود:

الف- انتگرال $I = \int \frac{M x + N}{\sqrt{a x^{2} + b x + c}} d x$ را با تغییر متغیر $x + \frac{b}{2 a} = t$ به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$I = M_{1} \int \frac{t}{\sqrt{a t^{2} + k}} d t + N_{1} \int \frac{1}{\sqrt{a t^{2} + k}}$

که در آن $K$ و $M_{1}$ و $N_{1}$ ضرایب جدید هستند.
انتگرال اولی به یک انتگرال از تابع نمایی تبدیل می‌شود.
انتگرال دومی اگر $a > 0$ به انتگرال از تابع لگاریتمی و اگر $k > 0$ و $a < 0$ به‌صورت $A r c \sin x$ در می‌آید.

تمرین

انتگرال زير را محاسبه کنيد.

$I = \int \frac{5 x + 4}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 5}} d x$

$t = x + \frac{b}{2 a} \Rightarrow t = x + \frac{2}{2 \times 1} \Rightarrow t = x + 1 \Rightarrow \{\begin{cases} d t = d x \\ x = t - 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{5 x + 4}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 5}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{5 (t - 1) + 4}{\sqrt{{(t - 1)}^{2} + 2 (t - 1) + 5}} d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{5 t - 1}{\sqrt{t^{2} + 4}} d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 5 \int \frac{t}{\sqrt{t^{2} + 4}} d t - \int \frac{1}{\sqrt{t^{2} + 4}} d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 5 \sqrt{t^{2} + 4} - L n |t + \sqrt{t^{2} + 4}| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 5 \sqrt{{(x + 1)}^{2} + 4} - L n |(x + 1) + \sqrt{{(x + 1)}^{2} + 4}| + c \end{array}$

یادآوری)

$\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} \pm a^{2}}} d u = L n |u + \sqrt{u^{2} \pm a^{2}}|$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

ب- انتگرال $\int \frac{p_{m} (x)}{\sqrt{a x^{2} + b x + c}} d x$ که $p_{m} (x)$ یک چندجمله‌ای از درجه $m$ است که با فرمول کاهشی زیر قابل محاسبه است:

$\int \frac{p_{m} (x)}{\sqrt{a x^{2} + b x + c}} d x = p_{m - 1} (x) \sqrt{a x^{2} + b x + c} + k \int \frac{1}{\sqrt{a x^{2} + b x + c}} d x$

که در فرمول بالا $p_{m - 1} (x)$ یک چندجمله‌ای از درجه $m - 1$ است و $k$ یک عدد ثابت است.

برای تعیین ضرایب $p_{m - 1} (x)$ و عدد ثابت $k$ از روش ضرایب مجهول استفاده می‌کنیم.

تمرین

انتگرال زير را محاسبه کنيد.

$\int \frac{x^{3} - x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} d x$

$p_{m - 1} (x) = A x^{2} + B x + c$

$\int \frac{x^{3} - x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} d x = (A x^{2} + B x + C) . \sqrt{x^{2} + 2 x + 2} + k \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} d x$

از طرفين عبارت بالا مشتق می‌گيريم:

$\begin{array}{l} {(\int \frac{x^{3} - x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} d x)}^{'} = {[(A x^{2} + B x + C) . \sqrt{x^{2} + 2 x + 2} + k \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} d x]}^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{3} - x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} = (2 A x + B) \sqrt{x^{2} + 2 x + 2} + \frac{2 x + 2}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} . (A x^{2} + B x + C) + k \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} \end{array}$