انتگرال نامعین (توابع اصم)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 19 مرتبه

انتگرال گیری از توابع اصم

حالت اول) انتگرال توابعی که به‌صورت fx  ,  xmn  ,  ...  ,  xpq می‌باشد را در نظر بگیرید که در آن f تابعی گویا از xpq و xmn  و x است و m و n و ... و p و q اعداد صحیح هستند. 

برای محاسبه انتگرال چنین توابعی فرض می‌کنیم k کوچک‌ترین مضرب مشترک n و .... و q باشد، پس با تغییر متغیر x1k=t یا x=tk محاسبه انتگرال تابع غیر گویا به محاسبه انتگرال گویا تبدیل می‌شود.

دریافت مثال

حالت دوم) انتگرال توابع غیر گویا که به‌صورت fx  ,  ax+bcx+dmn  ,  ....  ,  ax+bcx+dpq است که با تغییر متغیر ax+bcx+d1k=t که در آن k کوچک‌ترین مضرب مشترک n و .... و q می‌باشد.   

دریافت مثال

حالت سوم)  متغیرهای اویلری

انتگرال توابع غیر گویا که به‌صورت fx  ,  ax2+bx+c می‌باشد. این تابع در موارد زیر می‌تواند به یک تابع گویا تبدیل شود.

الف- به ازای a>0 تغییر متغیر ax2+bx+c=t±xa را در نظر گرفته و تابع فوق به‌صورت زیر به یک تابع گویا از تبدیل می‌شود:

ax2+bx+c=t±xaax2+bx+c=t±xa2ax2+bx+c=t2±2txa+ax2bx+c=±2txa+t2x=t2cb2ta

در این‌صورت عبارت ax2+bx+c به‌عبارتی برحسب t به‌صورت زیر تبدیل می‌شود:

ax2+bx+c=t±xaax2+bx+c=t±t2cb2taa

دریافت مثال

ب- به ازای c>0 تغییر متغیر ax2+bx+c=xt±c را در نظر می‌گیریم.

دریافت مثال

ج- هرگاه معادله ax2+bx+c=0 دارای دو ریشه α و β باشد، آن‌گاه:

ax2+bx+c=axαxβ

در این‌صورت با تغییر متغیر ax2+bx+c=xαt انتگرال را به‌صورت زیر حل می‌کنیم:

ax2+bx+c=xαtax2+bx+c=xαt2ax2+bx+c=xα2t2axαxβ=xα2t2axβ=xαt2x=aβαt2at2

دریافت مثال

حالت چهارم) چون در اغلب مواقع، تغییر متغیرهای اویلری باعث زحمت و کندی محاسبه می‌شوند، لذا اگر روش دیگر و ساده‌تری برای محاسبه انتگرال پیدا نکردیم از تغییر متغیرهای اویلری استفاده می‌کنیم.

برای محاسبه انتگرال های Rx  ,  ax2+bx+c  dx روش‌های ساده‌تری به‌صورت زیر به‌کار برده می‌شود:

الف- انتگرال I=Mx+Nax2+bx+c  dx را با تغییر متغیر x+b2a=t به‌صورت زیر می‌نویسیم:

I=M1tat2+k  dt+N11at2+k

  • که در آن K و M1 و N1 ضرایب جدید هستند.
  • انتگرال اولی به یک انتگرال از تابع نمایی تبدیل می‌شود.
  • انتگرال دومی اگر a>0 به انتگرال از تابع لگاریتمی و اگر k>0 و a<0 به‌صورت Arcsinx در می‌آید. 

دریافت مثال

ب- انتگرال pmxax2+bx+c  dx که pmx یک چندجمله‌ای از درجه m است که با فرمول کاهشی زیر قابل محاسبه است:

pmxax2+bx+c  dx=pm1xax2+bx+c+k1ax2+bx+c  dx

که در فرمول بالا pm-1x یک چندجمله‌ای از درجه m-1 است و k یک عدد ثابت است.

برای تعیین ضرایب pm-1x و عدد ثابت k از روش ضرایب مجهول استفاده می‌کنیم.

دریافت مثال

ج- انتگرال 1xαmax2+bx+c  dx را با تغییر متغیر xα=1t به انتگرال حالت قبل تبدیل می‌کنیم.   

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال نامعین (توابع اصم)

3,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید