انتگرال معین (قضیه بنیادی)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 02 شهریور 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 24 مرتبه

قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال

اگر x عددی در بازه a,b باشد، آن‌گاه f بر a,x پیوسته است و چون بر a,b پیوسته است، بنابراین:

  x  aft  dt

موجود و یکتا است که مقدارش بستگی به x دارد.

بنابراین   x  aft  dt تابعی مانند F را تعریف می‌کند که دامنه اش همه اعداد بازه بسته a,b است و مقدار تابع در هر عددی مانند x در بازه a,b به‌صورت زیر می‌باشد:  

Fx=  x  aft  dt    ;    Ι

نکته

اگر حدود انتگرال معین، متغیر باشند، علائم متفاوتی برای این حدود و برای متغیر مستقل انتگرال به کار برده می‌شود، از این روی در Ι چون x حد بالای انتگرال است، حرف t را به‌عنوان متغیر مستقل انتگرال به کار می‌بریم. 

 اگر در معادله Fx=  x  aft  dt     برای تمام مقادیر t در بازه a,b تابع ft0 باشد، آن‌گاه مقدار تابع Fx را می‌توان از نظر هندسی به‌عنوان اندازه مساحت ناحیه محدود به منحنی با معادله y=ft، محور tها ،  t=a و t=x تعبیر کرد.

توجه به این نکته که Fa=a  aft  dt     مقدارش صفر است.

قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال - پیمان گردلو      

تمرین

نمودار f در زیر رسم شده است:

قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال - پیمان گردلو

مقدار Fx=0 xft  dt     را به‌دست آورید.

Fx=0 xft  dt ⇒ F-2=0-2ft  dt =0 


جمع جبری مساحت ها در بازه -2,0 صفر است.

تمرین

اگر ft=sgnt=1    ;   t>00   ;   t=01;  t<0 باشد، ضابطه Fx را در انتگرال معین زیر به‌دست آورید:  

Fx=  0  xft  dt

قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال - پیمان گردلو

تمرین

اگر Fx=  0  xt  dt باشد، آن‌گاه نمودار تابع F را رسم کنید.

نمودار تابع ft=t را در R رسم می‌کنیم:


قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال - پیمان گردلو

برای رسم نمودار Fx داریم:


قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال - پیمان گردلو

اکنون به بیان و اثبات قضیه مهمی می‌پردازیم که به‌وسیله آن می‌توان مشتق تابعی مانند F را که به‌صورت انتگرال معین با یک حد بالای متغییر تعریف شده است، پیدا کنیم: 

اولین قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال

قضیه

اگر تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته باشد و x عدد دلخواهی در a,b باشد، اگر تابع F به‌صورت  

Fx=  a  xft  dt تعریف شده باشد، آن‌گاه:

F'x=fx

اثبات

دو عدد x1  و x1+x را در بازه a,b در نظر می‌گیریم:  

Fx1=  a  x1ftdtFx1+Δx=  a  x1+Δxft  dtFx1+ΔxFx1=  a  x1+Δxft  dt  a  x1ft  dt    ;     Ι

یادآوری می‌کنیم که:

  a  x1ft  dt+  x1  x1+Δxft  dt=  a  x1+Δxft  dt  x1  x1+Δxftdt=  a  x1+Δxft  dt  a  x1ft  dt      ;    Ι  x1  x1+Δxft  dt=Fx1+ΔxFx1                     ;    ΙΙ

بنابر قضیه مقدار میانگین، عددی مانند X در بازه بسته‌ای که محدود به دو عدد x1  و x1+x است، وجود دارد به‌قسمی که: 

  x1  x1+Δxft  dt=fXx1+Δxx1  x1  x1+Δxft  dt=fX.Δx     ;    ΙΙ  Fx1+ΔxFx1=fX.ΔxFx1+ΔxFx1Δx=fXlimΔx0Fx1+ΔxFx1Δx=limΔx0fX    F'x1=limΔx0fX           ;         1

برای تعیین limΔx0fX داریم:

چون X در بازه بسته‌ای قرار دارد که محدود به دو عدد x1  و x1+x می‌باشد، داریم:

x1Xx1+ΔxlimΔx0x1limΔx0XlimΔx0x1+ΔxlimΔx0x1limΔx0XlimΔx0x1limΔx0X=limΔx0x1limΔx0X=x1

چون f در x1 پیوسته است، داریم:

if   limΔx0X=x1limΔx0fX=fx1    ;    2

بنابراین:

1    ;   F'x1=limΔx0fX2   ;   F'x1=fx1F'x1=fx1

قضیه

اگر تابع f بر بازه بسته a,b انتگرال پذیر باشد و F به‌صورت Fx=  a  xft  dt تعریف شود، آن‌گاه F روی a,b پیوسته است. 

اثبات

اگر تابع f بر بازه بسته a,b انتگرال پذیر باشد، طبق تعریف کراندار است پس عددی مانند M وجود دارد که به ازای هر xa,b داریم fxM.

فرض کنیم c متعلق به a,b باشد. اگر h>0 باشد، آن‌گاه:  

Fc+hFc=  a  c+hft  dt  a  cft  dt=c  c+hft  dt    ;    Ι

برطبق قضیه مقدار میانگین داریم:

MfxMM1c+hc  c  c+hft  dtMM1h  c  c+hft  dtMMh  c  c+hft  dtMh      ;       ΙMhFc+hFcMhlimh0Mhlimh0Fc+hFclimh0Mhlimh0Fc+hFc=0limh0Fc+h=Fc

یعنی f در هر نقطه c پیوسته است. برای h<0 هم به‌همین صورت ثابت می‌شود.

نکته

1- واضح است که اگر f تابعی پیوسته باشد، طبق قضیه اول اساسی F مشتق پذیر است پس پیوسته است.

اما قضیه حالت کلی‌تری را نشان می‌دهد، یعنی می‌توان f ناپیوسته باشد. 

2- تابعی را که به‌صورت Fx=  a  xft  dt تعریف کردیم، انتگرال نامعین f می‌نامیم.

یادآوری

به‌طور کلی اگر f پیوسته هم نباشد اما انتگرال پذیر باشد، تعریف فوق به‌قوت خود باقی است.

ممکن است f تابعی انتگرال پذیر اما ناپیوسته باشد، مثلا در نقاطی با تغییر x جهشی در مقدار تابع ایجاد شود، اما انتگرال نامعین نظیرش این رفتار را نشان می‌دهد، بلکه همواره تابعی پیوسته‌ای را نشان ‌دهد.

این خاصیت کلی از انتگرال نامعین است، از نظر شهودی وقتی f انتگرال پذیر است،   a  xft  dtهمواره مساحتی را از نظر جبری نشان می‌دهد. 

مثلا در نقطه c جهشی در تابع حاصل شده است، این جهش مساحت کوچکی را به مساحت قبلی اضافه می‌کند، لذا تغییر کوچکی در مقدار Fx رخ می‌دهد.

قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال - پیمان گردلو

دریافت مثال

قضیه

if  Fx=  a  gxft  dtF'x=g'x×fgx

اثبات

اگر u=gx باشد، چون F تابعی از u و u تابعی از x است، داریم:

F'x=dFdxF'x=dFdu.dudxF'x=F'u.u'xF'x=fu×g'x   ;  u=gxF'x=fgx×g'x

قضیه

if  Fx=gxaft  dtF'x=g'x×fgx

اثبات

Fx=  gx  aft  dtFx=  a  gxft  dtF'x=  a  gxft  dt'F'x=g'x×fgx

یادآوری می‌کنیم که:

F'x=u'x×fu

دریافت مثال

قضیه

if  Fx=  vx  gxft  dtF'x=v'xfvx+g'x.fgx

اثبات

Fx=  vx  gxft  dtFx=  vx  aft  dt+  a  gxft  dtFx=  a  vxft  dt+  a  gxft  dtF'x=  a  vxft  dt+  a  gxft  dt'F'x=  a  vxft  dt'+  a  gxft  dt'F'x=v'xfvx+g'x.fgx

دریافت مثال

دومین قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال

قضیه

فرض کنید تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته و g تابعی باشد که به ازای هر x در a,b داشته باشیم g'x=fx باشد، در این‌صورت داریم:  

  a  bft  dt=gbga

اثبات

اگر تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته باشد،   a  xft  dt با حد بالای متغیر x تابعی مانند F را تعریف می‌کند که مشتق آن بر a,b تابع f است، زیرا با فرض g'x=fx داریم:  

if   g'x=fxgx=  a  xft  dt+kga=  a  aft  dt+kgb=  a  bft+k

طرفین تساوی های زیر را از هم کم می‌کنیم:

gbga=  abft  dt  aaft  dt0  a  bft  dt=gbga

تذکر

باید بر تفاوت بین انتگرال نامعین و انتگرال معین تاکید کرد:

انتگرال نامعین fx  dxبه‌عنوان تابعی چون g تعریف می‌شود، به‌طوری‌که:

Dxgx=fx

انتگرال معین   a  bfx  dx عددی است که مقدارش بستگی به تابع f و اعداد a و b دارد و به‌صورت حد یک مجموعه ریمانی تعریف می‌شود.  

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال معین (قضیه بنیادی)

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید