انتگرال معین (ویژگی‌ها)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 29 مرتبه

ویژگی انتقال در انتگرال معین

قضیه

اگر تابع f بر بازه بسته a,b انتگرال پذیر و c هر عدد حقیقی باشد، آنگاه:

  a+c  b+cfx  dx=  a  bfx+c  dx

اثبات

فرض می‌کنیم x=t+c باشد:

if  x=a+cx=t+ct+c=a+ct=aif   x=b+cx=t+ct+c=b+ct=b  a+c  b+cfx  dx=  a  bft+c  dt=  a  bfx+c  dx

دریافت مثال

ویژگی فشردگی و کشیدگی در انتگرال معین

قضیه

فرض کنیم a و b و c اعداد حقیقی باشند به‌طوری‌که ac<bc و تابع f بر بازه بسته ac,bc انتگرال پذیر باشد، آن‌گاه:  

  ac  bcfx  dx=c  a  bfcx  dx

اثبات

if  x=ctdx=cdtif   x=bcbc=ctt=bif   x=acac=ctt=a  ac  bcfx  dx=  a  bfct.cdt=c  a  bfcx  dx

دریافت مثال

نکته

با استفده از قضبه فوق یک خاصیت مهم Lnx ثابت می‌شود:

Lnx=  1  x1t  dtLnab=  1  ab1t  dtLnab=  1  a1t  dt+  1  b1t  dtLnab=Lna+Lnb

انتگرال گیری از تابع متناوب

قضیه

اگر تابع f روی R متناوب باشد، یعنی عدد حقیقی مانند T0 وجود دارد که به ازای هر x داریم:

fx+T=fx

در این‌صورت داریم:

  0  nTfx  dx=n  0  Tfx  d    ;    nN

اثبات

  0  nTfx  dx=  0  Tfx  dx+  T  2Tfx  dx+  2T  3Tfx  dx+....+  n1T  nTfx  dx

با استقرای ریاضی ثابت می‌کنیم:

به‌ازای n=1 تساوی برقرار است:

p1  :  n=1  ;     0  1Tfx  dx=10  Tfx  dx

فرض استقرای ریاضی:

pk  :  n=k    ;    0  kTfx  dx=  0  Tfx  dx+  T  2Tfx  dx+  2T  3Tfx  dx+....+  k1T  kTfx  dx

حکم استقرای ریاضی:

pk+1  :  n=k    ;    0  k+1Tfx  dx=  0  Tfx  dx+  T  2Tfx  dx+  2T  3Tfx  dx+....+  kT   k+1Tfx  dx

به ازای هر عدد طبیعی k داریم:

  kT  k+1Tfx  dx=  0+kT  T+kTfx  dx    ;       a+c  b+cfx  dx=  a  bfx+c  dx  kT  k+1Tfx  dx=  0  Tfx+kT  dx    ;    fx±kT=fx  kT  k+1Tfx  dx=  0  Tfx  dx

چون تابع f روی R متناوب با دوره تناوب T است و k0:

fx±kT=fx

  0  Tfx  dx+  T  2Tfx  dx+  2T  3Tfx  dx+....+  kT   k+1Tfx  dx=  0  Tfx  dx+  0+T  T+Tfx  dx+  0+2T  T+2Tfx  dx+....+  kT   k+1Tfx  dx

=  0  Tfx  dx+  0  Tfx+T  dx+  0  Tfx+2T  dx+....+0   Tfx  dx    ;    fx±kT=fx=0   Tfx  dx  +   0   Tfx  dx    +0   Tfx  dx+....+0   Tfx  dx  =n0   Tfx  dx     

دریافت مثال

قضیه

اگر تابعی متناوب با دوره تناوب T باشد و تابع f بر بازه بسته 0.T انتگرال پذیر باشد، ، آن‌گاه به ازای هر a حقیقی:  

  0  Tfx  dx=  a  a+Tfx  dx

اثبات

  a  a+Tfx  dx=  a  0fx  dx+  0  Tfx  dx+  T  a+Tfx  dx    ;    b+c  a+cfx  dx=b  afx+c  dx  a  a+Tfx  dx=0afx  dx+0Tfx  dx+  0  afx+T  dx    ;    fx+T=fx

  a  a+Tfx  dx=  0  Tfx  dx  0  afx  dx+  0  afx  dx  a  a+Tfx  dx=  0  Tfx  dx

قضیه

اگر تابع f متناوب و مشتق پذیر باشد، مشتق آن هم متناوب است:

fx+T=fxf'x+T=f'x

اثبات

fx+T=fxfx+T'=fx'f'x+T=f'x

تمرین

تابع متناوب fx=sinx را در نظر بگیرید، آیا مشتق این تابع متناوب است؟

تابع f'x=cosx متناوب است.

تذکر

عکس قضیه فوق همواره صحیح نیست.

تمرین

تابع متناوب f'x=1+sinx را در نظر بگیرید، آیا تابع اولیه تابع مشتق، متناوب است؟

تابع fx=xcosx متناوب نمی‌باشد. 

قضیه

اگر f' تابعی متناوب با دوره تناوب T باشد، آن‌گاه f هم متناوب با دوره تناوب T است اگر و فقط اگر: 

fT=f0

اثبات

f' متناوب است:

f'x+T=f'x

f'x+T=f'xf'x+Tdx=f'x  dxfx+T=fx+c    ;    ifx=0fT=f0+c              ;    fT=f0c=0fx+T=fx+c  fx+T=fx

f متناوب است.

انتگرال گیری از توابع زوج و فرد

قضیه

اگر تابع f انتگرال پذیر باشد، ، آن‌گاه:

  a  afx  dx=  0  afx  dx+  0  afx  dx

اثبات

if  x=tdx=dtx=0t=0x=at=a

  a  afx  dx=  a  0fx  dx+  0  afx  dxaafx  dx=  x=a  x=0fx  dx+  0  afx  dxaafx  dx=  t=a  t=0ftdt+  0  afx  dx

aafx  dx=  0  aftdt+  0  afx  dxaafx  dx=  0  aft  dt+  0  afx  dxaafx  dx=  0  afx  dx+  0  afx  dx

ویژگی‌های انتگرال معین - پیمان گردلو

f-x قرینه fx نسبت به محور yها است. از روی شکل واضح است که: 

  a  0fx  dx=  0  afx  dx

قضیه

اگر تابع انتگرال پذیر f روی بازه -a,a تابعی فرد باشد، آن‌گاه:  

ویژگی‌های انتگرال معین - پیمان گردلو

  a  afx  dx=0

اثبات

می‌دانیم که توابع فرد نسبت به مبدا متقارنند.

  a  afx  dx=  a  0fx  dx+  0  afx  dx    ;    Ι  a  afx  dx=  a  0fx  dx+  0  afx  dx    ;    c  a  bfcx  dx=  ac  bcfx  dx

  a  afx  dx=  a  0fx  dx+  101afx  dx  a  afx  dx=  0  afx  dx+  0  afx  dx  a  afx  dx=0

Ι  :fx=fx  0  afx  dx=  0  afx  dx  0  afx  dx=  0  afx  dx

قضیه

اگر تابع انتگرال پذیر f روی بازه -a,a تابعی زوج باشد، آن‌گاه:  

ویژگی‌های انتگرال معین - پیمان گردلو

  a  afx  dx=2  0  afx  dx

دریافت مثال

اثبات

می‌دانیم که توابع زوج نسبت به محور yها متقارنند. 

  a  afx  dx=  a  0fx  dx+  0  afx  dx  a  afx  dx=0afx  dx+  0  afx  dx    ;    fx  =fx  a  afx  dx=0afx  dx+  0  afx  dx

  a  afx  dx=  01a1fx  dx+  0  afx  dx    ;    c  a  bfcx  dx=  ac  bcfx  dx  a  afx  dx=0afx  dx+  0  afx  dx  a  afx  dx=20afx  dx

انتگرال گیری از تابع متقارن

قضیه

اگر تابع f انتگرال پذیر باشد، ، آن‌گاه:

  0  afx  dx=  0  a2fx  dx+  0  a2fax  dx

اثبات

if   ax=tdx=dtdx=dtif   x=0t=aif   x=a2t=a2

  0  afx  dx=  0  a2fx  dx+  a2  afx  dx0afx  dx=  0  a2fx  dx+  a2  aft.dt  

0afx  dx=  0  a2fx  dx  a2  aft.dt0afx  dx=  0  a2fx  dx+  t=a  t=a2ft.dt0afx  dx=  0  a2fx  dx+  0  a2fax  dx

این خاصیت به طور شهودی در نمودار زیر نشان داده می‌شود:

ویژگی‌های انتگرال معین - پیمان گردلو

دریافت مثال

قضیه

تقارن نسبت به x=a2

اگر fax=fx باشد، آن‌گاه:

  0  afx  dx=2  0  a2fx  dx

اثبات

  0  afx  dx=  0  a2fx  dx+  0  a2fax  dxfax=fx  0  afx  dx=  0  a2fx  dx+  0  a2fx  dx=2  0  a2fx  dx

نکته

اگر در تابعی fax=fx باشد، آن‌گاه خط x=a2 محور تقارن شکل است.  

f-x قرینه f نسبت به محور yها است که با انتقال f-x به اندازه a واحد به‌سمت راست، نمودار fax به‌دست می‌آید که به دلیل تقارن نسبت به خط x=a2 روی خود fx قرار می‌گیرد.   

ویژگی‌های انتگرال معین - پیمان گردلو

دریافت مثال

قضیه

ویژگی تقارن نسبت به نقطه a2,0

اگر تابع f انتگرال پذیر و fax=fx باشد، آن‌گاه:

  0  afx  dx=0

اثبات

هرگاه در تابعی fax=fx ، آن‌گاه نمودار تابع نسبت به نقطه a2,0 متقارن است، یعنی این نقطه مرکز تقارن شکل است.   

ویژگی‌های انتگرال معین - پیمان گردلو

پس در بازه 0,a نمودار f نسبت به نقطه a2,0 متقارن، در نتیجه:  

  0  afx  dx=0

دریافت مثال

قضیه

اگر تابع f انتگرال پذیر باشد، آن‌گاه:

  a  bfx  dx=  a  ba+bx  dx

اثبات

I=  a  bfa+bx  dxt=a+bxdt=dxdx=dtif   x=at=bif   x=bt=a

I=  a  ba+bx  dxI=  x=a  x=bfa+bx  dxI=  t=b  t=aft.dtI=  a  bftdtI=  a  bft  dtI=  a  bfx  dx

شکل زیر حالتی از قضیه را به‌طور شهودی نشان می‌دهد:

ویژگی‌های انتگرال معین - پیمان گردلو

نکته

در شکل فوق f-x قرینه f نسبت به محور yها در بازه -b,-a است.

fb+ax انتقال یافته افقی f-x به اندازه a+b به‌سمت راست است که در این‌صورت نمودار fx و fb+ax نسبت به خط x=a+b2 متقارن است و مساحت های بین دو نمودار با محور xها از a تا b برابرند.    

دریافت مثال

تذکر

تساوی‌های زیر در حل بعضی انتگرال ها بسیار مفید است:

  0  π2fsinx  dx=  0  π2fcosx  dx  0  π2ftanx  dx=  0  π2fcotgx  dx  0  πxfsinx  dx=π2  0  πfsinx  dx

دریافت مثال

قضیه

اگر تابع f انتگرال پذیر باشد و fax=fx آن‌گاه:

I=  0  axfx  dx=a2  0  afx  dx

اثبات

if  fx=fax  0  axfx  dx=  0  aaxfax  dx=  0  aaxfx  dx

I=  0  axfx  dxI=  0  aaxfx  dx  I=  0  aafx  dx  0  axfx  dxI=a  0  afx  dxI2I=a  0  afx  dxI=a2  0  afx  dx

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال معین (ویژگی‌ها)

7,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید