سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

انتگرال نامعین (روش جز ‌به ‌جز)

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

انتگرال گیری به روش جزء ‌به‌ جزء

اگر قضیه حاصل ضرب دو تابع را به کار بریم، داریم:

$\frac{d}{d x} (u . v) = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x} \Rightarrow u \frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} (u . v) - v \frac{d u}{d x}$

با انتگرال گیری از رابطه فوق نسبت $x$ داریم:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int u \frac{d v}{d x} d x = \int \frac{d}{d x} (u . v) d x - \int v \frac{d u}{d x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int u d v = \int d (u . v) - \int v d u \end{array}$

$\Rightarrow \int u . d v = u . v - \int v . d u$

اگر $\int v . d u$ قابل محاسبه باشد، آن‌گاه مطابق رابطه فوق $\int u . d v$ محاسبه می‌شود.

استفاده از این روش به انتخاب صحیح $u$ و $v$ بستگی دارد.

این روش معمولا برای محاسبه انتگرال هایی که به‌صورت حاصل ضرب یک تابع جبری و مثلثاتی یا جبری و لگاریتمی و نمایی به‌کار می‌رود، مانند:

$\begin{array}{l} \int x^{n} \cdot \cos x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \int x^{n} \cdot e^{x} d x \end{array}$

$\int x^{n} \cdot L n x d x$

تذکر

گاهی اوقات انتگرال مورد نظر ما دارای یک قسمت جبری است، در این حالت دو ستون تشکیل می‌دهیم، از ستون اول آن‌قدر مشتق می‌گیریم تا صفر شود و از ستون دوم هم انتگرال می‌گیریم، سپس مانند نمونه زیر عمل می‌کنیم:(قسمت جبری معمولا کثیرالجمله‌ای می‌باشد.)

$I = \int x \sin x d x$

انتگرال مشتق

$\begin{matrix} ↓ & ↓ \\ x & \sin x \\ \overset{+}{↘} \\ 1 & - \cos x \\ \bar{↘} \\ 0 & - \sin x \end{matrix}$

$I = - x \cdot \cos x + \sin x + c$

این روش وقتی مناسب است که انتگرال به‌صورت $\int p_{n} (x) \cdot α (x) d x$ باشد که در آن $p_{n} (x)$ یک چندجمله‌ای از درجه $n$ است و $α (x)$ طوری است که به‌توان از آن $(n + 1)$ بار انتگرال متوالی گرفت.

تذکر

گاهی اوقات انتگرال مورد نظر ما دارای قسمت‌هایی است که با هر چند بار مشتق گیری از یکی از بخش‌هایش باز هم صفر نمی‌شود در این‌صورت باز هم دو ستون تشکیل می‌دهیم، از ستون اول مشتق و از ستون دوم انتگرال می‌گیریم.

توجه شود تا جایی عمل مشتق گیری از ستون اول را ادامه می‌دهیم تا با خط اول بدون احتساب ضریب، برابر شود.

این برابری را در ستون دوم که عمل انتگرال گیری شکل می‌گیرد باید در نظر گرفته شود.

$I = \int e^{x} \cdot \sin x d x$

انتگرال مشتق

$\begin{matrix} ↓ & ↓ \\ e^{x} & \sin x \\ \overset{+}{↘} \\ e^{x} & - \cos x \\ \bar{↘} \\ e^{x} & \overset{+}{\leftarrow} & - \sin x \end{matrix}$

توجه شود خط اول یعنی $\sin x$ بدون احتساب ضریب با خط سوم برابر است، پس عملیات را متوقف می‌کنیم.

$\begin{array}{l} I = - e^{x} \cos x + e^{x} \sin x - \int \sin x . e^{x} d x; I = \int \sin x . e^{x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 I = e^{x} \sin x - e^{x} \cdot \cos x \end{array}$

$\Rightarrow I = \frac{1}{2} e^{x} (\sin x - \cos x)$

تمرین

انتگرال های زیر را محاسبه کنید.

$I = \int A r c \tan x d x$

$\int u . d v = u . v - \int v . d u$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} u = A r c \tan x \Rightarrow d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x \\ d v = d x \Rightarrow \int d v = \int d x \Rightarrow v = x \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int A r c \tan x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = x . A r c \tan x - \int x . \frac{1}{1 + x^{2}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = x . A r c \tan x - I_{1}; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = x \cdot A r c \tan x - \frac{1}{2} L n |1 + x^{2}| + c \end{array}$

$(A) : \{\begin{cases} I_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x \\ 1 + x^{2} = u \Rightarrow 2 x \cdot d x = d u \Rightarrow d x = \frac{d u}{2 x} \end{cases}$

$\begin{matrix} I_{1} = \int \frac{x}{u} \cdot \frac{d u}{2 x} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \frac{1}{2} L n |u| = \frac{1}{2} L n |1 + x^{2}| \end{matrix}$

$I = \int e^{x} \cdot \sin x d x$

$\int u . d v = u . v - \int v . d u$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} u = e^{x} \Rightarrow d u = e^{x} d x \\ d v = \sin x d x \Rightarrow \int d v = \int \sin x d x \Rightarrow v = - \cos x \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int e^{x} \cdot \sin x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - e^{x} \cdot \cos x - \int (- \cos x) \cdot e^{x} d x \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow I = - e^{x} \cdot \cos x + \int e^{x} \cdot \cos x d x \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - e^{x} \cdot \cos x + I_{1}; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - e^{x} \cdot \cos x + (e^{x} \cdot \sin x - I) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 I = e^{x} \cdot \sin x - e^{x} \cdot \cos x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2} (e^{x} \cdot \sin x - e^{x} \cdot \cos x) + c \end{array}$

$(A) : \{\begin{cases} I_{1} = \int e^{x} \cdot \cos x d x \\ \{\begin{cases} u = e^{x} \Rightarrow d u = e^{x} d x \\ d v = \cos x d x \Rightarrow \int d v = \int \cos x d x \Rightarrow v = \sin x \end{cases} \end{cases}$

$\begin{matrix} I_{1} = u . v - \int v d u = e^{x} . \sin x - \int e^{x} . \sin x d x = e^{x} \cdot \sin x - I \end{matrix}$

$I = \int \frac{1}{x^{2}} . L n x d x$

$\int u . d v = u . v - \int v . d u$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} u = L n x \Rightarrow d u = \frac{1}{x} d x \\ d v = \frac{1}{x^{2}} d x \Rightarrow \int d v = \int \frac{1}{x^{2}} . d x \Rightarrow v = - \frac{1}{x} \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{x^{2}} . L n x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \frac{1}{x} \cdot L n x - \int (- \frac{1}{x}) (\frac{1}{x}) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \frac{L n x}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x \\ \Rightarrow I = - \frac{L n x}{x} - \frac{1}{x} + c \end{array}$

$I = \int L n x d x$

$\{\begin{cases} u = L n x \Rightarrow d u = \frac{1}{x} d x \\ d v = d x \Rightarrow \int d v = \int d x \Rightarrow v = x \end{cases}$

$\begin{array}{l} I = u \cdot v - \int v \cdot d u \\ \Rightarrow I = x \cdot L n x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x \\ \Rightarrow I = x \cdot L n x - \int d x \\ \Rightarrow I = x \cdot L n x - x + c \end{array}$