انتگرال نامعین (روش جز ‌به ‌جز)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 32 مرتبه

انتگرال گیری به روش جزء ‌به‌ جزء

اگر قضیه حاصل ضرب دو تابع را به کار بریم، داریم:

ddxu.v=udvdx+vdudxudvdx=ddxu.vvdudx

با انتگرال گیری از رابطه فوق نسبت x داریم:

udvdx  dx=ddxu.v  dxvdudx  dxudv=du.vv  duu.dv=u.vv.du

اگر v.du قابل محاسبه باشد، آن‌گاه مطابق رابطه فوق  u.dv محاسبه می‌شود.

استفاده از این روش به انتخاب صحیح u و v بستگی دارد.

این روش معمولا برای محاسبه انتگرال هایی که به‌صورت حاصل ضرب یک تابع جبری و مثلثاتی یا جبری و لگاریتمی و نمایی به‌کار می‌رود، مانند:

xncosx  dxxnex  dx  xnLnx  dx

تذکر

گاهی اوقات انتگرال مورد نظر ما دارای یک قسمت جبری است، در این حالت دو ستون تشکیل می‌دهیم، از ستون اول آن‌قدر مشتق می‌گیریم تا صفر شود و از ستون دوم هم انتگرال می‌گیریم، سپس مانند نمونه زیر عمل می‌کنیم:(قسمت جبری معمولا کثیرالجمله‌ای می‌باشد.)

I=xsinx  dx

انتگرال                مشتق     

xsinx+1cosx0sinx


I=xcosx+sinx+c

این روش وقتی مناسب است که انتگرال به‌صورت pnxαx  dx باشد که در آن pnx یک چندجمله‌ای از درجه n است و αx طوری است که به‌توان از آن n+1 بار انتگرال متوالی گرفت.  

تذکر

گاهی اوقات انتگرال مورد نظر ما دارای قسمت‌هایی است که با هر چند بار مشتق گیری از یکی از بخش‌هایش باز هم صفر نمی‌شود در این‌صورت باز هم دو ستون تشکیل می‌دهیم، از ستون اول مشتق و از ستون دوم انتگرال می‌گیریم.

توجه شود تا جایی عمل مشتق گیری از ستون اول را ادامه می‌دهیم تا با خط اول بدون احتساب ضریب، برابر شود.

این برابری را در ستون دوم که عمل انتگرال گیری شکل می‌گیرد باید در نظر گرفته شود.

I=exsinx  dx

انتگرال                 مشتق    

exsinx+excosxex+sinx

توجه شود خط اول یعنی sinx بدون احتساب ضریب با خط سوم برابر است، پس عملیات را متوقف می‌کنیم. 

I=excosx+exsinxsinx.ex  dx     ;    I=sinx.ex  dx2I=exsinxexcosxI=12exsinxcosx

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال نامعین (روش جزء ‌به ‌جزء)

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید