سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

انتگرال نامعین (کسری حالت اول)

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

محاسبه انتگرال های به فرم $\int \frac{1}{a x^{2} + b x + c} d x$

برای محاسبه این انتگرال ها، سه حالت زیر را در نظر می‌گیریم:

حالت اول

اگر $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ باشد، یعنی مخرج ریشه نداشته باشد در این‌صورت چنین عمل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{a x^{2} + b x + c} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a^{2}}} d x \end{array}$

$\Rightarrow I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(\sqrt{\frac{4 a c - b^{2}}{4 a^{2}}})}^{2}} d x; (A)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u^{2} + k^{2}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a} \times \frac{1}{k} A r c \tan \frac{u}{k} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a} \times \frac{1}{\frac{\sqrt{4 a c - b^{2}}}{2 a}} \times A r c \tan \frac{x + \frac{b}{2 a}}{\frac{\sqrt{4 a c - b^{2}}}{2 a}} + c \end{array}$

$\Rightarrow I = \frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} A r c \tan \frac{2 a x + b}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} + c$

$(A) : \{\begin{cases} x + \frac{b}{2 a} = u \Rightarrow d u = d x \\ \sqrt{\frac{4 a c - b^{2}}{4 a^{2}}} = k \Rightarrow \frac{\sqrt{4 a c - b^{2}}}{2 a} = k \end{cases}$

تمرین

انتگرال های زير را محاسبه کنيد.

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{x^{2} + 4 x + 5} d x \end{array}$

$Δ = b^{2} - 4 a c = 16 - 20 < 0$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{x^{2} + 4 x + 5} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2} + 1} d x; (A) \\ \Rightarrow I = \int \frac{1}{u^{2} + 1} d u \\ \Rightarrow I = A r c \tan u + c \\ \Rightarrow I = A r c \tan (x + 2) + c \end{array}$

$(A) : x + 2 = u \Rightarrow d x = d u$

$I = \int \frac{x}{x^{4} - 2 x^{2} + 5} d x$

$\begin{array}{l} i f x^{2} = X \Rightarrow x^{4} - 2 x^{2} + 5 = X^{2} - 2 X + 5 \end{array}$

$\begin{matrix} Δ = b^{2} - 4 a c = 4 - 20 = - 16 < 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x}{x^{4} - 2 x^{2} + 5} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{x}{x^{4} - 2 x^{2} + 1 + 4} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2} + 4} d x; (A) \\ \Rightarrow I = \int \frac{x}{u^{2} + {(2)}^{2}} \times \frac{1}{2 x} d u \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2} + {(2)}^{2}} d u \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} A r c \tan \frac{u}{2} + c \\ \Rightarrow I = \frac{1}{4} A r c \tan \frac{x^{2} - 1}{2} + c \end{array}$

$(A) : x^{2} - 1 = u \Rightarrow d u = 2 x d x \Rightarrow d x = \frac{1}{2 x} d u$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

اگر $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ باشد، تمام انتگرال های به فرم $\int \frac{x^{n - 1}}{a x^{2 n} + b x^{n} + c} d x$ قابل حل هستند.

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x^{n - 1}}{a x^{2 n} + b x^{n} + c} d x \\ \Rightarrow I = \frac{1}{a} \int \frac{x^{n - 1}}{x^{2 n} + \frac{b}{a} x^{n} + \frac{c}{a}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a} \int \frac{x^{n - 1}}{[x^{2 n} + \frac{b}{a} x^{n} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}] - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}} d x \end{array}$

$\Rightarrow I = \frac{1}{a} \int \frac{x^{n - 1}}{{(x^{n} + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a^{2}}} d x$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a} \int \frac{x^{n - 1}}{{(x^{n} + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(\sqrt{\frac{4 a c - b^{2}}{4 a^{2}}})}^{2}} d x; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a} \int \frac{x^{n - 1}}{t^{2} + k^{2}} \times \frac{1}{n x^{n - 1}} d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{n a} \int \frac{1}{t^{2} + k^{2}} d t \\ \Rightarrow I = \frac{1}{n a} \times \frac{1}{k} A r c \tan \frac{t}{k} + c \\ \Rightarrow I = \frac{1}{n a k} . A r c \tan \frac{t}{k} + c \end{array}$

$(A) : \{\begin{cases} i f x^{n} + \frac{b}{2 a} = t \Rightarrow d t = n x^{n - 1} d x \Rightarrow d x = \frac{1}{n x^{n - 1}} d t \\ k = \sqrt{\frac{4 a c - b^{2}}{4 a^{2}}} \end{cases}$

حالت دوم

اگر $b^{2} - 4 a c = 0$ باشد، یعنی مخرج ریشه مضاعف دارد. در این حالت مخرج به یک مربع کامل تبدیل شده و انتگرال به سادگی محاسبه می‌شود.

تمرین

انتگرال زير را محاسبه کنيد.

$I = \int \frac{6 x^{2}}{x^{6} - 2 x^{3} + 1} d x$

$\begin{array}{l} i f x^{3} = X \Rightarrow x^{6} - 2 x^{3} + 1 = X^{2} - 2 X + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 2)}^{2} - 4 (1) (1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{6 x^{2}}{x^{6} - 2 x^{3} + 1} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{6 x^{2}}{{(x^{3} - 1)}^{2}} d x; (A) \\ \Rightarrow I = \int \frac{6 x^{2}}{u^{2}} \times \frac{1}{3 x^{2}} d u \\ \Rightarrow I = 2 \int u^{- 2} d u \\ \Rightarrow I = 2 \times \frac{1}{- 2 + 1} u^{- 2 + 1} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - 2 u^{- 1} + c \\ \Rightarrow I = \frac{- 2}{u} + c \\ \Rightarrow I = \frac{- 2}{x^{3} - 1} + c \end{array}$

$(A) : x^{3} - 1 = u \Rightarrow d u = 3 x^{2} d x \Rightarrow d x = \frac{1}{3 x^{2}} d u$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت سوم

اگر $b^{2} - 4 a c > 0$ باشد، یعنی مخرج دو ریشه دارد. فرض کنیم $x_{1}$ و $x_{2}$ ریشه‌های آن باشند:

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{a x^{2} + b x + c} d x \end{array}$

$\Rightarrow I = \int \frac{1}{a (x - x_{1}) (x - x_{2})} d x$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{(x - x_{1}) (x - x_{2})} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a} \int (\frac{A}{x - x_{1}} + \frac{B}{x - x_{2}}) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a} \int \frac{A}{x - x_{1}} d x + \frac{1}{a} \int \frac{B}{x - x_{2}} d x \end{array}$

$\Rightarrow I = \frac{A}{a} L n (x - x_{1}) + \frac{B}{a} L n (x - x_{2}) + c$

تمرین

انتگرال های زير را محاسبه کنيد.

$I = \int \frac{1}{a^{2} - x^{2}} d x$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{a} [\frac{\frac{1}{2}}{a - x} + \frac{\frac{1}{2}}{a + x}] d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2 a} \int (\frac{1}{a - x} + \frac{1}{a + x}) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2 a} (\int \frac{1}{a - x} d x + \int \frac{1}{a + x} d x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2 a} (- L n |a - x| + L n |a + x|) + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2 a} . L n |\frac{a + x}{a - x}| + c \end{array}$

$I = \int \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$

$x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} = 1 \\ x_{2} = 2 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{1}{(x - 1) (x - 2)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{A (x - 2) + B (x - 1)}{(x - 1) (x - 2)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = - 1, B = 1 \end{array}$

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} d x \\ \Rightarrow I = \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{x - 2} d x - \int \frac{1}{x - 1} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = L n |x - 2| - L n |x - 1| + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = L n |\frac{x - 2}{x - 1}| + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

تمام انتگرال های به‌صورت‌های زیر بهتر است حفظ شوند:

$\begin{array}{l} 1) I = \int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x = \frac{1}{2 a} L n |\frac{a - x}{a + x}| + c \end{array}$

$2) I = \int \frac{1}{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{1}{2 a} L n |\frac{a + x}{a - x}| + c$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

انتگرال نامعین (کسری حالت اول)

3,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

انتگرال

انتگرال نامعین (کسری حالت اول)