انتگرال نامعین (کسری حالت اول)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 19 مرتبه

محاسبه انتگرال های به فرم1ax2+bx+c  dx

برای محاسبه این انتگرال ها، سه حالت زیر را در نظر می‌گیریم:

حالت اول) اگر Δ=b24ac<0 باشد، یعنی مخرج ریشه نداشته باشد در این‌صورت چنین عمل می‌کنیم:

I=1ax2+bx+c  dxI=1a1x2+bax+ca  dxI=1a1x+b2a2+4acb24a2  dxI=1a1x+b2a2+4acb24a22  dx    ;    AI=1a1u2+k2  duI=1a×1kArctanuk+cI=1a×1 4acb22a×Arctanx+b2a 4acb22a+cI=24acb2Arctan2ax+b4acb2+c

A   :  x+b2a=udu=dx4acb24a2=k4acb22a=k

دریافت مثال

تذکر

اگر Δ=b24ac<0 باشد، تمام انتگرال های به فرم xn1ax2n+bxn+c  dx قابل حل هستند.

I=xn1ax2n+bxn+c  dxI=1axn1x2n+baxn+cadxI=1axn1x2n+baxn+b24a2b24a2+cadxI=1axn1xn+b2a2+4acb24a2  dx

I=1axn1xn+b2a2+4acb24a22  dx    ;    AI=1axn1t2+k2×1nxn1  dtI=1na1t2+k2  dtI=1na×1kArctantk+cI=1nak.Arctantk+c

A  :  if   xn+b2a=tdt=nxn1  dxdx=1nxn1  dtk=4acb24a2

حالت دوم) اگر b24ac=0 باشد، یعنی مخرج ریشه مضاعف دارد. در این حالت مخرج به یک مربع کامل تبدیل شده و انتگرال به سادگی محاسبه می‌شود.

دریافت مثال

حالت سوم) اگر b24ac>0 باشد، یعنی مخرج دو ریشه دارد. فرض کنیم x1 و x2 ریشه‌های آن باشند:

I=1ax2+bx+c  dxI=1axx1xx2  dxI=1a1xx1xx2  dxI=1aAxx1+Bxx2  dxI=1aAxx1  dx+1aBxx2  dxI=AaLnxx1+BaLnxx2+c

دریافت مثال

تذکر

تمام انتگرال های به‌صورت‌های زیر بهتر است حفظ شوند:

1    I=1x2a2  dx=12aLnaxa+x+c2   I=1a2x2  dx=12aLna+xax+c

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال نامعین (کسری حالت اول)

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید