انتگرال نامعین (توابع مثلثاتی)

آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:

محاسبه انتگرال به‌فرمfsinx,cosxdx

برای محاسبه انتگرال توابعی از سینوس یا کسینوس به‌صورت fsinx,cosx  dx می‌توان از تغییر متغیر u=tanx2 استفاده کرد:

if   u=tanx2du=121+tan2x2  dxdu=121+u2  dxdx=21+u2  du

sinx=2tanx21+tan2x2=2u1+u2cosx=1tan2x21+tan2x2=1u21+u2

به‌طور کلی اگر تابعی برحسب سینوس یا کسینوس باشد، داریم:

fsinx,cosx  dx=f2u1+u2,1u21+u2.21+u2  du

دریافت مثال

تذکر

تمام انتگرال های به‌صورت 11±cosx  dx    ,    11±sinx  dx را علاوه بر روش فوق با استفاده از ضرب صورت و مخرج در مزدوج مخرج می‌توان به‌سادگی محاسبه کرد.

دریافت مثال

محاسبه انتگرال به‌فرمfsin2nx,cos2nxdx

برای محاسبه انتگرال توابعی از سینوس یا کسینوس به‌صورت fsin2nx  ,  cos2nx  dx می‌توان از تغییر متغیر u=tanx استفاده نمود.

if   u=tanxdu=1+tan2x  dxdu=1+u2  dxdx=11+u2  dusin2x=tan2x1+tan2x=u21+u2cos2x=11+tan2x=11+u2I=fsin2x,cos2x  dx=fu21+u2,11+u2  11+u2  du

دریافت مثال

حالت اول) اگر b+c,a+c هم‌علامت باشند، آن‌گاه:

b+c.a+c>01u2a+c+b+c  du=1a+cu2+b+ca+c  du=1a+c1u2+b+ca+c  du=1a+c.1b+ca+c.Arctanub+ca+c+c

حالت دوم) اگر b+c,a+c مختلف‌العلامه باشند، آن‌گاه:

b+c.a+c<01u2a+c+b+c  du=1a+cu2+b+ca+c  du  =1a+c1u2+b+ca+cdu=1a+c.12b+ca+cLnb+ca+cxb+ca+c+x+c

یادآوری می‌کنیم که:

I=1x2a2  dx=12aLnaxa+x+c

محاسبه انتگرال به‌فرمacosx+bsinxccosx+dsinx  dx

برای محاسبه این انتگرال ها باید صورت کسر را به فرم حاصل جمع دو عبارت بنویسیم که یکی برابر مخرج کسر و دیگری برابر مشتق مخرج کسر باشد.

توجه شود که صورت و مخرج می‌توانند مقادیر ثابت هم داشته باشند.

(مشتق مخرج )+M(مخرج کسر)=Lصورت کسر

M و L باید محاسبه شوند.

I=acosx+bsinxccosx+dsinx  dxI=Lccosx+dsinx+Mcsinx+dcosxccosx+dsinx  dxI=L+Mcsinx+dcosxccosx+dsinx  dxI=Lx+M  Lnccosx+dsinx+cL=ac+bdc2+d2M=adbcc2+d2

دریافت مثال

محاسبه انتگرال به‌فرمsinnx  dxcosnx  dx

حالت اول) اگر nZ و عددی فرد و مثبت باشد:

در این حالت یک سینوس یا کسینوس از عبارت جدا کرده و بقیه را که توانش زوج است با استفاده از روابط sin2x=1cos2xcos2x=1sin2x به‌نسبت دیگر تبدیل کرده سپس مانند سایر انتگرال ها حل می‌کنیم.

دریافت مثال

حالت دوم) اگر nZ و عددی زوج و مثبت باشد: 

در این حالت مرتبا از فرمول های sin2x=1cos2x2cos2x=1+cos2x2 استفاده می‌کنیم تا هیچ توان زوجی وجود نداشته باشد، در این‌صورت انتگرال هر جمله قابل محاسبه است، اگر به حالت توان فرد تبدیل شود به‌صورت الف بررسی می‌کنیم.

تذکر

در محاسبه انتگرال های نامعین گاهی ممکن است جواب‌های به ظاهر متفاوت، پیدا کنیم به‌ویژه در توابع مثلثاتی.

در این‌صورت این جواب‌ها با استفاده از فرمول ها به یک‌دیگر قابل تبدیل می‌باشند، فقط تفاوت در مقادیر ثابت است.

sin2x  dx=12cos2x+csin2x  dx=122cos2x1+csin2x  dx=cos2x+c1sin2x  dx=1sin2x+c1sin2x  dx=sin2x+c2

دریافت مثال

محاسبه انتگرال به‌فرمsinmx.cosnx  dx

حالت اول) با فرض این‌که از دو عدد n و m متعلق به اعداد صحیح، لااقل یکی فرد باشد، به‌صورت زیر عمل می‌نماییم:

فرض کنیم که n فرد است:

n=2k+1

I=sinmxcosnx  dxI=sinmxcos2k+1x  dxI=sinmx.cos2kxcosx  dxI=sinmx1sin2xkcosx  dx    ;    AI=um1u2kcosx1cosx  duI=um1u2kdu

انتگرال فوق در عمل به‌راحتی قابل حل است.

A   :   u=sinxdu=cosx  dxdx=1cosx  du

تذکر

اگر دو عدد n و m هر دو فرد باشند، باز هم حالت بالا صادق است در این‌صورت فاکتور سینوس یا کسینوس را از آن که توانش کم‌تر باشد جدا می‌کنیم.  

دریافت مثال

حالت دوم) با فرض این‌که از دو عدد n و m هر دو زوج باشند، می‌توان از فرمول های sin2x=1cos2x2cos2x=1+cos2x2 استفاده نمود.

روش دیگری موجود است به این‌صورت که یا همه را بر حسب سینوس یا همه را بر حسب کسینوس تبدیل نماییم و انتگرال را به‌صورت sinnx  dx یا cosnx  dx که n زوج است حل نماییم.  

دریافت مثال

حالت سوم) اگر m+n عدد زوج و منفی باشد، در این‌صورت از تغییر متغیرهای زیر استفاده می‌کنیم.

tanx=ucotgx=usinx=tanx.cosxcosx=cotgx.sinx

دریافت مثال

محاسبه انتگرال به‌فرمcosmx.cosnx  dxsinmx.cosnx  dxsinmx.sinnx  dx

برای محاسبه چنین انتگرال هایی، برای فرمول های مثلثاتی، حاصل ضرب را به مجموع یا تفاضل تبدیل کرده، سپس عمل انتگرال گیری را انجام می‌دهیم.

sinmxsinnx=12cosmnxcosm+nxsinmxcosnx=12sinm+nx+sinmnxcosmxcosnx=12cosm+nx+cosmnx

دریافت مثال

محاسبه انتگرال به‌فرمftanx  dxfcotx  dxfsecx  dxfcscx  dx

معمولا برای محاسبه انتگرال ftanx  dx از تغییر متغیر u=tanx استفاده می‌شود.

معمولا برای محاسبه انتگرال fcotx  dx از تغییر متغیر u=cotx استفاده می‌شود.

دریافت مثال

محاسبه انتگرال به‌فرمtannx  dxcotgnx  dx

در این فرمول ها n یک عدد صحیح و مثبت است.

حالت اول) این حالت در قالب مثال‌های زیر بررسی می‌شود.

دریافت مثال

حالت دوم) بر حسب آن‌که n فرد یا زوج باشد، توان های فرد یا زوج کم‌تر از n و تانژانت یا کتانژانت را اضافه و کم کنیم و پس از مرتب کردن با استفاده از قضیه انتگرال ها آنها را محاسبه کنیم.

دریافت مثال

محاسبه انتگرال به‌فرم1sin2nx  dx1cos2nx  dx

این انتگرال ها با استفاده از فرمول های 1+tan2x=1cos2x1+cotg2x=1sin2x به انتگرال هایی بر حسب تانژانت یا کتانژانت تبدیل می‌شوند. 

دریافت مثال

محاسبه انتگرال به‌فرم1sin2nx.cos2mx  dx

انتگرال های فوق را با استفاده از روابط زیر: 

1+tan2x=1cos2x1+cotg2x=1sin2x

و در حالتی‌که m=n باشد با استفاده از رابطه زیر:

sinx.cosx=12sin2x

به انتگرال هایی بر حسب تانژانت یا کتانژانت تبدیل می‌شوند که قابل حل هستند. 

تمرین

انتگرال زیر را حل کنید:

I=1sin2x.cos4x  dx

I=1sin2x.cos4x  dxI=1sin2x.cos2x2dxI=1+cotg2x1+tan2x2  dxI=1+cotg2x1+tan4x+2tan2x  dx

I=1+tan4x+2tan2x+cotg2x+cotg2x.tan4x+2cotg2x.tan2x  dxI=1+tan4x+2tan2x+cotg2x+tan2x+2  dxI=tan4x+tan2x+2tan2x+1+1+cotg2x  dxI=tan2x1+tan2x+2tan2x+1+1+cotg2x  dxI=13tan3x+2tanxcotgx+c

محاسبه انتگرال به‌فرمsecnu  ducscnu  du

حالت اول) اگر n یک عدد مثبت و زوج باشد، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

I=secnu  du=secn2usec2u  du=sec2un22sec2u  du=tan2u+1n22sec2u  duI=cscnu  du=cscn2ucsc2u  du=csc2un22csc2u  du=cotg2u+1n22csc2u  du

دریافت مثال

حالت دوم) اگر n یک عدد مثبت و فرد باشد، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

در محاسبه secnu  du و cscnu  du از روش جزء به جزء استفاده می‌شود.

دریافت مثال

محاسبه انتگرال به‌فرمtanmu.secnu  ducotgmu.cscnu  du  

حالت اول) اگر n یک عدد صحیح زوج باشد، به روش حل مثال های زیر توجه کنید.

دریافت مثال

حالت دوم) اگر n یک عدد صحیح فرد باشد، به روش حل مثال های زیر توجه کنید.

دریافت مثال

حالت سوم) اگر n فرد و m زوج باشد، برای محاسبه آنها از انتگرال جزء به جزء استفاده می‌نماییم.

تذکر

به‌طور خلاصه داریم:

if   y=secuy'=u'.secu.tanuif   y=cscuy'=u'cscu.cotgu

1)  I=tanu  du=Lncosu+c=Lnsecu+c2)  I=cotgu  du=Lnsinx+c3)  I=secu  du=Lnsecu+tanu+c4)  I=cscu  du=Lncscu+cotgu+c

5)  I=sec2u  du=tanu+c6)  I=csc2u  du=cotgu+c7)  I=secu.tanu  du=secu+c8)  I=cscu.cotgu  du=cscu+c

9)  I=tannu  du=tann2utan2udu=tann2usec2u1  du10)  I=cotgnu  du=cotgn2u.cotg2u  du=cotgn2u.csc2u1  du11)  I=secnu  du=secn2u.sec2u  du=tan2u+1n22.sec2u  du

12)  cscnu  du=cscn2u.csc2u  du=cotg2u+1n22.csc2u  du13)  I=1uu21  du=sec1u+c14)  I=1uu2a2  du=1asec1ua+c

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال نامعین (توابع مثلثاتی)

12,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید