سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

انتگرال نامعین (توابع مثلثاتی)

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

محاسبه انتگرال به‌فرم $\int f (\sin x, \cos x) d x$

برای محاسبه انتگرال توابعی از سینوس یا کسینوس به‌صورت $\int f (\sin x, \cos x) d x$ می‌توان از تغییر متغیر $u = \tan \frac{x}{2}$ استفاده کرد:

$\begin{array}{l} i f u = \tan \frac{x}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d u = \frac{1}{2} (1 + \tan^{2} \frac{x}{2}) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d u = \frac{1}{2} (1 + u^{2}) d x \end{array}$

$\Rightarrow d x = \frac{2}{1 + u^{2}} d u$

$\begin{array}{l} \sin x = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 u}{1 + u^{2}} \end{array}$

$\cos x = \frac{1 - \tan^{2} \frac{x}{2}}{1 + \tan^{2} \frac{x}{2}} = \frac{1 - u^{2}}{1 + u^{2}}$

به‌طور کلی اگر تابعی برحسب سینوس یا کسینوس باشد، داریم:

$\int f (\sin x, \cos x) d x = \int f (\frac{2 u}{1 + u^{2}}, \frac{1 - u^{2}}{1 + u^{2}}) . \frac{2}{1 + u^{2}} d u$

تمرین

انتگرال های زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{1}{\sin x} d x$

$u = \tan \frac{x}{2} \Rightarrow d u = \frac{1}{2} (1 + \tan^{2} \frac{x}{2}) d x \Rightarrow d u = \frac{1}{2} (1 + u^{2}) d x \Rightarrow d x = \frac{2}{1 + u^{2}} d u$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{\sin x} d x; \sin x = \frac{2 u}{1 + u^{2}} \\ \Rightarrow I = \int \frac{1}{\frac{2 u}{1 + u^{2}}} \cdot \frac{2}{1 + u^{2}} d u \\ \Rightarrow I = \int \frac{1 + u^{2}}{2 u} \cdot \frac{2}{1 + u^{2}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{u} d u \\ \Rightarrow I = L n |u| + c \\ \Rightarrow I = L n |\tan \frac{x}{2}| + c \end{array}$

$I = \int \frac{1}{\cos x} d x$

$u = \tan \frac{x}{2} \Rightarrow d u = \frac{1}{2} (1 + \tan^{2} \frac{x}{2}) d x \Rightarrow d u = \frac{1}{2} (1 + u^{2}) d x \Rightarrow d x = \frac{2}{1 + u^{2}} d u$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{\cos x} d x; \cos x = \frac{1 - u^{2}}{1 + u^{2}} \\ \Rightarrow I = \int \frac{1}{\frac{1 - u^{2}}{1 + u^{2}}} . \frac{2}{1 + u^{2}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2 \int \frac{1 + u^{2}}{1 - u^{2}} . \frac{1}{1 + u^{2}} d u \\ \Rightarrow I = 2 \int \frac{1}{1 - u^{2}} d u \\ \Rightarrow I = 2 I_{1}; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2 [- \frac{1}{2} L n |1 - \tan \frac{x}{2}| + \frac{1}{2} L n |1 + \tan \frac{x}{2}|] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = L n |\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}}| + c \\ \Rightarrow I = L n |\tan (\frac{π}{4} + \frac{x}{2})| + c \end{array}$

$\begin{array}{l} (A) : I_{1} = \int \frac{1}{1 - u^{2}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{1 - u^{2}} = \frac{1}{(1 - u) (1 + u)} \Rightarrow \frac{1}{1 - u^{2}} = \frac{A}{1 - u} + \frac{B}{1 + u} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{1 - u^{2}} = \frac{A (1 + u) + B (1 - u)}{(1 - u) (1 + u)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 \equiv A (1 + u) + B (1 - u) \\ \Rightarrow 1 \equiv A + A u + B - B u \\ \Rightarrow 1 \equiv u (A - B) + (A + B) \\ \Rightarrow \{\begin{cases} A - B = 0 \\ A + B = 1 \end{cases}〉 \{\begin{cases} B = \frac{1}{2} \\ A = \frac{1}{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} I_{1} = \int \frac{1}{1 - u^{2}} d u \\ \Rightarrow I_{1} = \int (\frac{\frac{1}{2}}{1 - u} + \frac{\frac{1}{2}}{1 + u}) d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - u} d u + \frac{1}{2} \int \frac{d u}{1 + u} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I_{1} = - \frac{1}{2} L n |1 - u| + \frac{1}{2} L n |1 + u| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I_{1} = - \frac{1}{2} L n |1 - \tan \frac{x}{2}| + \frac{1}{2} L n |1 + \tan \frac{x}{2}| \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

تمام انتگرال های به‌صورت $\int \frac{1}{1 \pm \cos x} d x, \int \frac{1}{1 \pm \sin x} d x$ را علاوه بر روش فوق با استفاده از ضرب صورت و مخرج در مزدوج مخرج می‌توان به‌سادگی محاسبه کرد.

تمرین

انتگرال های زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{1}{1 + \sin x} d x$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{1 + \sin x} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{1}{1 + \sin x} . \frac{1 - \sin x}{1 - \sin x} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^{2} x} d x \\ \Rightarrow I = \int (1 - \sin x) \cos^{- 2} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (\cos^{- 2} x - \sin x . \cos^{- 2} x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int [(1 + \tan^{2} x) - \sin x . \cos^{- 2} x] d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (1 + \tan^{2} x) d x - \int \sin x . \cos^{- 2} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \tan x - \frac{1}{\cos x} + c \end{array}$

$I = \int \frac{1}{1 + \cos x} d x$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{1 + \cos x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{1 + \cos x} \cdot \frac{1 - \cos x}{1 - \cos x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1 - \cos x}{1 - \cos^{2} x} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{1 - \cos x}{\sin^{2} x} d x \\ \Rightarrow I = \int (1 - \cos x) \sin^{- 2} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (\sin^{- 2} x - \cos x . \sin^{- 2} x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \sin^{- 2} x d x - \int \cos x . \sin^{- 2} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \csc^{2} x d x - \int \cos x . \sin^{- 2} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \cot g x + \frac{1}{\sin x} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

محاسبه انتگرال به‌فرم $\int f (\sin^{2 n} x, \cos^{2 n} x) d x$

برای محاسبه انتگرال توابعی از سینوس یا کسینوس به‌صورت $\int f (\sin^{2 n} x, \cos^{2 n} x) d x$ می‌توان از تغییر متغیر $u = \tan x$ استفاده نمود.

$\begin{array}{l} i f u = \tan x \end{array}$

$\Rightarrow d u = (1 + \tan^{2} x) d x$

$\Rightarrow d u = (1 + u^{2}) d x$

$\Rightarrow d x = \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sin^{2} x = \frac{\tan^{2} x}{1 + \tan^{2} x} = \frac{u^{2}}{1 + u^{2}} \end{array} \end{array}$

$\cos^{2} x = \frac{1}{1 + \tan^{2} x} = \frac{1}{1 + u^{2}}$

$I = \int f (\sin^{2} x, \cos^{2} x) d x = \int f (\frac{u^{2}}{1 + u^{2}}, \frac{1}{1 + u^{2}}) \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

تمرین

انتگرال های زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{1}{2 - \sin^{2} x} d x$

$\begin{array}{l} i f u = \tan x \Rightarrow d u = (1 + \tan^{2} x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d u = (1 + u^{2}) d x \\ \Rightarrow d x = \frac{1}{1 + u^{2}} d u \\ \sin^{2} x = \frac{\tan^{2} x}{1 + \tan^{2} x} = \frac{u^{2}}{1 + u^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{2 - \sin^{2} x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{2 - (\frac{u^{2}}{1 + u^{2}})} \cdot \frac{1}{1 + u^{2}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1 + u^{2}}{2 + u^{2}} . \frac{1}{1 + u^{2}} d u \\ \Rightarrow I = \int \frac{1}{2 + u^{2}} d u \\ \Rightarrow I = \int \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{2} + u^{2}} d u; (A) \\ \Rightarrow I = \frac{1}{\sqrt{2}} A r c \tan \frac{u}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow I = \frac{1}{\sqrt{2}} A r c \tan [\frac{\tan x}{\sqrt{2}}] + c \end{array}$

$(A) : \int \frac{1}{a^{2} + u^{2}} d u = \frac{1}{a} A r c \tan \frac{u}{a}$

$I = \int \frac{1}{a^{2} \sin^{2} x + b^{2} \cos^{2} x} d x$

$\begin{matrix} i f u = \tan x \\ \Rightarrow d u = (1 + \tan^{2} x) d x \\ \Rightarrow d u = (1 + u^{2}) d x \\ \Rightarrow d x = \frac{1}{1 + u^{2}} d u \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{a^{2} \sin^{2} x + b^{2} \cos^{2} x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{\frac{1}{1 + u^{2}}}{a^{2} (\frac{u^{2}}{1 + u^{2}}) + b^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}})} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{a^{2} u^{2} + b^{2}} d u \\ \Rightarrow I = \frac{1}{a^{2}} \int \frac{1}{u^{2} + \frac{b^{2}}{a^{2}}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a^{2}} \int \frac{1}{u^{2} + {[\frac{b}{a}]}^{2}} d u; (A) \\ \Rightarrow I = \frac{1}{a^{2}} . \frac{1}{\frac{b}{a}} . A r c \tan \frac{u}{\frac{b}{a}} + c \\ \Rightarrow I = \frac{1}{a b} A r c \tan \frac{a}{b} u + c \\ \Rightarrow I = \frac{1}{a b} A r c \tan \frac{a}{b} (\tan x) + c \end{array}$

$(A) : \int \frac{1}{a^{2} + u^{2}} d u = \frac{1}{a} A r c \tan \frac{u}{a}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت اول

اگر $(b + c), (a + c)$ هم‌علامت باشند، آن‌گاه:

$\begin{array}{l} (b + c) . (a + c) > 0 \end{array}$

$\int \frac{1}{u^{2} (a + c) + (b + c)} d u$

$\begin{array}{l} = \int \frac{1}{(a + c) [u^{2} + \frac{b + c}{a + c}]} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{a + c} \int \frac{1}{u^{2} + \frac{b + c}{a + c}} d u \end{array}$

$= \frac{1}{a + c} . \frac{1}{\sqrt{\frac{b + c}{a + c}}} . A r c \tan \frac{u}{\sqrt{\frac{b + c}{a + c}}} + c$

حالت دوم

اگر $(b + c), (a + c)$ مختلف‌العلامه باشند، آن‌گاه:

$\begin{array}{l} (b + c) . (a + c) < 0 \end{array}$

$\int \frac{1}{u^{2} (a + c) + (b + c)} d u$

$\begin{array}{l} = \int \frac{1}{(a + c) [u^{2} + \frac{b + c}{a + c}]} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{a + c} \int \frac{1}{u^{2} + \frac{b + c}{a + c}} d u \end{array}$

$= \frac{1}{a + c} . \frac{1}{2 \sqrt{\frac{b + c}{a + c}}} L n |\frac{\sqrt{\frac{b + c}{a + c}} - x}{\sqrt{\frac{b + c}{a + c}} + x}| + c$

یادآوری می‌کنیم که:

$I = \int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x = \frac{1}{2 a} L n |\frac{a - x}{a + x}| + c$

محاسبه انتگرال به‌فرم $\int \frac{a \cos x + b \sin x}{c \cos x + d \sin x} d x$

برای محاسبه این انتگرال ها باید صورت کسر را به فرم حاصل جمع دو عبارت بنویسیم که یکی برابر مخرج کسر و دیگری برابر مشتق مخرج کسر باشد.

توجه شود که صورت و مخرج می‌توانند مقادیر ثابت هم داشته باشند.

(مشتق مخرج ) $+ M$ (مخرج کسر) $= L$ صورت کسر

$M$ و $L$ باید محاسبه شوند.

$\begin{array}{l} I = \int \frac{a \cos x + b \sin x}{c \cos x + d \sin x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{L (c \cos x + d \sin x) + M (- c \sin x + d \cos x)}{c \cos x + d \sin x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (L + M \frac{- c \sin x + d \cos x}{c \cos x + d \sin x}) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = L x + M L n |c \cos x + d \sin x| + c \end{array}$

$\{\begin{cases} L = \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} \\ M = \frac{a d - b c}{c^{2} + d^{2}} \end{cases}$

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{26 \sin x - 13 \cos x}{4 \sin x - 7 \cos x} d x$

$\begin{array}{l} 26 \sin x - 13 \cos x = L (4 \sin x - 7 \cos x) + M (4 \cos x + 7 \sin x) \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} 26 \sin x - 13 \cos x = (4 L + 7 M) \sin x + (4 M - 7 L) \cos x \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 4 L + 7 M = 26 \\ 4 M - 7 L = - 13 \end{cases}〉 \{\begin{cases} M = 2 \\ L = 3 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{26 \sin x - 13 \cos x}{4 \sin x - 7 \cos x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{L (4 \sin x - 7 \cos x) + M (4 \cos x + 7 \sin x)}{4 \sin x - 7 \cos x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{3 (4 \sin x - 7 \cos x) + 2 (4 \cos x + 7 \sin x)}{4 \sin x - 7 \cos x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (3 + 2 \frac{4 \cos x + 7 \sin x}{4 \sin x - 7 \cos x}) d x \\ \Rightarrow I = 3 x + 2 L n |4 \sin x - 7 \cos x| + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

محاسبه انتگرال به‌فرم $\{\begin{cases} \int \sin^{n} x d x \\ \int \cos^{n} x d x \end{cases}$

حالت اول

اگر $n \in Z$ و عددی فرد و مثبت باشد:

در این حالت یک سینوس یا کسینوس از عبارت جدا کرده و بقیه را که توانش زوج است با استفاده از روابط $\{\begin{cases} \sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x \\ \cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x \end{cases}$ به‌نسبت دیگر تبدیل کرده سپس مانند سایر انتگرال ها حل می‌کنیم.

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \cos^{5} x d x$

$\begin{array}{l} I = \int \cos^{5} x d x \\ \Rightarrow I = \int \cos x . \cos^{4} x d x \\ \Rightarrow I = \int \cos x . {(\cos^{2} x)}^{2} d x \\ \Rightarrow I = \int \cos x . {(1 - \sin^{2} x)}^{2} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \cos x (1 - 2 \sin^{2} x + \sin^{4} x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (\cos x - 2 \cos x . \sin^{2} x + \cos x . \sin^{4} x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \sin x - \frac{2}{3} \sin^{3} x + \frac{1}{5} \sin^{5} x + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت دوم

اگر $n \in Z$ و عددی زوج و مثبت باشد:

در این حالت مرتبا از فرمول های زیر استفاده می‌کنیم تا هیچ توان زوجی وجود نداشته باشد:

$\{\begin{cases} \sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2} \\ \cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2 x}{2} \end{cases}$

در این‌صورت انتگرال هر جمله قابل محاسبه است، اگر به حالت توان فرد تبدیل شود به‌صورت الف بررسی می‌کنیم.

تذکر

در محاسبه انتگرال های نامعین گاهی ممکن است جواب‌های به ظاهر متفاوت، پیدا کنیم به‌ویژه در توابع مثلثاتی.

در این‌صورت این جواب‌ها با استفاده از فرمول ها به یک‌دیگر قابل تبدیل می‌باشند، فقط تفاوت در مقادیر ثابت است.

$\begin{array}{l} \int \sin 2 x d x = \frac{- 1}{2} \cos 2 x + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int \sin 2 x d x = \frac{- 1}{2} (2 \cos^{2} x - 1) + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int \sin 2 x d x = - \cos^{2} x + c_{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int \sin 2 x d x = - (1 - \sin^{2} x) + c_{1} \end{array}$

$\Rightarrow \int \sin 2 x d x = \sin^{2} x + c_{2}$

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \sin^{4} x d x$

$\begin{array}{l} I = \int \sin^{4} x d x \\ \Rightarrow I = \int {(\sin^{2} x)}^{2} d x \\ \Rightarrow I = \int {(\frac{1 - \cos 2 x}{2})}^{2} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int (1 + \cos^{2} 2 x - 2 \cos 2 x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int (1 + \frac{1 + \cos 4 x}{2} - 2 \cos 2 x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{8} \int (2 + 1 + \cos 4 x - 4 \cos 2 x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{8} \int (3 + \cos 4 x - 4 \cos 2 x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{8} (3 x + \frac{1}{4} \sin 4 x - \frac{4}{2} \sin 2 x) + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{3}{8} x + \frac{1}{32} \sin 4 x - \frac{1}{4} \sin 2 x + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

محاسبه انتگرال به‌فرم $\int \sin^{m} x . \cos^{n} x d x$

حالت اول

با فرض این‌که از دو عدد $n$ و $m$ متعلق به اعداد صحیح، لااقل یکی فرد باشد، به‌صورت زیر عمل می‌نماییم:

فرض کنیم که $n$ فرد است:

$n = 2 k + 1$

$\begin{array}{l} I = \int \sin^{m} x \cdot \cos^{n} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \sin^{m} x \cdot \cos^{2 k + 1} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \sin^{m} x . \cos^{2 k} x \cdot \cos x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \sin^{m} x {(1 - \sin^{2} x)}^{k} \cdot \cos x d x; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int u^{m} {(1 - u^{2})}^{k} \cdot \cos x \cdot \frac{1}{\cos x} d u \end{array}$

$\Rightarrow I = \int u^{m} {(1 - u^{2})}^{k} \cdot d u$

انتگرال فوق در عمل به‌راحتی قابل حل است.

$(A) : u = \sin x \Rightarrow d u = \cos x d x \Rightarrow d x = \frac{1}{\cos x} d u$

تذکر

اگر دو عدد $n$ و $m$ هر دو فرد باشند، باز هم حالت بالا صادق است در این‌صورت فاکتور سینوس یا کسینوس را از آن که توانش کم‌تر باشد جدا می‌کنیم.

تمرین

انتگرال های زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \sin^{3} x \cdot \cos^{2} x d x$

$\begin{array}{l} I = \int \sin^{3} x \cdot \cos^{2} x d x \\ \Rightarrow I = \int (\sin^{2} x \cdot \sin x) \cdot \cos^{2} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (1 - \cos^{2} x) . \sin x \cdot \cos^{2} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \sin x \cdot \cos^{2} x d x - \int \cos^{4} x \cdot \sin x d x; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \frac{1}{3} \cos^{3} x - (- \frac{1}{5}) \cos^{5} x + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{5} \cos^{5} x - \frac{1}{3} \cos^{3} x + c \end{array}$

$(A) : \int \sin u \cdot \cos^{n} u d u = - \frac{1}{n + 1} \cos^{n + 1} u + c$

$I = \int \sin^{2} 2 x . \sin 3 x d x$

$\begin{array}{l} I = \int \sin^{2} 2 x . \sin 3 x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {(2 \sin x \cdot \cos x)}^{2} \cdot (3 \sin x - 4 \sin^{3} x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int 4 \sin^{2} x \cdot \cos^{2} x (3 \sin x - 4 \sin^{3} x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (12 \sin^{3} x \cdot \cos^{2} x - 16 \sin^{5} x \cdot \cos^{2} x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 12 \int \sin^{3} x \cdot \cos^{2} x d x - 16 \int \sin^{5} x \cdot \cos^{2} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 12 I_{1} - 16 I_{2}; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 12 (\frac{1}{5} \cos^{5} x - \frac{1}{3} \cos^{3} x) - 16 (- \frac{1}{3} \cos^{3} x + \frac{2}{5} \cos^{5} x - \frac{1}{7} \cos^{7} x) + c \end{array}$

$\begin{array}{l} (A) : \end{array}$

$\begin{array}{l} I_{1} = \int \sin^{3} x \cdot \cos^{2} x d x = \int (\sin x \cdot \sin^{2} x) \cdot \cos^{2} x = \int \sin x \cdot (1 - \cos^{2} x) \cdot \cos^{2} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I_{1} = \int \sin x \cdot \cos^{2} x d x - \int \sin x \cdot \cos^{4} x d x = - \frac{1}{3} \cos^{3} x - (\frac{- 1}{5}) \cos^{5} x = \frac{1}{5} \cos^{5} x - \frac{1}{3} \cos^{3} x \end{array}$

یادآوری)

$\int \sin u \cdot \cos^{n} u d u = \frac{- 1}{n + 1} \cos^{n + 1} u + c$

$\begin{array}{l} (A) : \\ I_{2} = \int \sin^{5} x \cdot \cos^{2} x d x \\ \Rightarrow I_{2} = \int (\sin x \cdot \sin^{4} x) \cdot \cos^{2} x d x \\ \Rightarrow I_{2} = \int \sin x \cdot {(\sin^{2} x)}^{2} \cdot \cos^{2} x d x \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow I_{2} = \int \sin x . {(1 - \cos^{2} x)}^{2} . \cos^{2} x d x \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I_{2} = \int \sin x (1 - 2 \cos^{2} x + \cos^{4} x) \cos^{2} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I_{2} = \int \sin x . \cos^{2} x d x - 2 \int \sin x . \cos^{4} x d x + \int \sin x . \cos^{6} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I_{2} = \frac{- 1}{3} \cos^{3} x - 2 (\frac{- 1}{5}) \cos^{5} x + (\frac{- 1}{7}) \cos^{7} x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I_{2} = - \frac{1}{3} \cos^{3} x + \frac{2}{5} \cos^{5} x - \frac{1}{7} \cos^{7} x \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت دوم

با فرض این‌که از دو عدد $n$ و $m$ هر دو زوج باشند، می‌توان از فرمول های $\{\begin{cases} \sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2} \\ \cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2 x}{2} \end{cases}$ استفاده نمود.

روش دیگری موجود است به این‌صورت که یا همه را بر حسب سینوس یا همه را بر حسب کسینوس تبدیل نماییم و انتگرال را به‌صورت $\int \sin^{n} x d x$ یا $\int \cos^{n} x d x$ که $n$ زوج است حل نماییم.

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \sin^{2} x . \cos^{4} x d x$

$\begin{array}{l} I = \int \sin^{2} x . \cos^{4} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (\frac{1 - \cos 2 x}{2}) \cdot {(\frac{1 + \cos 2 x}{2})}^{2} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{8} \int (1 - \cos 2 x) {(1 + \cos 2 x)}^{2} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{8} \int (1 - \cos 2 x) (1 + 2 \cos 2 x + \cos^{2} 2 x) d x \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{8} \int (1 + 2 \cos 2 x + \cos^{2} 2 x - \cos 2 x - 2 \cos^{2} 2 x - \cos^{3} 2 x) d x \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{8} \int (1 + \cos 2 x - \cos^{2} 2 x - \cos^{3} 2 x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{8} \int d x + \frac{1}{8} \int \cos 2 x d x - \frac{1}{8} \int \cos^{2} 2 x d x - \frac{1}{8} \int \cos^{3} 2 x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} (\frac{1}{2} \sin 2 x) - \frac{1}{8} I_{1} - \frac{1}{8} I_{2}; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{8} x + \frac{1}{16} \sin 2 x - \frac{1}{8} (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin 4 x) - \frac{1}{8} (\frac{1}{2} \sin 2 x - \frac{1}{6} \sin^{3} 2 x) + c \end{array}$

$\begin{array}{l} (A) : \end{array}$

$\begin{array}{l} I_{1} = \int \cos^{2} 2 x d x = \int \frac{1 + \cos 4 x}{2} d x = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 4 x) d x = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} . \frac{1}{4} \sin 4 x = \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin 4 x \end{array}$

$\begin{array}{l} I_{2} = \int \cos^{3} 2 x d x = \int (\cos^{2} 2 x . \cos 2 x) d x = \int (1 - \sin^{2} 2 x) . \cos 2 x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I_{2} = \int \cos 2 x d x - \int \sin^{2} 2 x . \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x - \frac{1}{2 \times 3} \sin^{3} 2 x \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت سوم

اگر $m + n$ عدد زوج و منفی باشد، در این‌صورت از تغییر متغیرهای زیر استفاده می‌کنیم.

$\begin{array}{l} \tan x = u \end{array}$

$\begin{array}{l} \cot g x = u \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin x = \tan x . \cos x \end{array}$

$\cos x = \cot g x . \sin x$

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \cos^{\frac{3}{7}} x \sin^{- \frac{17}{7}} x d x$

$\{\begin{cases} m = \frac{3}{7} \\ n = \frac{- 17}{7} \end{cases}$

$\begin{matrix} m + n = \frac{3}{7} + (- \frac{17}{7}) = \frac{- 14}{7} = - 2 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} I = \int \cos^{\frac{3}{7}} x \sin^{- \frac{17}{7}} x d x; \sin x = \tan x . \cos x \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \cos^{\frac{3}{7}} x . [\tan^{\frac{- 17}{7}} x . \cos^{\frac{- 17}{7}}] x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \tan^{\frac{- 17}{7}} x . \cos^{- 2} x d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{1}{\cos^{2} x} . \tan^{- \frac{17}{7}} x d x \\ \Rightarrow I = \int (1 + \tan^{2} x) . \tan^{- \frac{17}{7}} x d x \\ \Rightarrow I = - \frac{7}{10} \tan^{- \frac{10}{7}} x + c \\ \Rightarrow I = - \frac{7}{10 \sqrt[7]{\tan^{10} x}} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \cos m x . \cos n x d x \\ \int \sin m x . \cos n x d x \\ \int \sin m x . \sin n x d x \end{cases}$

برای محاسبه چنین انتگرال هایی، برای فرمول های مثلثاتی، حاصل ضرب را به مجموع یا تفاضل تبدیل کرده، سپس عمل انتگرال گیری را انجام می‌دهیم.

$\begin{array}{l} \sin m x \cdot \sin n x = \frac{1}{2} [\cos (m - n) x - \cos (m + n) x] \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin m x \cdot \cos n x = \frac{1}{2} [\sin (m + n) x + \sin (m - n) x] \end{array}$

$\cos m x \cdot \cos n x = \frac{1}{2} [\cos (m + n) x + \cos (m - n) x]$

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \sin 5 x . \sin 3 x d x$

$\begin{array}{l} I = \int \sin 5 x . \sin 3 x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{2} [\cos (5 x - 3 x) - \cos (5 x + 3 x)] d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int (\cos 2 x - \cos 8 x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int \cos 2 x d x - \frac{1}{2} \int \cos 8 x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2 x - \frac{1}{2} . \frac{1}{8} \sin 8 x + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \sin 2 x - \frac{1}{16} \sin 8 x + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int f (\tan x) d x \\ \int f (\cot x) d x \\ \int f (\sec x) d x \\ \int f (\csc x) d x \end{cases}$

معمولا برای محاسبه انتگرال $\int f (\tan x) d x$ از تغییر متغیر $u = \tan x$ استفاده می‌شود.

معمولا برای محاسبه انتگرال $\int f (c o t x) d x$ از تغییر متغیر $u = c o t x$ استفاده می‌شود.

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \tan x d x$

$\begin{array}{l} I = \int \tan x d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{\sin x}{\cos x} d x \\ \Rightarrow I = \int \sin x . \cos^{- 1} x d x; (A) \\ \Rightarrow I = \int \sin x \cdot u^{- 1} \cdot \frac{- 1}{\sin x} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \int u^{- 1} d u \\ \Rightarrow I = - \int \frac{1}{u} d u \\ \Rightarrow I = - L n |u| + c \\ \Rightarrow I = - L n |\cos x| + c \end{array}$

$\begin{array}{l} (A) : u = \cos x \Rightarrow d u = - \sin x d x \Rightarrow d x = \frac{- 1}{\sin x} d u \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \tan^{n} x d x \\ \int \cot g^{n} x d x \end{cases}$

در این فرمول ها $n$ یک عدد صحیح و مثبت است.

حالت اول

این حالت در قالب مثال‌های زیر بررسی می‌شود.

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \tan^{n} x d u$

$\cos^{2} x = \frac{1}{1 + \tan^{2} x}$

$\begin{matrix} \Rightarrow 1 + \tan^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x} \\ \Rightarrow 1 + \tan^{2} x = \sec^{2} x \\ \Rightarrow \tan^{2} x = \sec^{2} x - 1 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int \tan^{n} x d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \tan^{n - 2} x . \tan^{2} x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \tan^{n - 2} x . (\sec^{2} x - 1) d x \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت دوم

برحسب آن‌که $n$ فرد یا زوج باشد، توان های فرد یا زوج کم‌تر از $n$ و تانژانت یا کتانژانت را اضافه و کم کنیم و پس از مرتب کردن با استفاده از قضیه انتگرال ها آنها را محاسبه کنیم.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \frac{1}{\sin^{2 n} x} d x \\ \int \frac{1}{\cos^{2 n} x} d x \end{cases}$

این انتگرال ها با استفاده از فرمول های زیر به انتگرال هایی بر حسب تانژانت یا کتانژانت تبدیل می‌شوند.

$\{\begin{cases} 1 + \tan^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x} \\ 1 + \cot g^{2} x = \frac{1}{\sin^{2} x} \end{cases}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

محاسبه انتگرال $\int \frac{1}{\sin^{2 n} x . \cos^{2 m} x} d x$

انتگرال های فوق را با استفاده از روابط زیر:

$\{\begin{cases} 1 + \tan^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x} \\ 1 + \cot g^{2} x = \frac{1}{\sin^{2} x} \end{cases}$

و در حالتی‌که $m = n$ باشد با استفاده از رابطه زیر:

$\sin x . \cos x = \frac{1}{2} \sin 2 x$

به انتگرال هایی بر حسب تانژانت یا کتانژانت تبدیل می‌شوند که قابل حل هستند.

تمرین

انتگرال زیر را حل کنید:

$I = \int \frac{1}{\sin^{2} x . \cos^{4} x} d x$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{\sin^{2} x . \cos^{4} x} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{1}{\sin^{2} x . {(\cos^{2} x)}^{2}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (1 + \cot g^{2} x) {(1 + \tan^{2} x)}^{2} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (1 + \cot g^{2} x) (1 + \tan^{4} x + 2 \tan^{2} x) d x \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (1 + \tan^{4} x + 2 \tan^{2} x + \cot g^{2} x + \cot g^{2} x . \tan^{4} x + 2 \cot g^{2} x . \tan^{2} x) d x \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (1 + \tan^{4} x + 2 \tan^{2} x + \cot g^{2} x + \tan^{2} x + 2) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int [(\tan^{4} x + \tan^{2} x) + 2 (\tan^{2} x + 1) + (1 + \cot g^{2} x)] d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int [\tan^{2} x (1 + \tan^{2} x) + 2 (\tan^{2} x + 1) + (1 + \cot g^{2} x)] d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{3} \tan^{3} x + 2 \tan x - \cot g x + c \end{array}$

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \sec^{n} u d u \\ \int \csc^{n} u d u \end{cases}$

حالت اول

اگر $n$ یک عدد مثبت و زوج باشد، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{l} I = \int \sec^{n} u d u \end{array}$

$= \int \sec^{n - 2} u \cdot \sec^{2} u d u$

$= \int {(\sec^{2} u)}^{\frac{n - 2}{2}} \cdot \sec^{2} u d u$

$\begin{array}{l} = \int {(\tan^{2} u + 1)}^{\frac{n - 2}{2}} \cdot \sec^{2} u d u \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \csc^{n} u d u \end{array}$

$\begin{array}{l} = \int \csc^{n - 2} u \cdot \csc^{2} u d u \end{array}$

$\begin{array}{l} = \int {(\csc^{2} u)}^{\frac{n - 2}{2}} \cdot \csc^{2} u d u \end{array}$

$= \int {(\cot g^{2} u + 1)}^{\frac{n - 2}{2}} \cdot \csc^{2} u d u$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت دوم

اگر $n$ یک عدد مثبت و فرد باشد، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

در محاسبه $\int \sec^{n} u d u$ و $\int \csc^{n} u d u$ از روش جزء به جزء استفاده می‌شود.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \tan^{m} u . \sec^{n} u d u \\ \int \cot g^{m} u . \csc^{n} u d u \end{cases}$

حالت اول

اگر $n$ یک عدد صحیح زوج باشد، به روش حل مثال های زیر توجه کنید.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت دوم

اگر $n$ یک عدد صحیح فرد باشد، به روش حل مثال های زیر توجه کنید.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت سوم

اگر $n$ فرد و $m$ زوج باشد، برای محاسبه آنها از انتگرال جزء به جزء استفاده می‌نماییم.

تذکر

به‌طور خلاصه داریم:

$\begin{array}{l} i f y = \sec u \Rightarrow y^{'} = u^{'} . \sec u . \tan u \end{array}$

$i f y = \csc u \Rightarrow y^{'} = - u^{'} \csc u . \cot g u$

$\begin{array}{l} 1) I = \int \tan u d u = - L n |\cos u| + c = L n |\sec u| + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) I = \int \cot g u d u = L n |\sin x| + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 3) I = \int \sec u d u = L n |\sec u + \tan u| + c \end{array}$

$4) I = \int \csc u d u = - L n |\csc u + \cot g u| + c$

$\begin{array}{l} 5) I = \int \sec^{2} u d u = \tan u + c \\ 6) I = \int \csc^{2} u d u = - \cot g u + c \\ 7) I = \int \sec u . \tan u d u = \sec u + c \end{array}$

$8) I = \int \csc u . \cot g u d u = - \csc u + c$

$\begin{array}{l} 9) I = \int \tan^{n} u d u = \int \tan^{n - 2} u \tan^{2} u d u = \int \tan^{n - 2} u (\sec^{2} u - 1) d u \end{array}$

$\begin{array}{l} 10) I = \int \cot g^{n} u d u = \int \cot g^{n - 2} u . \cot g^{2} u d u = \int \cot g^{n - 2} u . (\csc^{2} u - 1) d u \end{array}$

$11) I = \int \sec^{n} u d u = \int \sec^{n - 2} u . \sec^{2} u d u = \int {(\tan^{2} u + 1)}^{\frac{n - 2}{2}} . \sec^{2} u d u$

$\begin{array}{l} 12) \int \csc^{n} u d u = \int \csc^{n - 2} u . \csc^{2} u d u = \int {(\cot g^{2} u + 1)}^{\frac{n - 2}{2}} . \csc^{2} u d u \end{array}$

$\begin{array}{l} 13) I = \int \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} d u = \sec^{- 1} |u| + c \end{array}$

$14) I = \int \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - a^{2}}} d u = \frac{1}{a} \sec^{- 1} |\frac{u}{a}| + c$

خرید پاسخ‌ها

انتگرال نامعین (توابع مثلثاتی)

24,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

انتگرال

انتگرال نامعین (توابع مثلثاتی)

محاسبه انتگرال به‌فرم $\int f (\sin x, \cos x) d x$

محاسبه انتگرال به‌فرم $\int f (\sin^{2 n} x, \cos^{2 n} x) d x$

حالت اول

حالت دوم

محاسبه انتگرال به‌فرم $\int \frac{a \cos x + b \sin x}{c \cos x + d \sin x} d x$

محاسبه انتگرال به‌فرم $\{\begin{cases} \int \sin^{n} x d x \\ \int \cos^{n} x d x \end{cases}$

حالت اول

حالت دوم

محاسبه انتگرال به‌فرم $\int \sin^{m} x . \cos^{n} x d x$

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \cos m x . \cos n x d x \\ \int \sin m x . \cos n x d x \\ \int \sin m x . \sin n x d x \end{cases}$

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int f (\tan x) d x \\ \int f (\cot x) d x \\ \int f (\sec x) d x \\ \int f (\csc x) d x \end{cases}$

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \tan^{n} x d x \\ \int \cot g^{n} x d x \end{cases}$

حالت اول

حالت دوم

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \frac{1}{\sin^{2 n} x} d x \\ \int \frac{1}{\cos^{2 n} x} d x \end{cases}$

محاسبه انتگرال $\int \frac{1}{\sin^{2 n} x . \cos^{2 m} x} d x$

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \sec^{n} u d u \\ \int \csc^{n} u d u \end{cases}$

حالت اول

حالت دوم

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \tan^{m} u . \sec^{n} u d u \\ \int \cot g^{m} u . \csc^{n} u d u \end{cases}$

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

انتگرال

انتگرال نامعین (توابع مثلثاتی)

محاسبه انتگرال به‌فرم ∫fsinx,cosxdx

محاسبه انتگرال به‌فرم∫fsin2nx,cos2nxdx

حالت اول

حالت دوم

محاسبه انتگرال به‌فرم ∫acosx+bsinxccosx+dsinx dx

محاسبه انتگرال به‌فرم ∫sinnx dx ∫cosnx dx

حالت اول

حالت دوم

محاسبه انتگرال به‌فرم ∫sinmx.cosnx dx

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

محاسبه انتگرال ∫cosmx.cosnx dx∫sinmx.cosnx dx∫sinmx.sinnx dx

محاسبه انتگرال ∫ftanx dx∫fcotx dx∫fsecx dx∫fcscx dx

محاسبه انتگرال ∫tannx dx∫cotgnx dx

حالت اول

حالت دوم

محاسبه انتگرال ∫1sin2nx dx∫1cos2nx dx

محاسبه انتگرال ∫1sin2nx.cos2mx dx

محاسبه انتگرال ∫secnu du∫cscnu du

حالت اول

حالت دوم

محاسبه انتگرال ∫tanmu.secnu du∫cotgmu.cscnu du

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

محاسبه انتگرال به‌فرم $\int f (\sin x, \cos x) d x$

محاسبه انتگرال به‌فرم $\int f (\sin^{2 n} x, \cos^{2 n} x) d x$

محاسبه انتگرال به‌فرم $\int \frac{a \cos x + b \sin x}{c \cos x + d \sin x} d x$

محاسبه انتگرال به‌فرم $\{\begin{cases} \int \sin^{n} x d x \\ \int \cos^{n} x d x \end{cases}$

محاسبه انتگرال به‌فرم $\int \sin^{m} x . \cos^{n} x d x$

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \cos m x . \cos n x d x \\ \int \sin m x . \cos n x d x \\ \int \sin m x . \sin n x d x \end{cases}$

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int f (\tan x) d x \\ \int f (\cot x) d x \\ \int f (\sec x) d x \\ \int f (\csc x) d x \end{cases}$

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \tan^{n} x d x \\ \int \cot g^{n} x d x \end{cases}$

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \frac{1}{\sin^{2 n} x} d x \\ \int \frac{1}{\cos^{2 n} x} d x \end{cases}$

محاسبه انتگرال $\int \frac{1}{\sin^{2 n} x . \cos^{2 m} x} d x$

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \sec^{n} u d u \\ \int \csc^{n} u d u \end{cases}$

محاسبه انتگرال $\{\begin{cases} \int \tan^{m} u . \sec^{n} u d u \\ \int \cot g^{m} u . \csc^{n} u d u \end{cases}$