انتگرال نامعین (تابع اولیه)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 25 مرتبه

تابع اولیه (ضد مشتق)

در فصل‌های قبل طریقه پیدا کردن مشتق توابع را بررسی کردیم، یعنی پیدا کردن f' مشتق تابع f.

اکنون می‌خواهیم متقابل این عمل یعنی پیدا کردن f را از روی f' بررسی کنیم. این عمل ضد مشتق نام دارد.

انتگرال نامعین - پیمان گردلو

تمرین

اگر f'x=3x2+4x+2 باشد، آن‌گاه:

تابع fx به‌دست آورید.

fx=x3+2x2+2x


fx را یک ضد مشتق یا تابع اولیه f'x می‌نامیم. 

آیا تابع fx منحصر به فرد است؟ 

fx=x3+2x2+2x+10


fx را یک ضد مشتق یا تابع اولیه f'x می‌نامیم پس تابع fx منحصر به فرد نیست.

قضیه

اگر توابع f و g در بازه a,b مشتق پذیر باشند و به‌ازای هر x در a,b داشته باشیم: 

f'x=g'x

آن‌گاه عدد ثابت c وجود دارد به‌طوری‌که به‌ازای هر x در a,b داریم: 

fx=gx+c

اثبات

قضیه فوق را به‌عنوان یکی از نتایج قضیه مقدار میانگین ثابت می‌کنیم:

قضیه فوق بیان می‌دارد که اگر دو تابع، مشتق‌شان برابر باشند، تفاضل آنها مقدار ثابتی است.

if   f'x=g'xfx=gx+cfxgx=c

فرض کنیم hx=fxgx پس h روی a,b پیوسته و روی a,b مشتق پذیر است:  

if   fxgx=ch'x=f'xg'x=0    ;    axb

چون hx ثابت است یعنی hx=c بنابراین   fxgx=cمی‌باشد، پس داریم:

fx=gx+c

قضیه

n1  :    if  f'x=axnfx=an+1xn+1+c    ;    nQn=1  :    if  f'x=axnfx=aLnx+c

اثبات

می‌دانیم که مشتق gx=an+1xn+1 برابر f'x=axn می‌باشد.

اگر f هر تابعی باشد که مشتق آن axn باشد، بنا به قضیه قبل عدد ثابتی مانند c وجود دارد که:  

fx=gx+c

برای حالتی‌که n=-1 می‌باشد، اگر gx=aLnx باشد، آن‌گاه: 

g'x=a xxx=axx2=axx2=ax=f'x

و مانند حالت قبل:

fx=gx+c

تعریف تابع اولیه یا انتگرال نامعین

اگر F یک تابع اولیه f باشد، داریم:

if F'x=fxfxdx=Fx+c

fxdx را کلیه تابع اولیه‌ها یا انتگرال نامعین f نسبت به x می‌نامیم:

fxdx'=Fx+c'fx=F'x

در عبارت fxdx'=fx مشتق انتگرال یک تابع برابر خود آن تابع است.

تذکر

if   fx  dx=Fx+cdfx  dx=dFx+cfx  dx=F'x  dx

دیفرانسیل انتگرال یک تابع برابر است با دیفرانسیل خود تابع.

با توجه به انتگرال داریم:

xn  dx=1n+1xn+1+cax+bn  dx=1an+1ax+bn+1+c    ;    n11x  dx=Lnx+c1ax+b  dx=1aLnax+b+c    ;    n=1

دریافت مثال

قضیه

اگر F و G توابعی مشتق پذیر باشند که F'=fG'=g و aR آن‌گاه:

afx  dx=afx  dx=aFx+cfx±gx  dx=fx  dx±gx  dx=Fx±Gx+caF'=aF'=afF±G'=F'±G'fax+b  dx=1aFax+b+c

دریافت مثال

نکته

نباید چنین تصور شود که هر تابعی دارای تابع اولیه می‌باشد. توابعی وجود دارند که تابع اولیه ندارند.

تمرین

تابع با ضابطه زیر مفروض است، تابع اولیه این تابع را به‌دست آورید.

fx=0   ;x01    ;x>0

هیچ تابع اولیه روی یک بازه شامل صفر وجود ندارد یعنی تابع gای روی یک بازه شامل صفر وجود ندارد که تساوی زیر برقرار باشد:

g'x=fx


اگر g چنین تابعی باشد، آن‌گاه g در x=0 مشتق پذیر نمی‌باشد.


به‌طور کلی ثابت می‌شود که هر تابع پیوسته روی یک بازه بسته دارای تابع اولیه است.

قضیه

اگر f تابعی مشتق پذیر و با مشتق پیوسته باشد، آن‌گاه: 

xf'x  dx=xfxfx  dx

اثبات

xf'x  dx=xf'x+fxfx  dxxf'x  dx=xfx'  dxfx  dxxf'x  dx=xfxfx  dx+c

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال نامعین (تابع اولیه)

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید