انتگرال معین (محاسبه حجم)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 21 مرتبه

حجم حاصل از دوران یک سطح حول محورxها

قضیه

اگر تابع f روی بازه a,b پیوسته باشد، حجم حاصل از دوران سطح بین نمودار تابع و محور xها و دو خط x=a و x=b حول محور xها برابر است با:

V=πabf2xdx

اثبات

اگر تابع f روی بازه a,b پیوسته و برای هر x در این فاصله تابع fx0 باشد، ناحیه بین محور xها و منحنی f را R می‌نامیم.

می‌خواهیم حجم جسم حاصل از دوران سطح R حول محور xها را محاسبه کنیم:  

فاصله a,b را به‌ترتیب زیر، افراز می‌کنیم:   

a=x0<x1<x2<....<xn1<xn=b

حجم دوران - پیمان گردلو

پس فاصله a,b به n زیر فاصله زیر تقسیم می‌شوند: 

x0,x1,x1,x2,....,xk1,xk,...,xn1,xn

مطابق شکل فوق، در هر کدام از زیر فاصله‌های xk1,xk نقطه ای مانند tk انتخاب می‌کنیم.

خطوط عمودی زیر را رسم می‌کنیم:

x=t1x=t2    x=tk    x=tn

این خطوط منحنی y=fx را در نقاطی به عرض های  زیر قطع می‌کند: 

y1=ft1y2=ft2        yk=ftk        yn=ftn

حال روی هر کدام از این زیر فاصله ها، مستطیلی چنان رسم می‌کنیم که قاعده آن xkxk1 و ارتفاع آن yk=ftk باشد، پس n مستطیل به این طریق ساخته می‌شود.

وقتی سطح R حول محور xها ها دوران کند، هر یک از مستطیل ها، یک استوانه به‌وجود می‌آورند که ارتفاع هر کدام xkxk1 و شعاع قاعده هر کدام ftk می‌باشد، پس اگر Vk حجم استوانه kام باشد، داریم:

Vk=πftk2xkxk1

حال اگر طول هر کدام از این زیر فاصله ها را خیلی کوچک انتخاب کنیم، این مجموع به طور تقریبی برابر حجم جسم حاصل از سطح R حول محور xها خواهد بود یعنی:

Vk=1nπftk2xkxk1

اگر طول بزرگ‌ترین زیر فاصله را به x نشان دهیم، وقتی x به‌سمت صفر میل کند، هر یک از این زیر فاصله ها به صفر میل می‌کنند و در این حالت n تعداد زیر فاصله ها، به‌سمت بی‌نهایت میل خواهد کرد. 

در نتیجه حجم جسم دوار حاصل به‌وسیله رابطه زیر تعریف می‌شود‌:

V=limΔx0k=1nπftk2xtxk1

اگر gx=πfx2 باشد، بنا به‌تعریف انتگرال معین:

V=limΔx0k=1gtkxkxk1V=abgxdxV=abπfx2dxV=πabf2x  dx

دریافت مثال

حجم حاصل از دوران سطح بین دو منحنی حول محورxها

فرض کنیم f و g دو تابع پیوسته در بازه a,b باشند و به ازای هر x از این بازه fxgx یا fxgx باشد، در این‌صورت حجم جسم حاصل از دوران ناحیه بین دو نمودار و دو خط x=a و x=b حول محور xها، برابر است با:

حجم دوران - پیمان گردلو

V=πabf2xg2xdx

دریافت مثال

حجم حاصل از دوران یک سطح حول محورyها

فرض کنیم تابع y=fx در بازه c,d تابعی پیوسته باشد، حجم حاصل از دوران ناحیه محدود به نمودار f و محور yها و دو خط y=c و y=d حول محور yها برابر است با:

V=πcdf2y  dy

اگر دو تابع x1=fy و x2=gy روی بازه c,d پیوسته و به ازای هر y از این بازه x1>x2 یا x1<x2 باشد، در این‌صورت حجم حاصل از دوران ناحیه بین نمودارهای دو تابع و خطوط y=c و y=d حول محور yها برابر است با:

V=πcdf2yg2ydy

دریافت مثال

حجم یک جسم دوار (روش پوسته استوانه‌ای)

در روش‌های قبلی برای یافتن حجم یک جسم دوار، اجزای مستطیلی را عمود بر محور دوران در نظر می‌گرفتیم (طول ها) در این‌صورت حجم جزیی یک قرص مستدیر یا حلقه مستدیر بود.

اگر اجزای مستطیلی (طول) از سطح، موازی محور دوران باشند، در این‌صورت از دوران آن حول محور، یک پوسته استوانه ای پدید می‌آید، یعنی جسمی که بین دو استوانه هم محور قرار می‌گیرد.

این جسم را یک سیلندر می‌نامیم.

حجم دوران - پیمان گردلو

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال معین (محاسبه حجم)

2,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید