سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

انتگرال معین (محاسبه حجم)

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

حجم حاصل از دوران یک سطح حول محور $x$ ها

قضیه

اگر تابع $f$ روی بازه $[a, b]$ پیوسته باشد، حجم حاصل از دوران سطح بین نمودار تابع و محور $x$ ها و دو خط $x = a$ و $x = b$ حول محور $x$ ها برابر است با:

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

اثبات

اگر تابع $f$ روی بازه $[a, b]$ پیوسته و برای هر $x$ در این فاصله تابع $f (x) \geq 0$ باشد، ناحیه بین محور $x$ ها و منحنی $f$ را $R$ می‌نامیم.

می‌خواهیم حجم جسم حاصل از دوران سطح $R$ حول محور $x$ ها را محاسبه کنیم:

فاصله $[a, b]$ را به‌ترتیب زیر، افراز می‌کنیم:

$a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < .... < x_{n - 1} < x_{n} = b$

حجم دوران - پیمان گردلو

پس فاصله $[a, b]$ به $n$ زیر فاصله زیر تقسیم می‌شوند:

$[x_{0}, x_{1}], [x_{1}, x_{2}], ...., [x_{k - 1,} x_{k}], ..., [x_{n - 1}, x_{n}]$

مطابق شکل فوق، در هر کدام از زیر فاصله‌های $[x_{k - 1}, x_{k}]$ نقطه ای مانند $t_{k}$ انتخاب می‌کنیم.

خطوط عمودی زیر را رسم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} x = t_{1} \\ x = t_{2} \\ ⋮ \\ x = t_{k} \\ ⋮ \\ x = t_{n} \end{array}$

این خطوط منحنی $y = f (x)$ را در نقاطی به عرض های زیر قطع می‌کند:

$\begin{array}{l} y_{1} = f (t_{1}) \\ y_{2} = f (t_{2}) \\ ⋮ \\ y_{k} = f (t_{k}) \\ ⋮ \\ y_{n} = f (t_{n}) \end{array}$

حال روی هر کدام از این زیر فاصله ها، مستطیلی چنان رسم می‌کنیم که قاعده آن $x_{k} - x_{k - 1}$ و ارتفاع آن $y_{k} = f (t_{k})$ باشد، پس $n$ مستطیل به این طریق ساخته می‌شود.

وقتی سطح $R$ حول محور $x$ ها ها دوران کند، هر یک از مستطیل ها، یک استوانه به‌وجود می‌آورند که ارتفاع هر کدام $(x_{k} - x_{k - 1})$ و شعاع قاعده هر کدام $f (t_{k})$ می‌باشد، پس اگر $V_{k}$ حجم استوانه $k$ ام باشد، داریم:

$V_{k} = π {(f (t_{k}))}^{2} (x_{k} - x_{k - 1})$

حال اگر طول هر کدام از این زیر فاصله ها را خیلی کوچک انتخاب کنیم، این مجموع به طور تقریبی برابر حجم جسم حاصل از سطح $R$ حول محور $x$ ها خواهد بود یعنی:

$V ≅ \sum_{k = 1}^{n} π {(f (t_{k}))}^{2} (x_{k} - x_{k - 1})$

اگر طول بزرگ‌ترین زیر فاصله را به $∆ x$ نشان دهیم، وقتی $∆ x$ به‌سمت صفر میل کند، هر یک از این زیر فاصله ها به صفر میل می‌کنند و در این حالت $n$ تعداد زیر فاصله ها، به‌سمت بی‌نهایت میل خواهد کرد.

در نتیجه حجم جسم دوار حاصل به‌وسیله رابطه زیر تعریف می‌شود‌:

$V = \lim_{Δ x \to 0} \sum_{k = 1}^{n} π {(f (t_{k}))}^{2} (x_{t} - x_{k - 1})$

اگر $g (x) = π {(f (x))}^{2}$ باشد، بنا به‌تعریف انتگرال معین:

$\begin{array}{l} V = \lim_{Δ x \to 0} \sum_{k = 1} g (t_{k}) (x_{k} - x_{k - 1}) \\ \Rightarrow V = \int_{a}^{b} g (x) d x \\ \Rightarrow V = \int_{a}^{b} π {(f (x))}^{2} d x \\ \Rightarrow V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x \end{array}$

تمرین

حجم مخروط دواری را حساب كنيد كه شعاع قاعده آن $R$ و ارتفاعش $h$ باشد.

پیمان گردلو

اگر مبدا مختصات را راس اين مخروط و ارتفاع آن را منطبق بر محور $x$ ها انتخاب كنيم، مشخص است كه اين مخروط از دوران سطح مثلث قائم الزاويه $O A H$ حول محور $O x$ به‌دست می‌آيد، پس ابتدا معادله خط $O A$ را به‌دست می‌آوريم:

$\{\begin{cases} m_{O A} = \tan α = \frac{R}{h} \\ y = m_{O A} . x \Rightarrow y = \frac{R}{h} . x \Rightarrow f (x) = \frac{R}{h} . x \end{cases}$

$\begin{array}{l} V = π \int_{0}^{h} f^{2} (x) d x \\ \Rightarrow V = π \int_{0}^{h} {[(\frac{R}{h}) (x)]}^{2} d x \\ \Rightarrow V = \frac{π R^{2}}{h^{2}} [\frac{1}{3} x^{3} |\begin{matrix} h \\ 0 \end{matrix} \\ \Rightarrow V = \frac{π R^{2}}{h^{2}} . \frac{1}{3} h^{3} \\ \Rightarrow V = \frac{π R^{2} h}{3} \end{array}$

تمرین

بيضی به معادله زیر را حول محور $x$ ها دوران می‌دهيم، حجم بيضوی حاصل را پيدا كنيد.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

مختصات نقاط تلاقی تابع $y = f (x)$ را با محور $x$ ها یعنی $y = 0$ به‌دست می‌آوريم:

$\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ y = 0 \end{matrix}〉 \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 \Rightarrow x^{2} = a^{2} \Rightarrow x = \pm a$

بيضوی از دوران سطح نيم بيضی كه از $(- a)$ تا $(a)$ می‌باشد، به‌دست می‌آيد:

پیمان گردلو

$\frac{x^{}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} \Rightarrow y^{2} = b^{2} (1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}) \Rightarrow f^{2} (x) = b^{2} (1 - \frac{x^{2}}{a^{2}})$

$\begin{array}{l} V = π \int_{- a}^{a} f^{2} (x) d x \\ \Rightarrow V = π \int_{- a}^{a} b^{2} (1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}) d x \\ \Rightarrow V = π b^{2} [x - \frac{x^{3}}{3 a^{2}} |\begin{matrix} a \\ - a \end{matrix} \\ \Rightarrow V = \frac{4}{3} π a b^{2} \end{array}$

تمرین

حجم حاصل از دوران سطح بين منحنی و خطوط زیر را حول محور $x$ ها بيابيد.

$\{\begin{cases} f (x) = \sin x + \cos x \\ x = \frac{π}{2} \\ x = \frac{π}{4} \end{cases}$

$\begin{array}{l} V = π \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} f^{2} (x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V = π \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} {(\sin x + \cos x)}^{2} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V = π \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (\sin^{2} x + 2 \sin x . \cos x + \cos^{2} x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V = π \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (1 + \sin 2 x) d x \\ \Rightarrow V = π [x - \frac{1}{2} \cos 2 x |\begin{matrix} \frac{π}{2} \\ \frac{π}{4} \end{matrix} \\ \Rightarrow V = π (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) \\ \Rightarrow V = \frac{π^{2}}{4} + \frac{π}{2} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حجم حاصل از دوران سطح بین دو منحنی حول محور $x$ ها

فرض کنیم $f$ و $g$ دو تابع پیوسته در بازه $[a, b]$ باشند و به ازای هر $x$ از این بازه $f (x) \geq g (x)$ یا $f (x) \leq g (x)$ باشد.

در این‌صورت حجم جسم حاصل از دوران ناحیه بین دو نمودار و دو خط $x = a$ و $x = b$ حول محور $x$ ها، برابر است با:

حجم دوران - پیمان گردلو

$V = π |\int_{a}^{b} (f^{2} (x) - g^{2} (x)) d x|$

تمرین

حجم حاصل از دوران سطح ناحيه محدود به منحنی ها و خطوط زیر را حول محور $x$ ها بيابيد.

$\{\begin{cases} y = \tan x \\ y = \cot x \\ x = \frac{π}{3} \\ x = \frac{π}{6} \end{cases}$

محاسبه مختصات نقطه تلاقی:

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} y = \tan x \\ y = \cot x \end{matrix}〉 \tan x = \cot x \\ \tan x = \cot x \\ \Rightarrow \tan x = \frac{1}{\tan x} \\ \Rightarrow \tan^{2} x = 1 \\ \Rightarrow (\tan^{2} x - 1) = 0 \\ \Rightarrow (\tan x - 1) (\tan x + 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} \tan x - 1 = 0 \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{4} \\ \tan x - 1 = 0 \Rightarrow \tan x = - 1 \Rightarrow x = - \frac{π}{4} \end{cases} \end{array}$

پیمان گردلو

چون حجم، بين دو خط $x = \frac{π}{3}, \frac{π}{6}$ در نظر گرفته شده است، از بين طول های نقاط تقاطع فقط $x = \frac{π}{4}$ را در نظر می‌گيريم:

$x = \frac{π}{4} \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$

در بازه $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ تانژانت بالای کتانژانت است.

در بازه $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ کتانژانت بالای تانژانت است.

$\begin{matrix} \begin{array}{l} S = π |\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} (\tan^{2} x - \cot^{2} x) d x| + π |\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (\tan^{2} x - \cot^{2} x) d x| \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = π |\tan x + \cot x |\begin{matrix} \frac{π}{4} \\ \frac{π}{6} \end{matrix} + π |\tan x + \cot x |\begin{matrix} \frac{π}{3} \\ \frac{π}{4} \end{matrix} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{2 π}{3} (4 \sqrt{3} - 6) \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حجم حاصل از دوران یک سطح حول محور $y$ ها

فرض کنیم تابع $y = f (x)$ در بازه $[c, d]$ تابعی پیوسته باشد، حجم حاصل از دوران ناحیه محدود به نمودار $f$ و محور $y$ ها و دو خط $y = c$ و $y = d$ حول محور $y$ ها برابر است با:

$V = π |\int_{c}^{d} f^{2} (y) d y|$

اگر دو تابع $x_{1} = f (y)$ و $x_{2} = g (y)$ روی بازه $[c, d]$ پیوسته و به ازای هر $y$ از این بازه $x_{1} > x_{2}$ یا $x_{1} < x_{2}$ باشد، در این‌صورت حجم حاصل از دوران ناحیه بین نمودارهای دو تابع و خطوط $y = c$ و $y = d$ حول محور $y$ ها برابر است با:

$V = π |\int_{c}^{d} (f^{2} (y) - g^{2} (y)) d y|$

تمرین

حجم حاصل از دوران ناحيه بين دو تابع زیر را حول محور $y$ ها به‌دست آورید.

$\{\begin{cases} y = m x \\ y = x^{2} \end{cases}$

محاسبه مختصات نقاط تلاقی:

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} y = x^{2} \\ y = m x \end{matrix} \\ x^{2} = m x \Rightarrow x^{2} - m x = 0 \\ \Rightarrow x (x - m) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 0 \\ x = m \Rightarrow y = m^{2} \end{matrix} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f y = x^{2} \Rightarrow x = \sqrt{y} \Rightarrow f (y) = \sqrt{y} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f y = m x \Rightarrow x = \frac{1}{m} y \Rightarrow g (y) = \frac{1}{m} y \end{array}$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} V = π \int_{0}^{m^{2}} (f^{2} (y) - g^{2} (y)) d y \\ \Rightarrow V = π \int_{0}^{m^{2}} (y - \frac{1}{m^{2}} y^{2}) d y \\ \Rightarrow V = π {|\frac{1}{2} y^{2} - \frac{y^{3}}{3 m^{2}}|}_{0}^{m^{2}} \\ \Rightarrow V = π |\frac{m^{4}}{2} - \frac{m^{4}}{3}| \\ \Rightarrow V = \frac{π m^{4}}{6} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حجم یک جسم دوار (روش پوسته استوانه‌ای)

در روش‌های قبلی برای یافتن حجم یک جسم دوار، اجزای مستطیلی را عمود بر محور دوران در نظر می‌گرفتیم (طول ها) در این‌صورت حجم جزیی یک قرص مستدیر یا حلقه مستدیر بود.

اگر اجزای مستطیلی (طول) از سطح، موازی محور دوران باشند، در این‌صورت از دوران آن حول محور، یک پوسته استوانه ای پدید می‌آید، یعنی جسمی که بین دو استوانه هم محور قرار می‌گیرد.

این جسم را یک سیلندر می‌نامیم.

حجم دوران - پیمان گردلو

خرید پاسخ‌ها

انتگرال معین (محاسبه حجم)

4,400تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

انتگرال

انتگرال معین (محاسبه حجم)

حجم حاصل از دوران یک سطح حول محور $x$ ها

حجم حاصل از دوران سطح بین دو منحنی حول محور $x$ ها

حجم حاصل از دوران یک سطح حول محور $y$ ها

حجم یک جسم دوار (روش پوسته استوانه‌ای)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

انتگرال

انتگرال معین (محاسبه حجم)

حجم حاصل از دوران یک سطح حول محورxها

حجم حاصل از دوران سطح بین دو منحنی حول محورxها

حجم حاصل از دوران یک سطح حول محورyها

حجم یک جسم دوار (روش پوسته استوانه‌ای)

حجم حاصل از دوران یک سطح حول محور $x$ ها

حجم حاصل از دوران سطح بین دو منحنی حول محور $x$ ها

حجم حاصل از دوران یک سطح حول محور $y$ ها