سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

انتگرال نامعین (توابع گویا)

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

انتگرال گیری از توابع گویا

هر تابع به‌صورت $f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}$ که در آن $p (x)$ و $q (x)$ توابعی چندجمله‌ای باشند، به یک تابع گویا موسوم می‌باشند.

برای محاسبه انتگرال چنین توابعی حالات زیر را در نظر می‌گیریم:

حالت اول

درجه صورت از درجه مخرج بیش‌تر باشد.

در این حالت، صورت را بر مخرج تقسیم کرده و آن را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$\frac{p (x)}{q (x)} = p_{1} (x) + \frac{p_{2} (x)}{q (x)}$

چندجمله‌ای $p_{1} (x)$ خارج قسمت است.

چندجمله‌ای $p_{2} (x)$ باقیمانده است.

چندجمله‌ای $q (x)$ مقسوم علیه است.

تمرین

انتگرال های زير را محاسبه کنيد.

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x^{4} - 3}{x^{2} + 2 x + 1} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1 \\ \underline{\mp x^{4} \mp 2 x^{3} \mp x^{2}} x^{2} - 2 x + 3 \\ - 2 x^{3} - x^{2} - 3 \\ \underline{\pm 2 x^{3} \pm 4 x^{2} \pm 2 x} \\ 3 x^{2} + 2 x - 3 \\ \underline{\mp 3 x^{2} \mp 6 x \mp 3} \\ - 4 x - 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x^{4} - 3}{x^{2} + 2 x + 1} = x^{2} - 2 x + 3 + \frac{(- 4 x - 6)}{x^{2} + 2 x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x^{4} - 3}{x^{2} + 2 x + 1} d x = \int (x^{2} - 2 x + 3 + \frac{- 4 x - 6}{x^{2} + 2 x + 1}) d x \end{array}$

نحوه حل اين‌گونه انتگرال ها در ادامه درس خواهد آمد.

$I = \int \frac{x^{4} - 3 x^{2} - 3 x - 2}{x^{3} - x^{2} - 2 x} d x$

$\begin{array}{l} \frac{x^{4} - 3 x^{2} - 3 x - 2}{x^{3} - x^{2} - 2 x} = x + 1 + \frac{- x - 2}{x^{3} - x^{2} - 2 x} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x^{4} - 3 x^{2} - 3 x - 2}{x^{3} - x^{2} - 2 x} d x = \int [(x + 1) + \frac{- x - 2}{x (x^{2} - x - 2)}] d x \end{array}$

نحوه حل اين‌گونه انتگرال ها در ادامه درس خواهد آمد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت دوم

درجه صورت از درجه مخرج کوچک‌تر باشد.

برای محاسبه انتگرال تابع گویای $\frac{p (x)}{q (x)}$ ، مخرج کسر را به‌صورت عوامل اول تجزیه می‌کنیم.

تذکر

برای تجزیه کردن مخرج کسر به‌صورت عامل‌های اول، داریم: (به مبحث تجزیه مراجعه کنید.)

در تابع گویای $\frac{p (x)}{q (x)}$ ، چندجمله‌ای $q (x)$ به‌صورت زیر می‌باشد:

$q (x) = {(x - a)}^{k} . {(x - b)}^{t} .... {(x^{2} + α x + β)}^{r} . {(x^{2} + γ x + μ)}^{S} ....$

که در آن دوجمله‌ای‌ها و سه‌جمله‌ای‌ها از هم متمایز هستند و سه‌جمله‌ای‌ها ریشه‌ها ی حقیقی ندارند، در این‌صورت:

$\begin{array}{l} \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{A_{1}}{x - a} + \frac{A_{2}}{{(x - a)}^{2}} + \dots + \frac{A_{k}}{{(x - a)}^{k}} + \frac{B_{1}}{(x - b)} + \frac{B_{2}}{{(x - b)}^{2}} + \dots + \frac{B_{t}}{{(x - b)}^{t}} + \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} + \dots + \frac{M_{1} x + N_{1}}{x^{2} + α x + β} + \frac{M_{2} x + N_{2}}{{(x^{2} + α x + β)}^{2}} + \dots + \frac{M_{r} x + N_{r}}{{(x^{2} + α x + β)}^{r}} + \dots \end{array}$

$+ \dots + \frac{R_{1} x + L_{1}}{x^{2} + α x + μ} + \frac{R_{2} x + L_{2}}{{(x^{2} + γ x + μ)}^{2}} + \dots + \frac{R_{S} x + L_{S}}{{(x^{2} + γ x + μ)}^{S}} + \dots$

می‌باشد که:

$L_{S}, ..., A_{2}, A_{1}$

را باید از طریق مخرج مشترک به‌دست آوریم.

تمرین

انتگرال های زير را محاسبه کنيد.

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{x^{2} - 4} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{1}{(x - 2) (x + 2)} \\ \Rightarrow \frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} \\ \Rightarrow \frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{A (x + 2) + B (x - 2)}{(x - 2) (x + 2)} \\ \Rightarrow A (x + 2) + B (x - 2) \equiv 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (A + B) x + 2 (A - B) \equiv 1 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} A + B = 0 \\ 2 (A - B) = 1 \end{cases} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} A = \frac{1}{4} \\ B = - \frac{1}{4} \end{cases} \end{array}$

$\frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{\frac{1}{4}}{x - 2} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 2}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{x^{2} - 4} d x \\ \Rightarrow I = \int (\frac{\frac{1}{4}}{x - 2} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 2}) d x \\ \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}) d x \\ \Rightarrow I = \frac{1}{4} [L n |x - 2| - L n |x + 2|] \\ \Rightarrow I = \frac{1}{4} L n |\frac{x - 2}{x + 2}| + c \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x}{{(x - 2)}^{2}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A_{1}}{(x - 2)} + \frac{A_{2}}{{(x - 2)}^{2}} \\ \Rightarrow \frac{x}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A_{1} (x - 2) + A_{2}}{{(x - 2)}^{2}} \\ \Rightarrow A_{1} (x - 2) + A_{2} \equiv x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A_{1} x - 2 A_{1} + A_{2} \equiv x \\ \Rightarrow A_{1} x + (A_{2} - 2 A_{1}) \equiv x \\ \Rightarrow \{\begin{cases} A_{1} = 1 \\ A_{2} - 2 A_{1} = 0 \end{cases} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} A_{1} = 1 \\ A_{2} = 2 \end{cases} \end{array}$

$\frac{x}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{(x - 2)} + \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x}{{(x - 2)}^{2}} d x \\ \Rightarrow I = \int [\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}] d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{x - 2} d x + 2 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = L n |x - 2| - \frac{4}{(x - 2)} + c \end{array}$

$I = \int \frac{1}{(8 - x) (6 - x)} d x$

$\begin{array}{l} \frac{1}{(8 - x) (6 - x)} = \frac{A}{8 - x} + \frac{B}{6 - x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{(8 - x) (6 - x)} = \frac{A (6 - x) + B (8 - x)}{(8 - x) (6 - x)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 \equiv A (6 - x) + B (8 - x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 \equiv (- A - B) x + (6 A + 8 B) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} - A - B = 0 \\ 6 A + 8 B = 1 \end{cases} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} A = - \frac{1}{2} \\ B = \frac{1}{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{(8 - x) (6 - x)} d x \\ = \int (\frac{- \frac{1}{2}}{8 - x} + \frac{\frac{1}{2}}{6 - x}) d x \\ = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{6 - x} - \frac{1}{8 - x}) d x \end{array}$