انتگرال معین (حد مجموع دنباله)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 25 مرتبه

مجموع‌های خاصی وجود دارند که محاسبه حد آنها به کمک انتگرال امکان پذیر می‌باشد.

اساس این محاسبه، تشکیل یک مجموع ریمان و سپس محاسبه حد آن است که به پیدا کردن حاصل یک انتگرال معین منجر می‌شود.

فرض کنیم f در بازه a,b تابعی انتگرال پذیر باشد، در این‌صورت:

A=limn+i=1nfxiΔxΔx=ban  ,  x0=a  ,  x1=a+Δx  ,  ...  ,  xi=a+iΔx

A=limn+i=1nfxiΔxA=limn+i=1nfa+iΔxΔxA=limn+i=1nfa+banibanA=  a  bfx  dx

حال اگر دنباله xn به‌صورت زیر باشد:

xn=banfa+ban.1+fa+ban.2+...+fa+ban.n

با تعیین ضابطه تابع f و محاسبه   a  bfx  dx حد xn وقتی n+ میل می‌کند، به‌دست می‌آید.

در بیشتر مواقع می‌توانیم حالتی را در نظر بگیریم که به‌جای بازه a,b بازه 0,1 را داشته باشیم، در این حالت دنباله xn به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

xn=1nf1n+f2n+...+fnnlimn+xn=limn+1nf1n+f2n+...+fnnlimn+xn=  0  1fx  dx

تذکر

یکی از مجموع‌های مهم، مجموع معروف به Sk می‌باشد:

Sk=1k+2k+...+nknk+1=i=1niknk+1S1=1+2+...+nn2S2=12+22+...+n2n3S3=13+23+...+n3n4

به‌کمک انتگرال می‌توانیم بدون محاسبه مقدار مجموع، حد آن را پیدا کنیم.

Sk=1k+2k+...+nknk+1Sk=1k+2k++nkn.nkSk=1n.1k+2k++nknkSk=1n1nk+2nk++nnk

limn+Sk=limn+1n1nk+2nk++nnk    ;    fx=xk  ,  x0,1limn+Sk=  0  1xk  dxlimn+Sk=1k+1xk+110limn+Sk=1k+1

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال معین (حد مجموع دنباله)

1,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید