انتگرال معین (حد مجموع دنباله)

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مجموع‌های خاصی وجود دارند که محاسبه حد آنها به کمک انتگرال امکان پذیر می‌باشد.

اساس این محاسبه، تشکیل یک مجموع ریمان و سپس محاسبه حد آن است که به پیدا کردن حاصل یک انتگرال معین منجر می‌شود.

فرض کنیم $f$ در بازه $[a, b]$ تابعی انتگرال پذیر باشد، در این‌صورت:

$\begin{array}{l} A = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x \end{array}$

$Δ x = \frac{b - a}{n}, x_{0} = a, x_{1} = a + Δ x, ..., x_{i} = a + i Δ x$

$\begin{array}{l} A = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (a + i Δ x) Δ x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} f [a + \frac{(b - a)}{n} i] \frac{b - a}{n} \end{array}$

$\Rightarrow A = \int_{a}^{b} f (x) d x$

حال اگر دنباله $\{x_{n}\}$ به‌صورت زیر باشد:

$\{x_{n}\} = \frac{b - a}{n} \{f [a + (\frac{b - a}{n}) .1] + f [a + \frac{(b - a)}{n} .2] + ... + f [a + \frac{(b - a)}{n} . n]\}$

با تعیین ضابطه تابع $f$ و محاسبه $\int_{a}^{b} f (x) d x$ حد $x_{n}$ وقتی $n \to + \infty$ میل می‌کند، به‌دست می‌آید.

در بیشتر مواقع می‌توانیم حالتی را در نظر بگیریم که به‌جای بازه $[a, b]$ بازه $[0, 1]$ را داشته باشیم، در این حالت دنباله $x_{n}$ به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\begin{array}{l} \{x_{n}\} = \frac{1}{n} [f (\frac{1}{n}) + f (\frac{2}{n}) + ... + f (\frac{n}{n})] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} \{x_{n}\} = \lim_{n \to + \infty} \{\frac{1}{n} [f (\frac{1}{n}) + f (\frac{2}{n}) + ... + f (\frac{n}{n})]\} \end{array}$

$\Rightarrow \lim_{n \to + \infty} \{x_{n}\} = \int_{0}^{1} f (x) d x$

تذکر

یکی از مجموع‌های مهم، مجموع معروف به $S_{k}$ می‌باشد:

$S_{k} = \frac{1^{k} + 2^{k} + ... + n^{k}}{n^{k + 1}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} i^{k}}{n^{k + 1}}$

$\{\begin{cases} S_{1} = \frac{1 + 2 + ... + n}{n^{2}} \\ S_{2} = \frac{1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2}}{n^{3}} \\ S_{3} = \frac{1^{3} + 2^{3} + ... + n^{3}}{n^{4}} \end{cases}$

به‌کمک انتگرال می‌توانیم بدون محاسبه مقدار مجموع، حد آن را پیدا کنیم.

$\begin{array}{l} S_{k} = \frac{1^{k} + 2^{k} + ... + n^{k}}{n^{k + 1}} \\ \Rightarrow S_{k} = \frac{1^{k} + 2^{k} + \dots + n^{k}}{n . n^{k}} \\ \Rightarrow S_{k} = \frac{1}{n} . [\frac{1^{k} + 2^{k} + \dots + n^{k}}{n^{k}}] \end{array}$

$\Rightarrow S_{k} = \frac{1}{n} [{(\frac{1}{n})}^{k} + {(\frac{2}{n})}^{k} + \dots + {(\frac{n}{n})}^{k}]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{k} = \lim_{n \to + \infty} \{\frac{1}{n} [{(\frac{1}{n})}^{k} + {(\frac{2}{n})}^{k} + \dots + {(\frac{n}{n})}^{k}]\}; f (x) = x^{k}, x \in [0, 1] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{k} = \int_{0}^{1} x^{k} d x \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{k} = [\frac{1}{k + 1} x^{k + 1} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{k} = \frac{1}{k + 1} \end{array}$

تمرین

حدهای زیر را به کمک انتگرال محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} \lim_{n \to + \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + ... + \sqrt{n}}{n \sqrt{n}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{x_{n}\} = \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + ... + \sqrt{n}}{n \sqrt{n}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{x_{n}\} = \frac{1}{n} [\frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + ... + \sqrt{n}}{\sqrt{n}}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{x_{n}\} = \frac{1}{n} [\sqrt{\frac{1}{n}} + \sqrt{\frac{2}{n}} + ... + \sqrt{\frac{n}{n}}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} \{x_{n}\} = \lim_{n \to + \infty} \{\frac{1}{n} [\sqrt{\frac{1}{n}} + \sqrt{\frac{2}{n}} + ... + \sqrt{\frac{n}{n}}]\}; f (x) = \sqrt{x}, x \in [1, 0] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} x_{n} = \int_{0}^{1} (\sqrt{x}) d x \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} x_{n} = [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + ... + \sqrt{n}}{n \sqrt{n}} = \frac{2}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{n \to + \infty} (\frac{n}{n^{2} + 1} + \frac{n}{n^{2} + 4} + \frac{n}{n^{2} + 9} + ... + \frac{n}{2 n^{2}}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \{x_{n}\} = (\frac{n}{n^{2} + 1} + \frac{n}{n^{2} + 4} + \frac{n}{n^{2} + 9} + ... + \frac{n}{2 n^{2}}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{x_{n}\} = \frac{1}{n} (\frac{n^{2}}{n^{2} + 1} + \frac{n^{2}}{n^{2} + 4} + \frac{n^{2}}{n^{2} + 9} + ... + \frac{n^{2}}{2 n^{2}}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{x_{n}\} = \frac{1}{n} [\frac{1}{1 + \frac{1}{n^{2}}} + \frac{1}{1 + {(\frac{2}{n})}^{2}} + ... + \frac{1}{1 + {(\frac{n}{n})}^{2}}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} \{x_{n}\} = \lim_{n \to + \infty} \{\frac{1}{n} [\frac{1}{1 + \frac{1}{n^{2}}} + \frac{1}{1 + {(\frac{2}{n})}^{2}} + ... + \frac{1}{1 + {(\frac{n}{n})}^{2}}]\}; f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}, x \in [0, 1] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} x_{n} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} . d x \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} x_{n} = [A r c \tan x |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} (\frac{n}{n^{2} + 1} + \frac{n}{n^{2} + 4} + \frac{n}{n^{2} + 9} + ... + \frac{n}{2 n^{2}}) = \frac{π}{4} \end{array}$

$\lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n + 1} + ... + \frac{1}{2 n})$

$\begin{array}{l} \{x_{n}\} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{2 n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{x_{n}\} = \frac{1}{n} [\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} + \frac{1}{1 + \frac{2}{n}} + ... + \frac{1}{1 + \frac{n}{n}}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} \{x_{n}\} = \lim_{n \to + \infty} \{\frac{1}{n} [\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} + \frac{1}{1 + \frac{2}{n}} + ... + \frac{1}{1 + \frac{n}{n}}]\}; f (x) = \frac{1}{1 + x}, x \in [0, 1] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} \{x_{n}\} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} . d x \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} \{x_{n}\} = L n |x + 1| |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} \{x_{n}\} = L n 2 - L n 1 \end{array}$