سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

انتگرال نامعین (قاعده زنجیری)

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تغییر متغیر در انتگرال نامعین

فرض کنیم $f$ تابعی پیوسته و $F$ یک تابع اولیه آن باشد.

فرض کنیم $g$ تابعی مشتق پذیر باشد به‌طوری‌که $g^{'}$ تابعی پیوسته و $F o g$ تعریف شده باشد. اگر $H = F o g$ و $H^{'} = h$ آن‌گاه:

$\begin{array}{l} h (x) = H^{'} (x) = {(F o g)}^{'} (x) = {[F (g (x))]}^{'} = g^{'} (x) . F^{'} (g (x)) = g^{'} (x) . f (g (x)) \end{array}$

$\int h (x) d x = \int H^{'} (x) d x \Rightarrow \int h (x) d x = H (x) + c$

قضیه

$\int (f (g (x))) g^{'} (x) d x = F (g (x)) d x$

اثبات

از طرفین تساوی $g (x) = u$ دیفرانسیل می‌گیریم:

$i f g (x) = u \Rightarrow g^{'} (x) d x = d u \Rightarrow d x = \frac{d u}{g^{'} (x)}$

$\begin{array}{l} \int (f (g (x))) g^{'} (x) d x \\ = \int f (u) g^{'} (x) \times \frac{d u}{g^{'} (x)} \\ = \int f (u) d u \\ = F (u) + c; g (x) = u \\ = F (g (x)) + c \end{array}$

تمرین

انتگرال های زير را محاسبه کنيد.

$\begin{array}{l} I = \int x \sin x^{2} . f^{'} (\cos x^{2}) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} i f g (x) = \cos x^{2} \Rightarrow g^{'} (x) = - 2 x \sin x^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int x \sin x^{2} \cdot f^{'} (\cos x^{2}) d x \\ \Rightarrow I = - \frac{1}{2} \int g^{'} (x) \cdot f^{'} (g (x)) d x \\ \Rightarrow I = - \frac{1}{2} f (g (x)) + c \\ \Rightarrow I = - \frac{1}{2} f (\cos x^{2}) + c \end{array}$

$I = \int \sin x . \sin (\cos x) d x$

$\begin{array}{l} i f g (x) = \cos x \Rightarrow g^{'} (x) = - \sin x \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \sin x . \sin (\cos x) d x \\ \Rightarrow I = \int - g^{'} (x) \sin g (x) d x \\ \Rightarrow I = - \int g^{'} (x) f^{'} (g (x)) d x \\ \Rightarrow I = \cos g (x) + c \\ \Rightarrow I = \cos (\cos x) + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

$\begin{array}{l} 1) \int f^{'} (x) \cdot f^{n} (x) d x = \frac{1}{n + 1} f^{n + 1} (x) + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) \int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = L n |f (x)| + c; f (x) \neq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} 3) \int u^{n} d u = \frac{1}{n + 1} u^{n + 1} + c; n \neq - 1 \end{array}$

$4) \int u^{- 1} d u = \int \frac{d u}{u} = L n |u| + c; u \neq 0$

تمرین

انتگرال های زير را محاسبه کنيد.

$\begin{array}{l} I = \int \frac{L n x^{m}}{x} d x; (x > 0) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f u = L n x \Rightarrow d u = \frac{1}{x} d x \Rightarrow d x = x d u \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{L n x^{m}}{x} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{m L n x}{x} d x \\ \Rightarrow I = m \int \frac{u}{x} \times x d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = m \int u d u \\ \Rightarrow I = m \times \frac{1}{2} u^{2} + c \\ \Rightarrow I = \frac{m}{2} {(L n x)}^{2} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 4}} d x; (x > 0) \end{array}$

$\begin{array}{l} u = x^{3} + 4 \Rightarrow d u = 3 x^{2} d x \Rightarrow d x = \frac{d u}{3 x^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 4}} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{u}} \times \frac{d u}{3 x^{2}} \\ \Rightarrow I = \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u \\ \Rightarrow I = \frac{1}{3} \times \frac{1}{- \frac{1}{2} + 1} u^{- \frac{1}{2} + 1} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{3} \times 2 u^{\frac{1}{2}} + c \\ \Rightarrow I = \frac{2}{3} \sqrt{x^{3} + 4} + c \end{array}$

$I = \int \frac{(x + 1)}{x^{2} + 2 x + 4} d x$

$\begin{array}{l} u = x^{2} + 2 x + 4 \Rightarrow d u = (2 x + 2) d x \Rightarrow d x = \frac{d u}{2 (x + 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{(x + 1)}{x^{2} + 2 x + 4} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{(x + 1)}{u} \times \frac{d u}{2 (x + 1)} \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2} L n |u| + c \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} L n |x^{2} + 2 x + 4| + c \end{array}$

$I = \int 18 x^{2} \sqrt[4]{6 x^{3} + 5} d x$

$u = 6 x^{3} + 5 \Rightarrow d u = 18 x^{2} d x$

$I = \int 18 x^{2} \sqrt[4]{6 x^{3} + 5} d x$

$\begin{aligned} \Rightarrow I & = \int {(6 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{4}} (18 x^{2} d x) \end{aligned}$

$\Rightarrow I = \int u^{\frac{1}{4}} d u$

$\Rightarrow I = \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + c$

$\Rightarrow I = \frac{4}{5} {(6 x^{3} + 5)}^{\frac{5}{4}} + c$

تمرین

$\begin{array}{l} i f f^{'} (x) = - 3 f {((x))}^{4} \Rightarrow f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = - 3 f {((x))}^{4} \\ \Rightarrow f^{'} (x) . f^{- 4} (x) = - 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int f^{'} (x) . f^{- 4} (x) d x = \int - 3 d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{- 3} f^{- 3} (x) = - 3 x + c \\ \Rightarrow f^{- 3} (x) = 9 x + c^{'} \\ \Rightarrow f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{9 x + c^{'}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{f (x)} = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + c_{1}; x = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{f (1)} = \frac{1}{3} {(1)}^{\frac{3}{2}} + c_{1}; f (1) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 = \frac{1}{3} + c_{1} \\ \Rightarrow c_{1} = \frac{2}{3} \end{array}$

$i f f^{'} (\cos^{2} x) = \frac{1 - \tan^{2} x}{1 + \tan^{2} x} \Rightarrow f (x) = ?$

$\begin{array}{l} f^{'} (\cos^{2} x) = \frac{1 - \tan^{2} x}{1 + \tan^{2} x} \\ \Rightarrow f^{'} (\cos^{2} x) = \cos 2 x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (\cos^{2} x) = 2 \cos^{2} x - 1; \cos^{2} x \to x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x - 1 \\ \Rightarrow \int f^{'} (x) d x = \int (2 x - 1) d x \\ \Rightarrow f (x) = x^{2} - x + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

جدول فرمول ها و انتگرال های مهم:

$\begin{array}{l} 1) \int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + c; n \neq - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) \int \frac{1}{x} d x = L n |x| + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 3) \{\begin{cases} \int \cos x d x = \sin x + c \\ \int \cos (a x + b) d x = + \frac{1}{a} \sin (a x + b) + c \end{cases} \end{array}$

$4) \{\begin{cases} \int \sin x d x = - \cos x + c \\ \int \sin (a x + b) d x = - \frac{1}{a} \cos (a x + b) + c \end{cases}$

$\begin{array}{l} 5) \int e^{a x + b} d x = \frac{1}{a} e^{a x + b} + c \\ 6) \int \sec^{2} x d x = \tan x + c \\ 7) \int \csc^{2} x d x = - \cot g x + c \\ 8) \int \sec x . \tan x d x = \sec x + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 9) \int \csc x . \cot g x d x = - \csc x + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 10) \int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x = A r c \sin (\frac{x}{a}) + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 11) \int \frac{1}{x^{2} + a^{2}} d x = \frac{1}{a} A r c \tan (\frac{x}{a}) + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 12) \int \frac{1}{|x| \sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x = \frac{1}{a} A r c \sec (\frac{x}{a}) + c \end{array}$

$13) \int e^{x} d x = e^{x} + c$

$\begin{array}{l} 14) \int b^{x} d x = \frac{1}{L n b} b^{x} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 15) \int \sinh x d x = \cosh x + c 15) \int \cosh x d x = \sinh x + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 16) \{\begin{cases} \int \tan d x = - L n |\cos x| + c \\ \int \tan (a x + b) d x = \frac{- 1}{a} L n |\cos (a x + b)| + c = \frac{1}{a} L n |\sec (a x + b)| + c \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} 17) \{\begin{cases} \int \cot g x d x = L n |\sin x| + c \\ \int \cot g (a x + b) d x = \frac{1}{a} L n |\sin (a x + b)| + c \end{cases} \end{array}$

$18) \int \sec x d x = L n |\sec x + \tan x| + c = L n |\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})| + c$

$\begin{array}{l} 19) \int \csc x d x = - L n |\csc x + \cot g x| + c = L n |\tan (\frac{x}{2})| + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 20) \int L n x d x = x L n x - 1 + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 21) \int \frac{1}{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{1}{2 a} L n |\frac{x + a}{x - a}| + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 22) \int \frac{x}{a^{2} + x^{2}} d x = \frac{1}{2} L n (a^{2} + x^{2}) + c \end{array}$

$23) \int \frac{x}{a^{2} - x^{2}} d x = - \frac{1}{2} L n |a^{2} - x^{2}| + c$

$\begin{array}{l} 24) \int \sqrt{x^{2} + a^{2}} d x = \frac{1}{2} x \sqrt{x^{2} + a^{2}} + \frac{1}{2} a^{2} L n (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}) + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 25) \int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x = \frac{1}{2} x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - \frac{1}{2} a^{2} L n |x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}| + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 26) \int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{1}{2} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{1}{2} a^{2} A r c \sin (\frac{x}{|a|}) + c \end{array}$

$27) \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} d x = L n (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}) + c$

$\begin{array}{l} 28) \int \cos u . \sin^{n} u d u = \frac{1}{n + 1} \sin^{n + 1} u + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 29) \int \sin u . \cos^{n} u d u = - \frac{1}{n + 1} \cos^{n + 1} u + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 30) \int (1 + \tan^{2} u) . \tan^{n} u d u = \frac{1}{n + 1} \tan^{n + 1} u + c \end{array}$

$31) \int (1 + \cot g^{2} u) . \cot g^{n} u d u = - \frac{1}{n + 1} \cot g^{n + 1} u + c$

$\begin{array}{l} 32) \int \cos u \cdot {(a \sin u + b)}^{r} d u = \frac{1}{a (r + 1)} {(a \sin u + b)}^{r + 1} + c; r \in Q \end{array}$

$\begin{array}{l} 33) \int \sin u {(a \cos u + b)}^{r} d u = \frac{1}{- a (r + 1)} {(a \cos u + b)}^{r + 1} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} 34) \int (1 + \tan^{2} u) {(a \tan u + b)}^{r} d u = \frac{1}{a (r + 1)} {(a \tan u + b)}^{r + 1} + c \end{array}$

$35) (1 + \cot g^{2} u) {(a \cot g u + b)}^{r} d u = - \frac{1}{a (r + 1)} {(a \cot g u + b)}^{r + 1} + c$

تمرین

انتگرال های زير را محاسبه کنيد.

$\begin{array}{l} I = \int \cot g (3 x + 1) d x \end{array}$

$I = \frac{1}{3} L n |\sin (3 x + 1)| + c$

$\begin{array}{l} I = \int \tan 2 w d w \end{array}$

$I = - \frac{1}{2} L n |\cos 2 w| + c = \frac{1}{2} L n |\sec 2 w| + c$

$I = \int \frac{\tan^{4} y}{\sec^{5} y} d y$

$I = \int \frac{\tan^{4} y}{\sec^{5} y} d y = \int \frac{\sin^{4} y}{\sec^{5} y} \cdot \frac{1}{\cos^{4} y} d y = \int \sin^{4} y \cdot \cos y d y = \frac{1}{5} \sin^{5} y + c$

$I = \int (5 t^{3} - 10 t^{- 6} + 4) d t$

$\begin{aligned} I = \int (5 t^{3} - 10 t^{- 6} + 4) d t & = 5 (\frac{1}{4}) t^{4} - 10 (\frac{1}{- 5}) t^{- 5} + 4 t + c = \frac{5}{4} t^{4} + 2 t^{- 5} + 4 t + c \end{aligned}$

$I = \int (3 \sqrt[4]{x^{3}} + \frac{7}{x^{5}} + \frac{1}{6 \sqrt{x}}) d x$

$\begin{aligned} I = \int 3 \sqrt[4]{x^{3}} + \frac{7}{x^{5}} + \frac{1}{6 \sqrt{x}} d x & = \int 3 x^{\frac{3}{4}} + 7 x^{- 5} + \frac{1}{6} x^{- \frac{1}{2}} d x = 3 \frac{1}{^{7} /_{4}} x^{\frac{7}{4}} - \frac{7}{4} x^{- 4} + \frac{1}{6} (\frac{1}{^{1} /_{2}}) x^{\frac{1}{2}} + c = \frac{12}{7} x^{\frac{7}{4}} - \frac{7}{4} x^{- 4} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + c \end{aligned}$

$I = \int (w + \sqrt[3]{w}) (4 - w^{2}) d w$

$\begin{aligned} I = \int (w + \sqrt[3]{w}) (4 - w^{2}) d w & = \int 4 w - w^{3} + 4 w^{\frac{1}{3}} - w^{\frac{7}{3}} d w \end{aligned} = 2 w^{2} - \frac{1}{4} w^{4} + 3 w^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{10} w^{\frac{10}{3}} + c$

$I = \int \frac{4 x^{10} - 2 x^{4} + 15 x^{2}}{x^{3}} d x$

$\begin{aligned} I = \int \frac{4 x^{10} - 2 x^{4} + 15 x^{2}}{x^{3}} d x & = \int \frac{4 x^{10}}{x^{3}} - \frac{2 x^{4}}{x^{3}} + \frac{15 x^{2}}{x^{3}} d x = \int 4 x^{7} - 2 x + \frac{15}{x} d x = \frac{1}{2} x^{8} - x^{2} + 15 \ln | x | + c \end{aligned}$

$I = \int 3 e^{x} + 5 \cos x - 10 \sec^{2} x d x$

$I = \int 3 e^{x} + 5 \cos x - 10 \sec^{2} x d x = 3 e^{x} + 5 \sin x - 10 \tan x + c$

$I = \int 2 \sec w \tan w + \frac{1}{6 w} d w$

$\begin{aligned} I = \int 2 \sec w \tan w + \frac{1}{6 w} d w & = \int 2 \sec w \tan w d w + \int \frac{1}{6} \frac{1}{w} d w = \int 2 \sec w \tan w d w + \frac{1}{6} \int \frac{1}{w} d w \end{aligned}$

$I = \int \frac{23}{y^{2} + 1} + 6 \csc y \cot y + \frac{9}{y} d y$

$I = \int \frac{23}{y^{2} + 1} + 6 \csc y \cot y + \frac{9}{y} d y = 23 \tan^{- 1} y - 6 \csc y + 9 \ln | y | + c$

$I = \int \frac{7 - 6 \sin^{2} θ}{\sin^{2} θ} d θ$

$\begin{aligned} I = \int \frac{7 - 6 \sin^{2} θ}{\sin^{2} θ} d θ & = \int \frac{7}{\sin^{2} θ} - 6 d θ = \int 7 \csc^{2} θ - 6 d θ \end{aligned} = - 7 \cot θ - 6 θ + c$

$I = \int \frac{x^{4} - \sqrt[3]{x}}{6 \sqrt{x}} d x$

$I = \int \frac{x^{4} - \sqrt[3]{x}}{6 \sqrt{x}} d x = \int \frac{x^{4}}{6 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6 x^{\frac{1}{2}}} d x = \int \frac{1}{6} x^{\frac{7}{2}} - \frac{1}{6} x^{- \frac{1}{6}} d x = \frac{1}{27} x^{\frac{9}{2}} - \frac{1}{5} x^{\frac{5}{6}} + c$

$I = \int \sin (x) + 10 \csc^{2} (x) d x$

$I = \int \sin (x) + 10 \csc^{2} (x) d x = - \cos (x) - 10 \cot (x) + c$

$I = \int (2 \cos (w) - \sec (w) \tan (w)) d w$

$I = \int (2 \cos (w) - \sec (w) \tan (w)) d w = 2 \sin (w) - \sec (w) + c$

تمرین

با توجه به اطلاعات زیر $f (x)$ را بیابید.

$\{\begin{cases} f^{'} (x) = 4 x^{3} - 9 + 2 \sin x + 7 e^{x} \\ f (0) = 15 \end{cases}$

$\begin{aligned} f (x) & = \int 4 x^{3} - 9 + 2 \sin x + 7 e^{x} d x = x^{4} - 9 x - 2 \cos x + 7 e^{x} + c \end{aligned}$

$\begin{aligned} 15 = f (0) \Rightarrow 15 & = 0^{4} - 9 (0) - 2 \cos (0) + 7 e^{0} + c \Rightarrow 15 = - 2 + 7 + c \Rightarrow 15 = 5 + c \Rightarrow c = 10 \end{aligned}$

$f (x) = x^{4} - 9 x - 2 \cos x + 7 e^{x} + 10$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

محاسبه انتگرال نامعین

نمونه اول

انتگرال هایی است شامل یک پرانتز درجه اول که این پرانتز می‌تواند در مخرج کسر یا در داخل رادیکال باشد.

برای انتگرال گیری از این نمونه، عبارت درجه اول را $u$ فرض کرده و از طرفین دیفرانسیل گرفته و $d x$ را محاسبه کرده، سپس انتگرال را حل می‌کنیم.

تمرین

انتگرال های زیر را محاسبه کنید.

$I = \int {(2 x - 5)}^{12} d x$

$\begin{array}{l} u = 2 x - 5 \Rightarrow d u = 2 d x \Rightarrow d x = \frac{1}{2} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int {(2 x - 5)}^{12} d x \\ \Rightarrow I = \int u^{12} . \frac{1}{2} d u \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int u^{12} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2} . \frac{1}{13} u^{13} + c \\ \Rightarrow I = \frac{1}{26} . {(2 x - 5)}^{13} + c \end{array}$

$I = \int 2 \sqrt[3]{{(1 - 4 x)}^{2}} d x$

$\begin{array}{l} u = 1 - 4 x \Rightarrow d u = - 4 d x \Rightarrow d x = \frac{d u}{- 4} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int 2 \sqrt[3]{{(1 - 4 x)}^{2}} d x \\ \Rightarrow I = \int 2 {(1 - 4 x)}^{\frac{2}{3}} d x \\ \Rightarrow I = \int 2 u^{\frac{2}{3}} . \frac{d u}{- 4} \\ \Rightarrow I = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{3}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \frac{1}{2} . \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + c \\ \Rightarrow I = - \frac{3}{10} {(1 - 4 x)}^{\frac{5}{3}} + c \end{array}$

$I = \int e^{3 x} d x$

$\begin{array}{l} 3 x = u \Rightarrow 3 d x = d u \Rightarrow d x = \frac{1}{3} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int e^{3 x} d x \\ \Rightarrow I = \int e^{u} . \frac{1}{3} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{3} \int e^{u} d u; \int e^{u} d u = e^{u} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{3} e^{u} + c \\ \Rightarrow I = \frac{1}{3} e^{3 x} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نمونه دوم

انتگرال هایی هست که شامل یک عامل اصلی و دیفرانسیل همان عامل اصلی است.

برای انتگرال گیری از این نمونه، عبارت اصلی را $u$ فرض کرده، از این فرض دیفرانسیل گرفته و با توجه به‌صورت مساله آنها را در مساله جای‌گذاری می‌کنیم و سپس انتگرال را حل می‌کنیم.

تمرین

انتگرال های زیر را محاسبه کنید.

$I = \int {(x^{2} - 4 x)}^{10} . (2 x - 4) d x$

$\begin{array}{l} u = x^{2} - 4 x \Rightarrow d u = (2 x - 4) d x \Rightarrow d x = \frac{d u}{(2 x - 4)} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int {(x^{2} - 4 x)}^{10} . (2 x - 4) d x \\ \Rightarrow I = \int u^{10} . (2 x - 4) . \frac{d u}{(2 x - 4)} \\ \Rightarrow I = \int u^{10} . d u \\ \Rightarrow I = \frac{1}{11} u^{11} + c \\ \Rightarrow I = \frac{1}{11} (x^{2} - 4 x) + c \end{array}$

$I = \int \frac{(6 x^{2} + 4 x)}{{(x^{3} + x^{2} - 1)}^{5}} d x$

$\begin{array}{l} u = x^{3} + x^{2} - 1 \Rightarrow d u = (3 x^{2} + 2 x) d x \Rightarrow d x = \frac{d u}{3 x^{2} + 2 x} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{(6 x^{2} + 4 x)}{{(x^{3} + x^{2} - 1)}^{5}} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{2 (3 x^{2} + 2 x)}{{(x^{3} + x^{2} - 1)}^{5}} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{2 (3 x^{2} + 2 x)}{u^{5}} \cdot \frac{d u}{3 x^{2} + 2 x} \\ \Rightarrow I = 2 \int \frac{1}{u^{5}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2 \int u^{- 5} d u \\ \Rightarrow I = 2 (\frac{1}{- 4} u^{- 4}) + c \\ = - \frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} - 1)}^{- 4} + c \end{array}$

$I = \int \frac{(x - 1)}{\sqrt[3]{{(2 x^{2} - 4 x)}^{2}}} d x$

$\begin{array}{l} u = 2 x^{2} - 4 x \Rightarrow d u = (4 x - 4) d x \Rightarrow d x = \frac{d u}{4 (x - 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{(x - 1)}{\sqrt[3]{{(2 x^{2} - 4 x)}^{2}}} d x \\ \Rightarrow I = \int (x - 1) {(2 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}} d x \\ \Rightarrow I = \int (x - 1) . u^{- \frac{2}{3}} . \frac{d u}{4 (x - 1)} \\ \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int u^{- \frac{2}{3}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} .3. u^{\frac{1}{3}} + c \\ \Rightarrow I = \frac{3}{4} {(2 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3}} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نمونه سوم

انتگرال هایی است که شامل یک عامل درجه اول، که عبارتی دیگری را با خود به همراه دارد.

برای انتگرال گیری از این نمونه، عبارت اصلی را $u$ فرض کرده و دو عمل زیر را انجام می‌دهیم:

ابتدا $x$ را از روی آن یافته و سپس از آن دیفرانسیل می‌گیریم.
$d x$ را محاسبه کرده و آنها را در مسئله قرار می‌دهیم و انتگرال را حل می‌کنیم.

تمرین

انتگرال های زیر را محاسبه کنید.

$I = \int {(x - 2)}^{20} (3 x - 4) d x$

$\begin{array}{l} u = x - 2 \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ x = u + 2 \end{cases} \\ I = \int {(x - 2)}^{20} (3 x - 4) d x \\ \Rightarrow I = \int u^{20} [3 (u + 2) - 4] d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 3 \int u^{21} d u + 2 \int u^{20} d u \\ \Rightarrow I = \frac{3}{22} u^{22} + \frac{2}{21} u^{21} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{3}{22} {(x - 2)}^{22} + \frac{2}{21} {(x - 2)}^{21} + c \end{array}$

$I = \int \frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

$\begin{array}{l} u = 2 x - 1 \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 d x \Rightarrow d x = \frac{1}{2} d u \\ x = \frac{u + 1}{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{2 x - 1}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (x^{2} - 4 x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int u^{- \frac{1}{2}} \cdot [{(\frac{u + 1}{2})}^{2} - 4 (\frac{u + 1}{2})] \cdot \frac{1}{2} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{8} \int u^{\frac{3}{2}} d u - \frac{6}{8} \int u^{\frac{1}{2}} d u - \frac{7}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{8} \times \frac{2}{5} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{6}{8} . \frac{2}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{7}{8} .2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + c \end{array}$

$I = \int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[9]{{(1 + \sqrt[3]{x^{2}})}^{5}}} d x$

$\begin{array}{l} 1 + \sqrt[3]{x^{2}} = u \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} d x = d u \Rightarrow d x = \frac{3 \sqrt[3]{x}}{2} d u \\ \sqrt[3]{x^{2}} = u - 1 \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[9]{{(1 + \sqrt[3]{x^{2}})}^{5}}} d x \\ \Rightarrow I = \int \sqrt[3]{x} \cdot {(1 + \sqrt[3]{x^{2}})}^{- \frac{5}{9}} \cdot d x \\ \Rightarrow I = \int \sqrt[3]{x} {(u)}^{- \frac{5}{9}} . \frac{3 \sqrt[3]{x}}{2} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{3}{2} \int \sqrt[3]{x^{2}} . u^{- \frac{5}{9}} d u \\ \Rightarrow I = \frac{3}{2} \int (u - 1) u^{- \frac{5}{9}} d u \\ \Rightarrow I = \frac{3}{2} \int (u^{\frac{4}{9}} - u^{- \frac{5}{9}}) d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{3}{2} . \frac{9}{13} u^{\frac{13}{9}} - \frac{3}{2} \times \frac{9}{4} u^{\frac{4}{9}} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{27}{26} \sqrt[9]{{(1 + \sqrt[3]{x^{2}})}^{13}} - \frac{27}{8} \sqrt[9]{{(1 + \sqrt[3]{x^{2}})}^{4}} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نمونه چهارم

انتگرال هایی که ترکیبی از نمونه دوم و سوم است.

برای انتگرال گیری از این نمونه، عبارت اصلی را $u$ فرض کرده و از آن هم دیفرانسیل گرفته و هم عبارت اضافی را از روی آن محاسبه می‌کنیم.

تمرین

انتگرال های زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{5 x^{19}}{\sqrt{x^{5} + 4}} d x$

$\begin{array}{l} u = x^{5} + 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 5 x^{4} d x \Rightarrow d x = \frac{d u}{5 x^{4}} \\ x^{5} = u - 4 \Rightarrow {(x^{5})}^{3} = {(u - 4)}^{3} \Rightarrow x^{15} = {(u - 4)}^{3} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{5 x^{19}}{\sqrt{x^{5} + 4}} d x \\ \Rightarrow I = 5 \int x^{19} . {(x^{5} + 4)}^{- \frac{1}{2}} d x \\ \Rightarrow I = 5 \int x^{19} . u^{- \frac{1}{2}} . \frac{d u}{5 x^{4}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int x^{15} . u^{- \frac{1}{2}} d u \\ \Rightarrow I = \int {(u - 4)}^{3} . u^{\frac{- 1}{2}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (u^{3} - 12 u^{2} + 48 u - 64) . u^{- \frac{1}{2}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{2}{7} {(x^{5} + 4)}^{\frac{7}{2}} - \frac{24}{5} {(x^{5} + 4)}^{\frac{5}{2}} + \frac{96}{3} {(x^{5} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 128 {(x^{5} + 4)}^{\frac{1}{2}} + c \end{array}$

$I = \int \frac{x^{11}}{\sqrt{1 + x^{4}}} d x$

$\begin{array}{l} 1 + x^{4} = u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} 4 x^{3} d x = d u \Rightarrow d x = \frac{d u}{4 x^{3}} \\ x^{4} = u - 1 \Rightarrow {(x^{4})}^{2} = {(u - 1)}^{2} \Rightarrow x^{8} = {(u - 1)}^{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x^{11}}{\sqrt{1 + x^{4}}} d x \\ \Rightarrow I = \int x^{11} {(1 + x^{4})}^{\frac{- 1}{2}} d x \\ \Rightarrow I = \int x^{11} \cdot u^{\frac{- 1}{2}} \cdot \frac{d u}{4 x^{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int x^{8} \cdot u^{- \frac{1}{2}} d u \\ \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int {(u - 1)}^{2} \cdot u^{- \frac{1}{2}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int (u^{2} - 2 u + 1) \cdot u^{- \frac{1}{2}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int (u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}}) d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \times 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} + c) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} [\frac{2}{5} {(1 + x^{4})}^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} {(1 + x^{4})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}} + c] \end{array}$

$I = \int x \sqrt{x - 5} d x$

$\begin{array}{l} u = \sqrt{x - 5} \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow u^{2} = x - 5 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 u d u = d x \\ x = u^{2} + 5 \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int x \sqrt{x - 5} d x \\ \Rightarrow I = \int x . u .2 u d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2 \int (u^{2} + 5) . u^{2} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2 \int (u^{4} + 5 u^{2}) d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2 \int u^{4} d u + 10 \int u^{2} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{2}{5} u^{5} + \frac{10}{3} u^{3} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{2}{5} \sqrt{{(x - 5)}^{5}} + \frac{10}{3} \sqrt{{(x - 5)}^{3}} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نمونه پنجم

انتگرال هایی به‌صورت زیر را در نظر بگیرید:

$\int \frac{{(a x + b)}^{n}}{{(c x + d)}^{n + 2}} d x$

اگر $\frac{a x + b}{c x + d} = u$ باشد، داریم:

$u = \frac{a x + b}{c x + d}$

$\Rightarrow d u = \frac{a d - b c}{{(c x + b)}^{2}} d x$

$\Rightarrow d x = \frac{{(c x + d)}^{2}}{a d - b c} d u$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{{(a x + b)}^{n}}{{(c x + d)}^{n + 2}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {(\frac{a x + b}{c x + d})}^{n} \times \frac{1}{{(c x + d)}^{2}} d x \end{array}$

$\Rightarrow I = \int u^{n} \times \frac{1}{{(c x + d)}^{2}} \times \frac{{(c x + d)}^{2}}{a d - b c} d u$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int u^{n} \cdot \frac{1}{a d - b c} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a d - b c} \int u^{n} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{a d - b c} \cdot \frac{1}{n + 1} u^{n + 1} + c \end{array}$

$\Rightarrow I = \frac{1}{(a d - b c) (n + 1)} {(\frac{a x + b}{c x + d})}^{n + 1} + c$

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{{(2 x + 1)}^{5}}{{(x - 2)}^{7}} d x$

$\begin{array}{l} u = \frac{2 x + 1}{x - 2} \Rightarrow d u = \frac{- 5}{{(x - 2)}^{2}} d x \Rightarrow d x = \frac{{(x - 2)}^{2} d u}{- 5} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{{(2 x + 1)}^{5}}{{(x - 2)}^{7}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {(\frac{2 x + 1}{x - 2})}^{5} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int u^{5} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 2)}^{2}}{- 5} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{- 1}{5} \int u^{5} d u \\ \Rightarrow I = \frac{- 1}{5} \times \frac{1}{6} u^{6} + c \\ \Rightarrow I = \frac{- 1}{30} {(\frac{2 x + 1}{x - 2})}^{6} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نمونه ششم

انتگرالهایی که محاسبه آنها نیاز به گویا کردن مخرج کسر دارد، یا کلا عبارتی باید در مزدوج خودش ضرب شود.

این نوع انتگرال ها می‌توانند در زمره هر یک از حالت های قبلی قرار گیرند و روش خاصی برای حل آنها پیشنهاد نمی‌کنیم.

تمرین

انتگرال های زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{d x}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{d x}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}} . \frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2}}{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2}}{4} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}} - {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}] d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} d x - \frac{1}{4} \int {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{6} \sqrt{{(x + 2)}^{3}} - \frac{1}{6} \sqrt{{(x - 2)}^{3}} + c \end{array}$

$I = \int \frac{(x^{2} - x)}{x - \sqrt{x^{2} - 2 x}} d x$

$\begin{array}{l} x^{2} - 2 x = u \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} (2 x - 2) d x = d u \Rightarrow d x = \frac{d u}{2 (x - 1)} \\ x^{2} - 2 x + 1 = u + 1 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} = u + 1 \Rightarrow x - 1 = \sqrt{u + 1} \Rightarrow x = \sqrt{u + 1} + 1 \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{(x^{2} - x)}{x - \sqrt{x^{2} - 2 x}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{(x^{2} - x)}{x - \sqrt{x^{2} - 2 x}} . \frac{x + \sqrt{x^{2} - 2 x}}{x + \sqrt{x^{2} - 2 x}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{(x^{2} - x) (x + \sqrt{x^{2} - 2 x})}{x^{2} - (x^{2} - 2 x)} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{(x^{2} - x) (x + \sqrt{x^{2} - 2 x})}{2 x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{x (x - 1) (x + \sqrt{u})}{2 x} . \frac{d u}{2 (x - 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int (x + \sqrt{u}) d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int (\sqrt{u + 1} + 1 + \sqrt{u}) d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int {(u + 1)}^{\frac{1}{2}} d u + \frac{1}{4} \int d u + \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \times \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} {(u + 1)}^{\frac{1}{2} + 1} + \frac{1}{4} u + \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} u^{\frac{1}{2} + 1} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} {(u + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{4} u + \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{6} {(u + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{4} u + \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{6} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{4} (x^{2} - 2 x) + \frac{1}{6} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

انتگرال نامعین (قاعده زنجیری)

25,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

انتگرال

انتگرال نامعین (قاعده زنجیری)

تغییر متغیر در انتگرال نامعین

محاسبه انتگرال نامعین

نمونه اول

نمونه دوم

نمونه سوم

نمونه چهارم

نمونه پنجم

نمونه ششم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟