انتگرال نامعین (قاعده زنجیری)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 33 مرتبه

تغییر متغیر در انتگرال نامعین

فرض کنیم f تابعی پیوسته و F یک تابع اولیه آن باشد.

فرض کنیم g تابعی مشتق پذیر باشد به‌طوری‌که g' تابعی پیوسته و Fog تعریف شده باشد. اگر H=Fog و H'=h آن‌گاه:

hx=H'x=Fog'x=Fgx'=g'x.F'gx=g'x.fgxhxdx=H'x  dxhx  dx=Hx+c

قضیه

fgxg'x  dx=Fgx  dx

اثبات

از طرفین تساوی gx=u دیفرانسیل می‌گیریم:

if   gx=ug'x  dx=dudx=dug'x


fgxg'x  dx=fug'x×dug'x=fu  du=Fu+c    ;    gx=u=Fgx+c

دریافت مثال

نکته

1    f'xfnx  dx=1n+1fn+1x+c2   f'xfx  dx=Lnfx+c    ;    fx03   undu=1n+1un+1+c    ;    n14   u1  du=duu=Lnu+c    ;    u0

دریافت مثال

تذکر

جدول فرمول ها و انتگرال های مهم:

1)  xn  dx=1n+1xn+1+c    ;    n12)  1x  dx=Lnx+c3cosx  dx=sinx+ccosax+b  dx=+1asinax+b+c4sinx  dx=cosx+csinax+b  dx=1acosax+b+c

5)  eax+b  dx=1aeax+b+c6)  sec2x  dx=tanx+c7)  csc2x  dx=cotgx+c8)  secx.tanx  dx=secx+c9)  cscx.cotgx  dx=cscx+c10)  1a2x2  dx=Arcsinxa+c11)  1x2+a2  dx=1aArctanxa+c12)  1xx2a2  dx=1aArcsecxa+c13)  ex  dx=ex+c

14)  bx  dx=1Lnbbx+c15)  sinhx  dx=coshx+c15)  coshx  dx=sinhx+c16tandx=Lncosx+ctanax+b  dx=1aLncosax+b+c=1aLnsecax+b+c17cotgx  dx=Lnsinx+ccotgax+b  dx=1aLnsinax+b+c18)  secx  dx=Lnsecx+tanx+c=Lntanx2+π4+c

19)  cscx  dx=Lncscx+cotgx+c=Lntanx2+c20)  Lnx  dx=xLnx1+c21)  1a2x2  dx=12aLnx+axa+c22)  xa2+x2  dx=12Lna2+x2+c23)  xa2x2  dx=12Lna2x2+c

24)  x2+a2  dx=12xx2+a2+12a2Lnx+x2+a2+c25)  x2a2  dx=12xx2a212a2Lnx+x2a2+c26)  a2x2  dx=12xa2x2+12a2Arcsinxa+c27)  1x2+a2  dx=Lnx+x2+a2+c

28)  cosu.sinnu  du=1n+1sinn+1u+c29)  sinu.cosnu  du=1n+1cosn+1u+c30)  1+tan2u.tannu  du=1n+1tann+1u+c31)  1+cotg2u.cotgnu  du=1n+1cotgn+1u+c

32)  cosuasinu+br  du=1ar+1asinu+br+1+c   ;   rQ33)  sinuacosu+br  du=1ar+1acosu+br+1+c34)  1+tan2uatanu+br  du=1ar+1atanu+br+1+c35)  1+cotg2uacotgu+br  du=1ar+1acotgu+br+1+c

دریافت مثال

محاسبه انتگرال نامعین

نمونه اول

انتگرال هایی است شامل یک پرانتز درجه اول که این پرانتز می‌تواند در مخرج کسر یا در داخل رادیکال باشد.

برای انتگرال گیری از این نمونه، عبارت درجه اول را u فرض کرده و از طرفین دیفرانسیل گرفته و dx را محاسبه کرده، سپس انتگرال راحل می‌کنیم.

دریافت مثال

نمونه دوم

انتگرال هایی هست که شامل یک عامل اصلی و دیفرانسیل همان عامل اصلی است.

برای انتگرال گیری از این نمونه، عبارت اصلی را u فرض کرده، از این فرض دیفرانسیل گرفته و با توجه به‌صورت مساله آنها را در مساله جایگذاری می‌کنیم و سپس انتگرال را حل می‌کنیم.

دریافت مثال

نمونه سوم

انتگرال هایی است که شامل یک عامل درجه اول، که عبارتی دیگری را با خود به همراه دارد.

برای انتگرال گیری از این نمونه، عبارت اصلی را u فرض کرده و دو عمل زیر را انجام می‌دهیم:

  • ابتدا x را از روی آن یافته و سپس از آن دیفرانسیل می‌گیریم.
  •  dx را محاسبه کرده و آنها را در مسئله قرار می‌دهیم و انتگرال را حل می‌کنیم. 

دریافت مثال

نمونه چهارم

انتگرال هایی که ترکیبی از نمونه دوم و سوم است.

برای انتگرال گیری از این نمونه، عبارت اصلی را u فرض کرده و از آن هم دیفرانسیل گرفته و هم عبارت اضافی را از روی آن محاسبه می‌کنیم.

دریافت مثال

نمونه پنجم

انتگرال هایی به‌صورت زیر را در نظر بگیرید:

ax+bncx+dn+2  dx

اگر ax+bcx+d=u باشد، داریم:

u=ax+bcx+ddu=adbccx+b2  dxdx=cx+d2adbc  du

I=ax+bncx+dn+2  dxI=ax+bcx+dn×1cx+d2  dxI=un×1cx+d2×cx+d2adbc  duI=un1adbc  duI=1adbcun  duI=1adbc1n+1un+1+cI=1adbcn+1ax+bcx+dn+1+c

دریافت مثال

نمونه ششم

انتگرالهایی که محاسبه آنها نیاز به گویا کردن مخرج کسر دارد، یا کلا عبارتی باید در مزدوج خودش ضرب شود.

این نوع انتگرال ها می‌توانند در زمره هر یک از حالت های قبلی قرار گیرند و روش خاصی برای حل آنها پیشنهاد نمی‌کنیم.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال نامعین (قاعده زنجیری)

15,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید