انتگرال نامعین (کسری حالت دوم)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 24 مرتبه

محاسبه انتگرال های به فرمmx+nax2+bx+c  dx

حالت اول) اگر mx+n=2ax+b باشد، یعنی مشتق مخرج در صورت موجود باشد، داریم:

I=mx+nax2+bx+c  dx    ;    mx+n=2ax+bI=2ax+bax2+bx+c  dx    ;    AI=2ax+bu.12ax+b  duI=1u.duI=Lnu+c1I=Lnax2+bx+c+c1

A   :   ax2+bx+c=udu=2ax+b  dxdx=12ax+b  du

حالت دوم) اگر mx+n2ax+b باشد، در این حالت عبارت 2ax+b را در صورت، ظاهر می‌کنیم پس انتگرال به مجموع دو انتگرال که یکی حالت اول و دیگری kax2+bx+c  dx تبدیل می‌شود، بنابراین:

mx+nax2+bx+c  dx=A2ax+bax2+bx+c+kax2+bx+c  dx

دریافت مثال

تذکر

اگر fx یک چندجمله‌ای باشد، آن‌گاه:

1    fxax2+bx+c  dx=gx+mx+nax2+bx+c  dx2    fxax+b  dx=hx+kax+b  dx

gx و hx چندجمله‌ای و انتگرال آنها به سادگی محاسبه می‌شود.

دریافت مثال

نکته

برای حل انتگرال های به‌فرم 1a2x2  dx کافی است از تغییر متغیر زیر استفاده نماییم:

I=1a2x2  dxI=1a2asinu2.acosu  du    ;    AI=1a2a2sin2u.acosu  duI=1a1sin2u.a.cosu  duI=cosucosu  duI=duI=u+cI=Arcsinxa+c

A   :  x=asinudx=acosu  dusinu=xau=Arcsinxa


1a2x2  dx=Arcsinxa+c

دریافت مثال

یادآوری

تمام انتگرال هایی که به‌صورت 1ax2+bx+c  dx و شرط a<0b24ac>0 با استفاده از فرمول اخیر قابل حل می‌باشند.

دریافت مثال

تذکر

1- برای حل انتگرال های به‌فرم 1a2x2+k2  dx از روش زیر استفاده می‌کنیم:

1a2x2+k2  dx=1a21x2+ka2  dx=1a21 kaArctanx ka+c=1kaArctanakx+c

2- اگر تابعی مشتق پذیر باشد، آن‌گاه:

f'xa2+f2x  dx=1aArctanfxa+c

دریافت مثال

نکته

برای حل انتگرال های به‌فرم I=xn1x2n+a2  dx از تغییر متغیر xn=t استفاده می‌کنیم:

I=xn1x2n+a2  dx    ;    AI=xn1t2+a21nxn1  dtI=1n1t2+a2  dtI=1n.1aArctanta+cI=1naArctanxna+c

A   :   xn=tnxn1  dx=dtdx=1nxn1  dt

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال نامعین (کسری حالت دوم)

3,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید