سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

انتگرال نامعین (کسری حالت دوم)

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

محاسبه انتگرال های به فرم $\int \frac{m x + n}{a x^{2} + b x + c} d x$

حالت اول

اگر $m x + n = 2 a x + b$ باشد، یعنی مشتق مخرج در صورت موجود باشد، داریم:

$\begin{array}{l} I = \int \frac{m x + n}{a x^{2} + b x + c} d x; m x + n = 2 a x + b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{2 a x + b}{a x^{2} + b x + c} d x; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{2 a x + b}{u} . \frac{1}{2 a x + b} d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{u} . d u \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = L n |u| + c_{1} \end{array}$

$\Rightarrow I = L n |a x^{2} + b x + c| + c_{1}$

$(A) : a x^{2} + b x + c = u \Rightarrow d u = (2 a x + b) d x \Rightarrow d x = \frac{1}{2 a x + b} d u$

حالت دوم

اگر $m x + n \neq 2 a x + b$ باشد، در این حالت عبارت $(2 a x + b)$ را در صورت، ظاهر می‌کنیم پس انتگرال به مجموع دو انتگرال که یکی حالت اول و دیگری $\int \frac{k}{a x^{2} + b x + c} d x$ تبدیل می‌شود، بنابراین:

$\int \frac{m x + n}{a x^{2} + b x + c} d x = A \int (\frac{2 a x + b}{a x^{2} + b x + c} + \frac{k}{a x^{2} + b x + c}) d x$

تمرین

انتگرال‌ زیر را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x + 4}{x^{2} + 2 x + 5} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x + 4}{x^{2} + 2 x + 5} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{x + 1 + 3}{x^{2} + 2 x + 5} d x \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int \frac{2 x + 2 + 6}{x^{2} + 2 x + 5} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 5} d x + \frac{1}{2} \int \frac{6}{x^{2} + 2 x + 5} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 5} d x + 3 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 5} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 5} d x + 3 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2} + 4} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2} L n |x^{2} + 2 x + 5| + \frac{3}{2} A r c \tan \frac{x + 1}{2} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

اگر $f (x)$ یک چندجمله‌ای باشد، آن‌گاه:

$\begin{array}{l} 1) \int \frac{f (x)}{a x^{2} + b x + c} d x = \int (g (x) + \frac{m x + n}{a x^{2} + b x + c}) d x \end{array}$

$2) \int \frac{f (x)}{a x + b} d x = \int (h (x) + \frac{k}{a x + b}) d x$

$g (x)$ و $h (x)$ چندجمله‌ای و انتگرال آنها به سادگی محاسبه می‌شود.

تمرین

انتگرال‌ زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{x^{4} + 4 x}{x^{2} - 1} d x$

از تقسيم $x^{4} + 4 x$ بر $x^{2} - 1$ داریم:

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x^{4} + 4 x}{x^{2} - 1} d x \\ \Rightarrow I = \int [(x^{2} + 1) + \frac{4 x + 1}{x^{2} - 1}] d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int (x^{2} + 1 + \frac{4 x}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 1}) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{3} x^{3} + x + 2 L n |x^{2} - 1| + \frac{1}{2} L n |\frac{x - 1}{x + 1}| + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

برای حل انتگرال های به‌فرم $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x$ کافی است از تغییر متغیر زیر استفاده نماییم:

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - {(a \sin u)}^{2}}} . a \cos u d u; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - a^{2} \sin^{2} u}} . a \cos u d u \end{array}$

$\Rightarrow I = \int \frac{1}{a \sqrt{1 - \sin^{2} u}} . a . \cos u d u$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{\cos u}{\cos u} d u \\ \Rightarrow I = \int d u \\ \Rightarrow I = u + c \\ \Rightarrow I = A r c \sin \frac{x}{a} + c \end{array}$

$(A) : x = a \sin u \Rightarrow \{\begin{cases} d x = a \cos u d u \\ \sin u = \frac{x}{a} \Rightarrow u = A r c \sin \frac{x}{a} \end{cases}$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x = A r c \sin \frac{x}{a} + c$

تمرین

انتگرال‌ زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{1}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{1}{\sqrt{4 (\frac{9}{4} - x^{2})}} d x \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{{[\frac{3}{2}]}^{2} - x^{2}}} d x \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} \times A r c \sin \frac{x}{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} A r c \sin \frac{2 x}{3} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

یادآوری

تمام انتگرال هایی که به‌صورت $\int \frac{1}{\sqrt{a x^{2} + b x + c}} d x$ و شرط $\{\begin{cases} a < 0 \\ b^{2} - 4 a c > 0 \end{cases}$ با استفاده از فرمول اخیر قابل حل می‌باشند.

تمرین

انتگرال‌ زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 8}} d x$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a < 0 \\ Δ = b^{2} - 4 a c = 16 - 4 (- 1) (8) = 16 + 32 > 0 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x + 8 = - (x^{2} - 4 x - 8) = - (x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 8) = - [{(x - 2)}^{2} - 12] = 12 - {(x - 2)}^{2} = {(\sqrt{12})}^{2} - {(x - 2)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 8}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sqrt{12})}^{2} - {(x - 2)}^{2}}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = A r c \sin \frac{x - 2}{\sqrt{12}} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

1- برای حل انتگرال های به‌فرم $\int \frac{1}{a^{2} x^{2} + k^{2}} d x$ از روش زیر استفاده می‌کنیم:

$\int \frac{1}{a^{2} x^{2} + k^{2}} d x = \frac{1}{a^{2}} \int \frac{1}{x^{2} + {(\frac{k}{a})}^{2}} d x = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{k}{a}} A r c \tan \frac{x}{\frac{k}{a}} + c = \frac{1}{k a} \cdot A r c \tan \frac{a}{k} x + c$

2- اگر تابعی مشتق پذیر باشد، آن‌گاه:

$\int \frac{f^{'} (x)}{a^{2} + f^{2} (x)} d x = \frac{1}{a} A r c \tan \frac{f (x)}{a} + c$

تمرین

انتگرال‌ زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{1}{2 x^{2} + 3} d x$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{2 x^{2} + 3} d x \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2} + (\frac{3}{2})} d x \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}} d x \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} A r c \tan \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{2}}} + c \\ \Rightarrow I = \frac{\sqrt{6}}{6} A r c \tan \sqrt{\frac{2}{3}} x + c \end{array}$

$I = \int \frac{x}{16 + x^{4}} d x$

$i f x^{2} = u \Rightarrow 2 x d x = d u \Rightarrow d x = \frac{1}{2 x} d u$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x}{16 + x^{4}} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{x}{16 + u^{2}} \times \frac{1}{2 x} d u \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{16 + u^{2}} d u \\ \Rightarrow I = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} A r c \tan \frac{u}{4} + c \\ \Rightarrow I = \frac{1}{8} A r c \tan \frac{x^{2}}{4} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

برای حل انتگرال های به‌فرم $I = \int \frac{x^{n - 1}}{x^{2 n} + a^{2}} d x$ از تغییر متغیر $x^{n} = t$ استفاده می‌کنیم:

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x^{n - 1}}{x^{2 n} + a^{2}} d x; (A) \\ \Rightarrow I = \int \frac{x^{n - 1}}{t^{2} + a^{2}} \frac{1}{n x^{n - 1}} d t \\ \Rightarrow I = \frac{1}{n} \int \frac{1}{t^{2} + a^{2}} d t \\ \Rightarrow I = \frac{1}{n} . \frac{1}{a} A r c \tan \frac{t}{a} + c \\ \Rightarrow I = \frac{1}{n a} A r c \tan \frac{x^{n}}{a} + c \end{array}$

$(A) : x^{n} = t \Rightarrow n x^{n - 1} d x = d t \Rightarrow d x = \frac{1}{n x^{n - 1}} d t$

خرید پاسخ‌ها

انتگرال نامعین (کسری حالت دوم)

7,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

انتگرال

انتگرال نامعین (کسری حالت دوم)

محاسبه انتگرال های به فرم $\int \frac{m x + n}{a x^{2} + b x + c} d x$

حالت اول

حالت دوم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

انتگرال

انتگرال نامعین (کسری حالت دوم)

محاسبه انتگرال های به فرم∫mx+nax2+bx+c dx

حالت اول

حالت دوم

محاسبه انتگرال های به فرم $\int \frac{m x + n}{a x^{2} + b x + c} d x$