سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

انتگرال نامعین (جبری و مثلثاتی)

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

محاسبه انتگرال $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$

برای محاسبه این انتگرال ها از تغییر متغیرهای $\{\begin{cases} x = a \sin t \\ x = a \cos t \end{cases}$ استفاده می‌کنیم. $(a > 0)$

$\begin{array}{l} i f x = a \sin t \Rightarrow \sin t = \frac{x}{a} \Rightarrow t = A r c \sin \frac{x}{a} \end{array}$

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2} \Rightarrow - 1 \leq \sin t \leq 1 \Rightarrow - a \leq a \sin t \leq a \Rightarrow - a \leq x \leq a$

وقتی $t$ در این بازه اختیار شود $\sin t$ تمام مقادیر بازه $[- 1, 1]$ و $x = a \sin t$ تمام مقادیر بازه $[- a, a]$ را اختیار می‌کند در این‌صورت $t = A r c \sin \frac{x}{a}$ می‌باشد.

اگر $x = a \cos t$ اختیار کنیم کافی است $0 \leq t \leq π$ باشد.

تمرین

انتگرال های زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

$x = \sin t \Rightarrow \{\begin{cases} d x = \cos t \cdot d t \\ t = A r c \sin x \end{cases}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} t}}{\sin^{2} t} \cdot \cos t d t \\ \Rightarrow I = \int \frac{\cos t}{\sin^{2} t} \cdot \cos t d t \\ \Rightarrow I = \int \cot g^{2} t d t \\ \Rightarrow I = \int (- 1 + 1 + \cot g^{2} t) d t \\ \Rightarrow I = \int [- 1 + (1 + \cot g^{2} t)] d t \\ \Rightarrow I = - t - \cot g t + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - A r c \sin x - \cot A r c \sin x + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - A r c \sin x - \frac{\cos A r c \sin x}{\sin (A r c \sin x)} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - A r c \sin x - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} + c \end{array}$

$I = \int x^{3} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

$\begin{array}{l} I = \int x^{3} \sqrt{4 - x^{2}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int x^{3} \sqrt{{(2)}^{2} - x^{2}} d x; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {(2 \sin t)}^{3} \sqrt{4 - {(2 \sin t)}^{2}} .2. \cos t d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int 8 \sin^{3} t . \sqrt{4 - {(2 \sin t)}^{2}} .2. \cos t d t \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow I = \int 16 \sin^{3} t . (2 \sqrt{1 - \sin^{2} t}) . \cos t . d t \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 32 \int \sin^{3} t . \cos^{2} t . d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 32 \int \sin t (1 - \cos^{2} t) . \cos^{2} t d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 32 \int (\sin t . \cos^{2} t - \sin t . \cos^{4} t) d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \frac{32}{3} \cos^{3} t + \frac{32}{5} \cos^{5} t + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \frac{32}{3} {[\frac{1}{2} \sqrt{4 - x^{2}}]}^{3} + \frac{32}{5} {[\frac{1}{2} \sqrt{4 - x^{2}}]}^{5} + c \end{array}$

$(A) : x = 2 \sin t$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} d x = 2 \cos t d t \\ \frac{x}{2} = \sin t \Rightarrow \cos t = \sqrt{1 - \sin^{2} t} = \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{4 - x^{2}} \end{cases} \end{matrix}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

1- برای محاسبه انتگرال به‌صورت $\int \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} d x$ از تغییر متغیر $x = a \cos t$ استفاده می‌کنیم.

2- برای محاسبه انتگرال به‌صورت $\int \sqrt{\frac{x}{a - x}} d x$ از تغییر متغیر $x = a \sin^{2} t$ استفاده می‌کنیم.

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}}$

$x = 2 \cos t$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} d x = - 2 \sin t d t \\ \cos t = \frac{x}{2} \Rightarrow t = A r c \cos \frac{x}{2} \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int \sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \sqrt{\frac{2 - 2 \cos t}{2 + 2 \cos t}} \cdot (- 2 \sin t) d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \sqrt{\frac{2 \sin^{2} \frac{t}{2}}{2 \cos^{2} \frac{t}{2}}} (- 4 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}) d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} (- 4 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}) d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - 4 \int \sin^{2} \frac{t}{2} d t \\ \Rightarrow I = - 4 \int \frac{1 - \cos t}{2} d t \\ \Rightarrow I = - 2 \int (1 - \cos t) d t \\ \Rightarrow I = - 2 (t - \frac{1}{2} \sin t) + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - 2 [A r c \cos \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (A r c \cos \frac{x}{2})] + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

محاسبه انتگرال به‌فرم $\sqrt{a^{2} + x^{2}}$

برای محاسبه این نوع انتگرال ها از تغییر متغیرهای $\{\begin{cases} x = a \tan t \\ x = a \cot g t \end{cases}$ استفاده می‌کنیم.

$\{\begin{cases} i f x = a . \tan t; - \frac{π}{2} < t < \frac{π}{2} \\ i f x = a . \cot t; 0 < t < π \end{cases}$

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}} d x$

$\{\begin{cases} x = 2 \tan t \Rightarrow d x = 2 (1 + \tan^{2} t) d t = 2 \sec^{2} t d t \\ - \frac{π}{2} < t < \frac{π}{2} \end{cases}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{2 \sec^{2} t}{4 \tan^{2} t \sqrt{4 + 4 \tan^{2} t}} d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{2 \sec^{2} t}{4 \times 2 \tan^{2} t \sqrt{1 + \tan^{2} t}} d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{2 \sec^{2} t}{8 \tan^{2} t . \sec t} d t \\ \Rightarrow I = \frac{1}{4} \int \cos t . \sin^{- 2} t d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \frac{1}{4} . \frac{1}{\sin t} + c; (A) \\ \Rightarrow I = - \frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{4 x} + c \end{array}$

$(A) : \{\begin{cases} x = 2 \tan t \Rightarrow \tan t = \frac{x}{2} \\ \sin^{2} t = \frac{\tan^{2} t}{1 + \tan^{2} t} \Rightarrow \sin^{2} t = \frac{x^{2}}{4 + x^{2}} \Rightarrow \sin t = \frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}} \end{cases}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

اگر داشته باشیم $I = \int \frac{1}{\sqrt{a x^{2} + b x + c}} d x$ با شرط $\{\begin{cases} a > 0 \\ b^{2} - 4 a c < 0 \end{cases}$ چون زیر رادیکال قابل تبدیل به $t^{2} + k^{2}$ می‌باشد، قابل حل است.

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{1}{(x + 1) \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} d x$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} b^{2} - 4 a c = 4 - 4 (1) (2) < 0 \\ a = 1 > 0 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 2 = x^{2} + 2 x + 1 + 1 = {(x + 1)}^{2} + 1 \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} I = \int \frac{1}{(x + 1) \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} d x \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{1}{(x + 1) \sqrt{{(x + 1)}^{2} + 1}} d x; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{\sec^{2} t}{\tan t \cdot \sec t} d t \\ \Rightarrow I = \int \frac{1}{\sin t} d t \\ \Rightarrow I = 2 L n |\tan \frac{t}{2}| + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2 L n |\tan \frac{1}{2} [A r c \tan (x + 1)]| + c \end{array}$

$\begin{matrix} (A) : x + 1 = \tan t \Rightarrow \{\begin{cases} d x = (1 + \tan^{2} t) d t \Rightarrow d x = \sec^{2} t d t \\ t = A r c \tan (x + 1) \end{cases} \end{matrix}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

محاسبه انتگرال به‌فرم $\sqrt{x^{2} - a^{2}}$

برای محاسبه انتگرال های شامل جملات فوق، از تغییر متغیرهای زیر استفاده می‌کنیم. $(a > 0)$

$\begin{array}{l} x = a \sec t = \frac{a}{\cos t}; \{\begin{cases} x \geq a \Rightarrow 0 \leq t < \frac{π}{2} \\ x \leq - a \Rightarrow π \leq t < \frac{3 π}{2} \end{cases}〉 |\tan t| = + (\tan t) \end{array}$

$x = a \csc t = \frac{a}{\sin t}$

$\begin{array}{l} i f x = \frac{a}{\cos t} \Rightarrow d x = \frac{a \sin t}{\cos^{2} t} d \end{array}$

$\sqrt{x^{2} - a^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{\cos^{2} t} - a^{2}} = a |\tan t| = a \tan t$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

انتگرال نامعین (جبری و مثلثاتی)

5,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

انتگرال

انتگرال نامعین (جبری و مثلثاتی)

محاسبه انتگرال $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$

محاسبه انتگرال به‌فرم $\sqrt{a^{2} + x^{2}}$

محاسبه انتگرال به‌فرم $\sqrt{x^{2} - a^{2}}$

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

انتگرال

انتگرال نامعین (جبری و مثلثاتی)

محاسبه انتگرال a2−x2

محاسبه انتگرال به‌فرمa2+x2

محاسبه انتگرال به‌فرمx2−a2

محاسبه انتگرال $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$

محاسبه انتگرال به‌فرم $\sqrt{a^{2} + x^{2}}$

محاسبه انتگرال به‌فرم $\sqrt{x^{2} - a^{2}}$