سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

انتگرال نامعین (دو جمله‌ ای دیفرانسیلی)

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

انتگرال گیری از دو‌ جمله‌ای دیفرانسیلی

انتگرال $I = \int x^{m} {(a + b x^{n})}^{p} d x$ را که در آن $p$ و $n$ و $m$ اعداد گویا هستند و فقط در حالات زیر با انتگرال توابع مقدماتی بیان می‌شود:

حالت اول

$p$ عدد صحیح است.

اگر $p > 0$ باشد، پرانتز را به‌وسیله دو‌جمله‌ای نیوتن بسط می‌دهیم.
اگر $p < 0$ باشد، در این‌صورت فرض می‌کنیم $x = t^{k}$ است که $k$ مخرج مشترک $m$ و $n$ می‌باشد.

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int x^{\frac{1}{3}} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

$\begin{array}{l} p = 2 > 0 \\ I = \int x^{\frac{1}{3}} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x \\ \Rightarrow I = \int x^{\frac{1}{3}} (4 + 4 x^{\frac{1}{2}} + x) d x \\ \Rightarrow I = \int (4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{4}{3}}) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 4 \int x^{\frac{1}{3}} d x + 4 \int x^{\frac{5}{6}} d x + \int x^{\frac{4}{3}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} = 4 \cdot \frac{1}{\frac{1}{3} + 1} x^{\frac{1}{3} + 1} + 4 \cdot \frac{1}{\frac{5}{6} + 1} x^{\frac{5}{6} + 1} + \frac{1}{\frac{4}{3} + 1} x^{\frac{4}{3} + 1} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{24}{11} x^{\frac{11}{6}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت دوم

در انتگرال $\int x^{m} {(a + b x^{n})}^{p} d x$ اگر $\frac{m + 1}{n}$ عدد صحیح باشد، فرض می‌کنیم $a + b x^{n} = t^{α}$ است که $α$ مخرج کسر $p$ می‌باشد.

تمرین

انتگرال های زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{\sqrt{1 + \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

$\begin{array}{l} 1 + x^{\frac{1}{3}} = t^{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 t d t = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} d x \Rightarrow d x = 6 t x^{\frac{2}{3}} \cdot d t \\ t = \sqrt{1 + x^{\frac{1}{3}}} \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{\sqrt{1 + \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x \\ \Rightarrow I = \int \frac{{(1 + \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int x^{- \frac{2}{3}} . {(1 + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} d x; (A) \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow I = \int x^{- \frac{2}{3}} \cdot {(t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 t x^{\frac{2}{3}} \cdot d t \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 6 \int t^{2} d t \\ \Rightarrow I = \frac{6}{3} t^{3} + c \\ \Rightarrow I = 2 {(1 + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} + c \\ \Rightarrow I = 2 \sqrt{{(1 + x^{\frac{1}{3}})}^{3}} + c \\ \Rightarrow I = 2 \sqrt{{(1 + \sqrt[3]{x})}^{3}} + c \end{array}$

$(A) : \{\begin{cases} m = - \frac{2}{3} \\ n = \frac{1}{3} \end{cases}〉 \frac{m + 1}{n} = \frac{\frac{- 2}{3} + 1}{\frac{1}{3}} = 1$

$I = \int \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{{(1 + x^{2})}^{2}}} d x$

$1 + x^{2} = t^{3}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} 3 t^{2} d t = 2 x d x \Rightarrow d x = \frac{3 t^{2}}{2 x} d t \\ x^{2} = t^{3} - 1 \\ t = \sqrt[3]{1 + x^{2}} \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{{(1 + x^{2})}^{2}}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int x^{3} . {(1 + x^{2})}^{- \frac{2}{3}} d x; (A) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int x^{3} . {(t^{3})}^{- \frac{2}{3}} . \frac{3 t^{2}}{2 x} d t \\ \Rightarrow I = \frac{3}{2} \int x^{2} . t^{- 2} . t^{2} d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{3}{2} \int x^{2} . d t \\ \Rightarrow I = \frac{3}{2} \int (t^{3} - 1) d t \\ \Rightarrow I = \frac{3}{2} (\frac{1}{4} t^{4} - t) + c \\ \Rightarrow I = \frac{3}{8} t^{4} - \frac{3}{2} t + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{3}{8} \sqrt[3]{{(1 + x^{2})}^{4}} - \frac{3}{2} \sqrt[3]{{(1 + x^{2})}^{1}} \end{array}$

$(A) : \{\begin{cases} m = 3 \\ n = 2 \end{cases}〉 \frac{m + 1}{n} = \frac{3 + 1}{2} = 2$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت سوم

در انتگرال $\int x^{m} {(a + b x^{n})}^{p} d x$ اگر $\frac{m + 1}{n} + p$ عدد صحیح باشد، فرض می‌کنیم $a + b x^{n} = t^{α} . x^{n}$ است که $α$ مخرج کسر $p$ می‌باشد.

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int x^{- 11} {(1 + x^{4})}^{- \frac{1}{2}} d x$

$1 + x^{4} = t^{2} x^{4}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} x^{4} (t^{2} - 1) = 1 \Rightarrow x^{4} = \frac{1}{t^{2} - 1} \Rightarrow x = \frac{1}{{(t^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} x = \frac{1}{{(t^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} \Rightarrow d x = \frac{- t}{2 {(t^{2} - 1)}^{\frac{5}{4}}} \cdot d t \end{array}$

$\begin{array}{l} t^{2} = \frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}}} \end{array}$

$\{\begin{cases} m = - 11 \\ n = 4 \\ p = - \frac{1}{2} \end{cases}$

$\begin{matrix} \frac{m + 1}{n} + p = \frac{- 11 + 1}{4} - \frac{1}{2} = - 3 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int x^{- 11} {(1 + x^{4})}^{- \frac{1}{2}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {(t^{2} - 1)}^{\frac{11}{4}} {(\frac{t^{2}}{t^{2} - 1})}^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{- t}{2 {(t^{2} - 1)}^{\frac{5}{4}}} d t \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \frac{1}{2} \int {(t^{2} - 1)}^{2} d t \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{- 1}{10} t^{5} + \frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{2} t + c \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{- 1}{10} \sqrt{{[\frac{1 + x^{4}}{x^{4}}]}^{5}} + \frac{1}{3} \sqrt{{[\frac{1 + x^{4}}{x^{4}}]}^{3}} - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}}} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \frac{1}{10 x^{10}} \sqrt{{(1 + x^{4})}^{5}} + \frac{1}{3 x^{6}} \sqrt{{(1 + x^{4})}^{3}} - \frac{1}{2 x^{2}} \sqrt{1 + x^{4}} + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت چهارم

در انتگرال $\int x^{m} {(a + b x^{n})}^{p} d x$ اگر $n$ عددی طبیعی باشد، همواره این انتگرال ها قابل محاسبه هستند، زیرا با استفاده از بسط دوجمله‌ای و ضرب $x^{m}$ به انتگرال های ساده تبدیل می‌شود.

حتی در این حالت $m$ می‌تواند هر عدد گویایی باشد، اما وقتی $n$ عدد طبیعی بزرگ باشد مسلما طولانی است.

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int x {(3 x + 1)}^{9} d x$

$u = 3 x + 1$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 3 d x \Rightarrow d x = \frac{1}{3} d u \\ x = \frac{u - 1}{3} \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int x {(3 x + 1)}^{9} d x \\ \Rightarrow I = \int (\frac{u - 1}{3}) \times u^{9} \times \frac{1}{3} d u \\ \Rightarrow I = \frac{1}{9} \int (u - 1) u^{9} d u \\ \Rightarrow I = \frac{1}{9} (\int u^{10} d u - \int u^{9} d u) \\ \Rightarrow I = \frac{1}{9} (\frac{1}{11} u^{11} - \frac{1}{10} u^{10}) + c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{9} [\frac{1}{11} {(3 x + 1)}^{11} - \frac{1}{10} {(3 x + 1)}^{10}] + c \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

تمام انتگرال های به فرم فوق را می‌توان بدون تغییر متغیر با اضافه و کم کردن عدد یا عبارتی محاسبه کرد.

اگر $f (x)$ یک چندجمله‌ای باشد، آن‌گاه $\int f (x) {(a x + b)}^{r} d x$ که $r$ گویا می‌باشد، می‌توان $f (x)$ را بر حسب $(a x + b)$ مرتب کرد.

تمرین

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$I = \int \frac{4 x}{\sqrt[5]{{(2 x + 3)}^{2}}} d x$

$\begin{array}{l} I = \int \frac{4 x}{\sqrt[5]{{(2 x + 3)}^{2}}} d x \\ \Rightarrow I = \int 4 x \cdot {(2 x + 3)}^{- \frac{2}{5}} d x \\ \Rightarrow I = 2 \int 2 x \cdot {(2 x + 3)}^{- \frac{2}{5}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2 \int [(2 x + 3) - 3] {(2 x + 3)}^{- \frac{2}{5}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2 \int [{(2 x + 3)}^{\frac{3}{5}} - 3 {(2 x + 3)}^{- \frac{2}{5}}] d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2 \frac{1}{2 (\frac{3}{5} + 1)} {(2 x + 3)}^{\frac{8}{5}} - \frac{6}{2 (- \frac{2}{5} + 1)} {(2 x + 3)}^{\frac{3}{5}} + c \end{array}$