انتگرال معین (قدر مطلق تابع)

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

انتگرال معین $|f (x)|$

اگر $f$ روی $[a, b]$ تابعی انتگرال پذیر باشد، $|f (x)|$ هم در $[a, b]$ انتگرال پذیر است.

می‌خواهیم به محاسبه این نوع انتگرال ها بپردازیم. برای محاسبه $\int_{a}^{b} |f (x)| d x$ داریم:

ریشه‌های $f (x) = 0$ را مشخص می‌کنیم.
بازه $[a, b]$ را به این ریشه‌ها تقسیم کرده و علامت $f (x)$ را در هر یک از این زیر بازه ها مشخص نماییم.
با تعیین علامت $f (x)$ در هر بازه، قدرمطلق را محاسبه می‌کنیم.

تمرین

انتگرال های زير را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} I = \int_{0}^{2 π} |\sin x| d x \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int_{0}^{2 π} |\sin x| d x; (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{0}^{π} |\sin x| d x + \int_{π}^{2 π} |\sin x| d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{0}^{π} \sin x d x + \int_{π}^{2 π} (- \sin x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = [- \cos x |\begin{array}{l} π \\ 0 \end{array} + [\cos x |\begin{array}{l} 2 π \\ π \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} (1) : \{\begin{cases} \sin x = 0 \Rightarrow x = π \\ \int_{0}^{2 π} |\sin x| d x = \int_{0}^{π} |\sin x| d x + \int_{π}^{2 π} |\sin x| d x \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int_{- 1}^{2} e^{|x|} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int_{- 1}^{2} e^{|x|} d x; (1) \\ \Rightarrow I = \int_{- 1}^{0} e^{|x|} d x + \int_{0}^{2} e^{|x|} d x \\ \Rightarrow I = \int_{- 1}^{0} e^{- x} d x + \int_{0}^{2} e^{x} d x \\ \Rightarrow I = [- e^{- x} |\begin{array}{l} 0 \\ - 1 \end{array} + [e^{x} |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} \\ \Rightarrow I = e^{2} + e - 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} (1) : \{\begin{cases} x = 0 \\ \int_{- 1}^{2} e^{|x|} d x = \int_{- 1}^{0} e^{|x|} d x + \int_{0}^{2} e^{|x|} d x \end{cases} \end{array}$

$I = \int_{- 1}^{1} \sqrt{|x| - x} d x$

$\begin{array}{l} I = \int_{- 1}^{1} \sqrt{|x| - x} d x; (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{- 1}^{0} \sqrt{|x| - x} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{|x| - x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{- 1}^{0} \sqrt{- x - x} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x - x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{- 1}^{0} \sqrt{- 2 x} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{0} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{- 1}^{0} \sqrt{- 2 x} d x \\ \Rightarrow I = - \frac{1}{3} {[(- 2 x)}^{\frac{3}{2}} |\begin{array}{l} 0 \\ - 1 \end{array} \\ \Rightarrow I = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} (1) : \{\begin{cases} x = 0 \\ i f - 1 \leq x \leq 0 \Rightarrow |x| = - x \\ i f 0 \leq x \leq 1 \Rightarrow |x| = x \end{cases} \end{array}$