سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

انتگرال معین (جز صحیح تابع)

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

انتگرال معین $[f (x)]$

محاسبه $\int_{a}^{b} [f (x)] d x$ مشابه محاسبه انتگرال های قطعه قطعه پیوسته است که قبلا بررسی کرده‌ایم زیرا در فواصل مختلف، مقادیر $f (x)$ روی خطوط افقی قرار می‌گیرند.

محاسبه انتگرال منجر به محاسبه مساحت های تعدادی مستطیل می‌شود.

کافی است نقاط تلاقی $f (x)$ را با خطوط $y = k$ که $k \in Z$ است را پیدا کنیم.

انتگرال معین تابع جزءصحیح - پیمان گردلو

فرض کنیم $f$ تابعی پیوسته در بازه $[a, b]$ باشد و نقاط تلاقی $f$ را مطابق با خطوط $y = k$ پیدا می‌کنیم در این‌صورت حاصل انتگرال به کمک شکل یا با محاسبه به‌دست می‌آید.

نکته مهم در محاسبه این انتگرال ها، تعیین ریشه‌های $f (x) = k$ است.

$\int_{a}^{b} f (x) d x = (x_{2} - x_{1}) k + (x_{3} - x_{2}) m + (x_{4} - x_{3}) n + (x_{5} - x_{4}) m + (x_{6} - x_{5}) k$

نقاط تلاقی دیگری مانند $c$ و $d$ و $e$ نیز به‌دست می‌آیند و مشاهده می‌کنیم که لزومی ندارد آنها را وارد محاسبه کنیم.

تمرین

انتگرال های زير را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} I = \int_{0}^{n} [x^{n}] d x, (n \in N) \end{array}$

$i f \{\begin{cases} x^{n} = k \Rightarrow x = \sqrt[n]{k}, x > 0 \\ k = 0, 1, 2, 3 \Rightarrow x = 0, \sqrt[n]{1}, \sqrt[n]{2}, \sqrt[n]{3}, ...., \sqrt[n]{n} \end{cases}$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} I = \int_{0}^{n} [x^{n}] d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{0}^{\sqrt[n]{1}} [x^{n}] d x + \int_{\sqrt[n]{1}}^{\sqrt[n]{2}} [x^{n}] d x + \int_{\sqrt[n]{2}}^{\sqrt[n]{3}} [x^{n}] d x + ... + \int_{\sqrt[n]{n - 1}}^{\sqrt[n]{n}} [x^{n}] d x; (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 0 + 1 (\sqrt[n]{2} - \sqrt[n]{1}) + 2 (\sqrt[n]{3} - \sqrt[n]{2}) + 3 (\sqrt[n]{4} - \sqrt[n]{3}) + ... + (n - 1) (\sqrt[n]{n} - \sqrt[n]{n - 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = (n - 1) \sqrt[n]{n} - (1 + \sqrt[n]{2} + \sqrt[n]{3} + ... + \sqrt[n]{n - 1}) \end{array}$

$(1) : i f \{\begin{cases} 0 \leq x < \sqrt[n]{1} \Rightarrow 0 \leq x^{n} < 1 \Rightarrow [x^{n}] = 0 \\ \sqrt[n]{1} \leq x < \sqrt[n]{2} \Rightarrow 1 \leq x^{n} < 2 \Rightarrow [x^{n}] = 1 \\ \sqrt[n]{n - 1} \leq x < \sqrt[n]{n} \Rightarrow n - 1 \leq x^{n} < n \Rightarrow [x^{n}] = n - 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [4 \sin^{2} x] d x \end{array}$

$i f 4 \sin^{2} x = k$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} k = 0 \Rightarrow 4 \sin^{2} x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \Rightarrow x = 0 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} k = 1 \Rightarrow 4 \sin^{2} x = 1 \Rightarrow \sin^{2} x = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{π}{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} k = 2 \Rightarrow 4 \sin^{2} x = 2 \Rightarrow \sin^{2} x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{π}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} k = 3 \Rightarrow 4 \sin^{2} x = 3 \Rightarrow \sin^{2} x = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{π}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} k = 4 \Rightarrow 4 \sin^{2} x = 4 \Rightarrow \sin^{2} x = 1 \Rightarrow \sin x = \pm 1 \Rightarrow x = \frac{π}{2} \end{array}$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [4 \sin^{2} x] d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} [4 \sin^{2} x] d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} [4 \sin^{2} x] d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} [4 \sin^{2} x] d x + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} [4 \sin^{2} x] d x; (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = (0) (\frac{π}{6} - 0) + (1) (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) + 2 (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) + 3 (\frac{π}{2} - \frac{π}{3}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{3 π}{4} \end{array}$

$(1) :$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \leq x < \frac{π}{6} \Rightarrow 0 \leq \sin x < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 \leq \sin^{2} x < \frac{1}{4} \Rightarrow 0 \leq 4 \sin^{2} x < 1 \Rightarrow [4 \sin^{2} x] = 0 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \frac{π}{6} \leq x < \frac{π}{4} \Rightarrow \frac{1}{2} \leq \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{1}{4} \leq \sin^{2} x < \frac{1}{2} \Rightarrow 1 \leq 4 \sin^{2} x < 2 \Rightarrow [4 \sin^{2} x] = 1 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{3} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \leq \sin^{2} x < \frac{3}{4} \Rightarrow 2 \leq 4 \sin^{2} x < 3 \Rightarrow [4 \sin^{2} x] = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{π}{3} \leq x < \frac{π}{2} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \leq \sin x < 1 \Rightarrow \frac{3}{4} \leq \sin^{2} x < 1 \Rightarrow 3 \leq 4 \sin^{2} x < 4 \Rightarrow [4 \sin^{2} x] = 3 \end{array}$

$I = \int_{0}^{2} [2^{x}] d x$

$2^{x} = k$

$\begin{matrix} \Rightarrow x = \log_{2} k \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} k = 1 \Rightarrow x = \log_{2} 1 \Rightarrow x = 0 \\ k = 2 \Rightarrow x = \log_{2} 2 \Rightarrow x = 1 \\ k = 3 \Rightarrow x = \log_{2} 3 \\ k = 4 \Rightarrow x = \log_{2} 4 \Rightarrow x = 2 \end{array} \end{matrix}$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} I = \int_{0}^{2} [2^{x}] d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{0}^{1} [2^{x}] d x + \int_{1}^{\log_{2} 3} [2^{x}] d x + \int_{\log_{2} 3}^{2} [2^{x}] d x; (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = (1) (1 - 0) + (2) (\log_{2} 3 - 1) + (3) (2 - \log_{2} 3) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 1 + 2 \log_{2} 3 - 2 + 6 - 3 \log_{2} 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 5 - \log_{2} 3 \end{array}$

$(1) :$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \leq x < 1 \Rightarrow 2^{0} \leq 2^{x} < 2^{1} \Rightarrow 1 \leq 2^{x} < 2 \Rightarrow [2^{x}] = 1 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} 1 \leq x < \log_{2} 3 \Rightarrow 2^{1} \leq 2^{x} < 2^{\log_{2} 3} \Rightarrow 2 \leq 2^{x} < 3 \Rightarrow [2^{x}] = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \log_{2} 3 \leq x < 2 \Rightarrow 2^{\log_{2} 3} \leq 2^{x} < 2^{2} \Rightarrow 3 \leq 2^{x} < 4 \Rightarrow [2^{x}] = 3 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

محاسبه انتگرال هایی که در آن $[f (x)]$ با توابع دیگری جمع، ضرب و یا ترکیب شده باشد.

برای محاسبه این نوع انتگرال ها بر خلاف انتگرال های قبلی از نمودار، کمتر می‌توان استفاده کرد.

لذا باید ابتدا مقدار $[f (x)]$ را در فواصل مختلف محاسبه کرده و $k$ مقدار $[f (x)]$ در فاصله $[x_{1}, x_{2}]$ است.

انتگرال در هر فاصله منجر به محاسبه انتگرال های معینی مانند $\int_{x_{1}}^{x_{2}} k g (x) d x$ یا $\int_{x_{1}}^{x_{2}} (g (x) + k) d x$ و غیره می‌شود.

تمرین

انتگرال های زير را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} I = \int_{0}^{2} (x [\sin π x] + [x] \sin π x) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{0}^{2} x [\sin π x] d x + \int_{0}^{2} [x] \sin π x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = (\int_{0}^{1} x [\sin π x] d x + \int_{1}^{2} x [\sin π x] d x) + (\int_{0}^{1} [x] \sin π x d x + \int_{1}^{2} [x] \sin π x d x); (1) \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow I = (0 + \int_{1}^{2} x [\sin π x] d x) + (0 + \int_{1}^{2} [x] \sin π x d x) \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{1}^{2} x (- 1) d x + \int_{1}^{2} (1) \sin π x d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = [- \frac{1}{2} x^{2} |\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array} + [- \frac{1}{π} \cos π x |\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \frac{3}{2} - \frac{2}{π} \end{array}$

$(1) : i f 0 \leq x < 2$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \leq x < 1 \Rightarrow \{\begin{cases} [x] = 0 \\ 0 \leq π x < π \Rightarrow 0 \leq \sin π x < 1 \Rightarrow [\sin π x] = 0 \end{cases} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} 1 \leq x < 2 \Rightarrow \{\begin{cases} [x] = 1 \\ π \leq π x < 2 π \Rightarrow - 1 \leq \sin π x < 0 \Rightarrow [\sin π x] = - 1 \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} I = \int_{0}^{3} \sin π (x - [x]) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} I = \int_{0}^{3} \sin π (x - [x]) d x; (1) \\ \Rightarrow I = 3 \int_{0}^{1} \sin π (x - [x]) d x; (2) \\ \Rightarrow I = 3 \int_{0}^{1} \sin π (x - 0) d x \\ \Rightarrow I = 3 \int_{0}^{1} \sin π x d x \\ \Rightarrow I = 3 [\frac{- 1}{π} \cos π x |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \\ \Rightarrow I = \frac{6}{π} \end{array}$

تابع زیر متناوب است و دارای دوره تناوب $T = 1$ است:

$\begin{array}{l} f (x) = \sin π (x - [x]) \\ (1) : \{\begin{cases} \int_{0}^{T a} f (x) d x = a \int_{0}^{T} f (x) d x \\ \int_{0}^{3} \sin π (x - [x]) d x = \int_{0}^{3 \times 1} \sin π (x - [x]) d x = 3 \int_{0}^{1} \sin π (x - [x]) d x \end{cases} \\ (2) : i f 0 < x < 1 \Rightarrow [x] = 0 \end{array}$

$I = \int_{0}^{2} ([x] + \sqrt{x - [x]}) d x$

$\begin{array}{l} I = \int_{0}^{2} ([x] + \sqrt{x - [x]}) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{0}^{1} ([x] + \sqrt{x - [x]}) d x + \int_{1}^{2} ([x] + \sqrt{x - [x]}) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{0}^{1} (0 + \sqrt{x - 0}) d x + \int_{1}^{2} (1 + \sqrt{x - 1}) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{2} (1 + \sqrt{x - 1}) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} + [x + \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} |\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{7}{3} \end{array}$

$I = \int_{1}^{2} x^{2} [\frac{1}{x^{2}}] d x$

$\begin{matrix} I = \int_{1}^{2} x^{2} [\frac{1}{x^{2}}] d x; (1) \\ \Rightarrow I = \int_{1}^{2} x^{2} \times (0) d x \\ \Rightarrow I = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} (1) : 1 \leq x \leq 2 \Rightarrow 1 \leq x^{2} \leq 4 \Rightarrow \frac{1}{4} \leq \frac{1}{x^{2}} \leq 1 \Rightarrow [\frac{1}{x^{2}}] = 0 \end{matrix}$