سرفصل‌های این مبحث

انتگرال

انتگرال معین (محاسبه سطح)

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402

دسته‌بندی: انتگرال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مساحت نمودار تابع و محور طول ها و خطوط عمودی

می‌خواهیم مساحت بین نمودار تابع $y = f (x)$ ، محور $x$ ها و خطوط $x = a$ و $x = b$ را محاسبه کنیم.

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

فرض کنیم $\int_{a}^{b} f (x) d x$ موجود باشد.

هرگاه به ازای هر $x$ از بازه $[a, b]$ تابع $f (x) \geq 0$ یا $f (x) \leq 0$ باشد، آن‌گاه $|\int_{a}^{b} f (x) d x|$ برابر است با مساحت بین نمودار تابع و محور $x$ ها و خطوط $x = a$ و $x = b$ .

$S_{a}^{b} = |\int_{a}^{b} f (x) d x|$

در حالتی که سطح در طرفین محور $x$ ها واقع شود، باید تلاقی $f (x)$ با محور $x$ ها را پیدا کرده و مساحت هر قسمت را جداگانه محاسبه کنیم و سپس مجموع آنها را به‌دست آوریم.

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

$S_{a}^{b} = S_{1} + S_{2} = |\int_{a}^{c} f (x) d x| + |\int_{c}^{b} f (x) d x|$

تمرین

مساحت بين منحنی و خطوط زیر و محور $x$ ها را پيدا کنيد.

$\{\begin{cases} f (x) = x \sqrt[3]{x - 1} \\ x = 0 \\ x = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = x \sqrt[3]{x - 1} \\ y = 0 \end{cases}$

$\begin{matrix} \Rightarrow x \sqrt[3]{x - 1} = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ \sqrt[3]{x - 1} = 0 \Rightarrow x = 1 \end{cases} \end{matrix}$

سطح در بازه $[0, 2]$ در طرفین محور $x$ ها واقع است.

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} S = |\int_{0}^{2} f (x) d x| = |\int_{0}^{1} f (x) d x| + |\int_{1}^{2} f (x) d x| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |\int_{0}^{1} x {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} d x| + |\int_{1}^{2} x {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} d x| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |\frac{3}{7} {(x - 1)}^{\frac{7}{3}} + \frac{3}{4} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} + |\frac{3}{7} {(x - 1)}^{\frac{7}{3}} + \frac{3}{4} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} |\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow S = |(0 + 0) - (\frac{- 3}{7} + \frac{3}{4})| + |(\frac{3}{7} + \frac{3}{4}) - (0 + 0)| \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |\frac{- 9}{28}| + |\frac{33}{28}| \\ \Rightarrow S = \frac{3}{2} \end{array}$

$\{\begin{cases} f (x) = \sin^{2} 2 x - \sin 2 x \\ x = \frac{π}{4} \\ x = 0 \end{cases}$

$\begin{array}{l} S = |\int_{0}^{\frac{π}{4}} (\sin^{2} 2 x - \sin 2 x) d x| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} 2 x d x - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin 2 x d x| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} (1 - \cos 4 x) d x| - |\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin 2 x d x| \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow S = |\frac{1}{2} (x - \frac{1}{4} \sin 4 x) |\begin{array}{l} \frac{π}{4} \\ 0 \end{array} - |(- \frac{1}{2} \cos 2 x) |\begin{array}{l} \frac{π}{4} \\ 0 \end{array} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{4} \sin 4 (\frac{π}{4}))| - |- \frac{1}{2} (\cos \frac{π}{2} - \cos 0)| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - 0)| - |- \frac{1}{2} (0 - 1)| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{π}{8} - \frac{1}{2} \end{array}$

تمرین

مساحت بين منحنی و خطوط زیر را پيدا کنيد.

$\{\begin{cases} f (x) = 1 - x^{2} \\ x = - 1 \\ x = 1 \\ y = 0 \end{cases}$

خط $y = 0$ معادله خط محور $x$ ها می‌باشد.

$\{\begin{cases} f (x) = 1 - x^{2} \\ f (- x) = 1 - {(- x)}^{2} = 1 - x^{2} = f (x) \end{cases}$

تابع زوج است:

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} S = |\int_{- 1}^{1} f (x) d x| \\ \Rightarrow S = 2 |\int_{0}^{1} f (x) d x| \\ \Rightarrow S = 2 |\int_{0}^{1} (1 - x^{2}) d x| \\ \Rightarrow S = 2 |x - \frac{1}{3} x^{3} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = 2 |1 - \frac{1}{3}| \\ \Rightarrow S = 2 \times |\frac{2}{3}| \\ \Rightarrow S = \frac{4}{3} \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{4 - x^{2}}; - 2 \leq x \leq 0 \\ - \sqrt{9 - x^{2}}; 0 \leq x \leq 3 \end{cases}$

آن‌گاه مقدار زیر را محاسبه کنيد.

$|\int_{- 2}^{3} f (x) d x|$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} S = |\int_{- 2}^{3} f (x) d x| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |\int_{- 2}^{0} \sqrt{4 - x^{2}} d x| + |\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |\frac{π R^{2}}{4}| + |\frac{π {R^{'}}^{2}}{4}| \\ \Rightarrow S = |\frac{π \times 4}{4}| + |\frac{π \times 9}{4}| \\ \Rightarrow S = π + \frac{9 π}{4} \\ \Rightarrow S = \frac{13 π}{4} \end{array}$

تمرین

مساحت بين نمودار تابع زیر و مماس های بر آن در نقاط داده شده، چقدر است؟

$\{\begin{cases} f (x) = \sin x \\ x = 0 \\ x = π \end{cases}$

معادلات خطوط مماس در نقاط $x = 0, π$ را به‌دست می‌آوريم:

$\{\begin{cases} i f x = 0 \Rightarrow y = 0; A (0, 0) \\ i f x = π \Rightarrow y = \sin π = 0; C (π, 0) \end{cases}$

$\begin{array}{l} f (x) = \sin x \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \cos x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow f^{'} (0) = m = \cos 0 = 1 \\ x = π \Rightarrow f^{'} (π) = m = \cos π = - 1 \end{cases} \end{array}$

معادله خط $A B$ :

$y - y_{A} = m_{A B} (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = (1) (x - 0) \Rightarrow y = x$

معادله خط $B C$ :

$y - y_{C} = m_{B C} (x - x_{C}) \Rightarrow y - 0 = (- 1) (x - π) \Rightarrow y = π - x$

محاسبه مختصات نقطه تقاطع دو مماس:

$\{\begin{cases} y = x \\ y = π - x \end{cases}$

$\begin{matrix} x = π - x \Rightarrow 2 x = π \Rightarrow x = \frac{π}{2} \Rightarrow y = \frac{π}{2} \Rightarrow B (\frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \end{matrix}$

$\begin{array}{l} S_{A B C} = \frac{\frac{π}{2} \times π}{2} = \frac{π^{2}}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{1} = \int_{0}^{π} \sin x d x = [- \cos x |\begin{array}{l} π \\ 0 \end{array} = - (\cos π - \cos 0) = - (- 1 - 1) = 2 \end{array}$

ناحیه هاشور خورده، عبارت است از:

$S = S_{A B C} - S_{1} = \frac{π^{2}}{4} - 2$

پیمان گردلو

تمرین

به ازای چه مقدار $b$ مساحت بين نمودار تابع زیر و محور $x$ ها در بازه $[0, b]$ برابر $\frac{1}{4}$ است.

$f (x) = \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} S = |\int_{0}^{b} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x| \\ \Rightarrow \frac{1}{4} = |\int_{0}^{b} x {(1 + x^{2})}^{- 2} d x| \\ \Rightarrow \frac{1}{4} = |- \frac{1}{2 (1 + x^{2})} |\begin{array}{l} b \\ 0 \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} = |- \frac{1}{1 + b^{2}} + 1| \\ \Rightarrow \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{1 + b^{2}} \\ \Rightarrow \frac{1}{1 + b^{2}} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow b^{2} + 1 = 2 \\ \Rightarrow b^{2} = 1 \\ \Rightarrow b = \pm 1 \\ \Rightarrow b = 1 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

مساحت نمودار تابع و محور عرض ها و خطوط افقی

می‌خواهیم مساحت بین نمودار تابع $x = g (y)$ ، محور $y$ ها و خطوط $y = c$ و $y = d$ را محاسبه کنیم.

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

هرگاه به ازای هر $y$ از بازه $[c, d]$ تابع $g (y) \geq 0$ یا $g (y) \leq 0$ باشد، آن‌گاه $|\int_{c}^{d} g (y) d y|$ برابر است با مساحت بین نمودار تابع و محور $y$ ها و خطوط $y = c$ و $y = d$ .

$S_{c}^{d} = |\int_{c}^{d} g (y) d y|$

در حالتی که سطح در طرفین محور $y$ ها واقع شود، باید تلاقی $f (y)$ با محور $y$ ها یعنی $x = 0$ را پیدا کرده و مساحت هر قسمت را جداگانه محاسبه کنیم و سپس مجموع آنها را به‌دست آوریم.

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

$S_{c}^{d} = S_{1} + S_{2} = |\int_{c}^{e} g (y) d y| + |\int_{e}^{d} g (y) d y|$

تمرین

مساحت بين منحنی و خطوط زیر و محور $y$ ها را پيدا کنيد.

$\{\begin{cases} y^{2} = 4 - x \\ y = - 1 \\ y = 3 \end{cases}$

محاسبه عرض نقاط تلاقی:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y^{2} = 4 - x \\ x = 0 \end{cases}〉 y^{2} = 4 \Rightarrow y = \pm 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} y^{2} = 4 - x \Rightarrow x = 4 - y^{2} \Rightarrow x = g (y) = 4 - y^{2} \end{array}$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} S = |\int_{- 1}^{2} f (y) d y| + |\int_{2}^{3} f (y) d y| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |\int_{- 1}^{2} (4 - y^{2}) d y| + |\int_{2}^{3} (4 - y^{2}) d y| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = [4 y - \frac{1}{3} y^{3} |\begin{array}{l} 2 \\ - 1 \end{array} + [4 y - \frac{1}{3} y^{3} |\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = [4 (2) - \frac{1}{3} {(2)}^{3} - (4 (- 1) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})] + [4 (3) - \frac{1}{3} {(3)}^{3} - (4 (2) - \frac{1}{3} {(2)}^{3})] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{20}{3} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

فرض کنیم تابع $f$ در بازه $[a, b]$ با شرط $a \geq 0$ تابعی پیوسته و اکیدا صعودی یا اکیدا نزولی باشد و به ازای هر $x$ از $[a, b]$ تابع $f (x) \geq 0$ در این‌صورت داریم:

حالت اول) اگر $f$ اکیدا صعودی باشد، آن‌گاه:

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

$S + S^{'} = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{f (a)}^{f (b)} f (y) d y = b f (b) - a f (a)$

حالت دوم) اگر $f$ اکیدا نزولی باشد، آن‌گاه:

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f (x) d x - (b - a) f (b) = \int_{f (b)}^{f (a)} f (y) d y - (f (a) - f (b)) a \end{array}$

$\int_{f (b)}^{f (a)} f (y) d y - \int_{a}^{b} f (x) d x = a f (a) - b f (b)$

تمرین

مساحت بين منحنی و خطوط زیر و محور $x$ ها را پيدا کنيد.

$\{\begin{cases} f (x) = A r c \sin x \\ x = 0 \\ x = 1 \end{cases}$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \int_{f (b)}^{f (a)} f (y) d y - \int_{a}^{b} f (x) d x = a f (a) - b f (b); (1) \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow \int_{\frac{π}{2}}^{0} \sin y d y - \int_{0}^{1} A r c \sin x d x = 0 \times A r c \sin (0) - 1 \times A r c \sin (1) \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int_{\frac{π}{2}}^{0} \sin y d y - \int_{0}^{1} A r c \sin x d x = - \frac{π}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int_{\frac{π}{2}}^{0} \sin y d y + \frac{π}{2} = \int_{0}^{1} A r c \sin x d x \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow [- \cos y |\begin{array}{l} 0 \\ \frac{π}{2} \end{array} + \frac{π}{2} = \int_{0}^{1} A r c \sin x d x \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow \int_{0}^{1} A r c \sin x d x = \frac{π}{2} - 1 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} (1) : \{\begin{cases} f (x) = A r c \sin x \Rightarrow \{\begin{cases} x = a = 0 \Rightarrow f (0) = A r c \sin 0 = 0 \\ x = b = 1 \Rightarrow f (1) = A r c \sin 1 = \frac{π}{2} \end{cases} \\ i f y = A r c \sin x \Rightarrow x = \sin y \Rightarrow x = f (y) = \sin y \end{cases} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

مساحت بین دو منحنی وقتی متغیر مستقل $x$ است

فرض کنیم دو تابع $f$ و $g$ روی $[a, b]$ انتگرال پذیر باشد و به ازای هر $x$ از این بازه $f (x) \geq g (x)$ یا $f (x) \leq g (x)$ باشد، در این‌صورت مساحت بین نمودارهای دو تابع $f$ و $g$ و خطوط $x = a$ و $x = b$ را محاسبه کنیم.

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

$S = |\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x|$

اگر در بازه $[a, b]$ همواره یکی بالای دیگری نباشد، باید نقطه تقاطع دو منحنی را پیدا کرده و هر قسمت را جداگانه محاسبه کنیم:

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

$S = |\int_{a}^{c} (f (x) - g (x)) d x| + |\int_{c}^{b} (f (x) - g (x)) d x|$

تمرین

مساحت بين منحنی های زیر را حساب کنید.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y = 2 - x^{2} \\ y = - x \end{cases} \end{array}$

محاسبه مختصات نقاط تلاقی:

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} y = f (x) = 2 - x^{2} \\ y = g (x) = - x \end{matrix} \\ 2 - x^{2} = - x \\ \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \\ \Rightarrow (x + 1) (x - 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{matrix} x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 1; A (- 1, 1) \\ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = - 2; B (2, - 2) \end{matrix} \end{array}$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} S = |\int_{- 1}^{2} (f (x) - g (x)) d x| \\ \Rightarrow S = |\int_{- 1}^{2} [(2 - x^{2}) - (- x)] d x| \\ \Rightarrow S = |\int_{- 1}^{2} (2 - x^{2} + x) d x| \\ \Rightarrow S = |2 x - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} |_{- 1}^{2}| \\ \Rightarrow S = \frac{9}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y = \sin x \\ y = \cos x \end{cases}; [0, π] \end{array}$

محاسبه مختصات نقاط تلاقی:

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} y = f (x) = \sin x \\ y = g (x) = \cos x \end{matrix} \\ \sin x = \cos x \\ \Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos x} \\ \Rightarrow \tan x = 1 \\ \Rightarrow x = k π + \frac{π}{4}; k = 0 \\ \Rightarrow x = \frac{π}{4} \end{array}$

$x = \frac{π}{4}$ طول نقطه تلاقی نمودارها در بازه $[0, π]$ می‌باشد.

پیمان گردلو

$\begin{matrix} \begin{array}{l} S = |\int_{0}^{\frac{π}{4}} (f (x) - g (x)) d x| + |\int_{\frac{π}{4}}^{π} (f (x) - g (x)) d x| \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |\int_{0}^{\frac{π}{4}} (\sin x - \cos x) d x| + |\int_{\frac{π}{4}}^{π} (\sin x - \cos x) d x| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |[- \cos x - \sin x |\begin{matrix} \frac{π}{4} \\ 0 \end{matrix}| + |[- \cos x - \sin x |\begin{matrix} π \\ \frac{π}{4} \end{matrix}| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = 2 \sqrt{2} \end{array}$

$\{\begin{cases} y = x^{2} + 1 \\ y = - 2 x \\ y = 2 x \end{cases}$

محاسبه مختصات نقاط تلاقی:

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} y = f (x) = x^{2} + 1 \\ y = g_{1} (x) = - 2 x \end{matrix}〉 x^{2} + 1 = - 2 x \Rightarrow x^{2} + 2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} y = f (x) = x^{2} + 1 \\ y = g_{2} (x) = 2 x \end{matrix}〉 x^{2} + 1 = 2 x \Rightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \end{array}$

$x = - 1, 1$ طول نقاط تماس دو منحنی با منحنی $y = f (x)$ می‌باشد.

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} S = |\int_{- 1}^{1} (f (x) - g_{1} (x)) d x| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |\int_{- 1}^{0} (f (x) - g_{1} (x)) d x| + |\int_{0}^{1} (f (x) - g_{2} (x)) d x| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |\int_{- 1}^{0} (x^{2} + 1 + 2 x) d x| + |\int_{0}^{1} (x^{2} + 1 - 2 x) d x| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = |[\frac{1}{3} x^{3} + x + x^{2} |\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix}| + |[\frac{1}{3} x^{3} + x - x^{2} |\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{2}{3} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

مساحت بین دو منحنی وقتی متغیر مستقل $y$ است

فرض کنیم دو تابع $x = f (y)$ و $x = g (y)$ روی $[c, d]$ انتگرال پذیر باشد و به ازای هر $y$ از این بازه $f (y) \geq g (y)$ یا $f (y) \leq g (y)$ باشد، در این‌صورت مساحت بین نمودارهای دو منحنی و خطوط $y = c$ و $y = d$ را محاسبه کنیم.

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

$S = |\int_{c}^{d} (f (y) - g (y)) d y|$

اگر همواره یکی سمت راست دیگری نباشد یعنی در بازه ای $f (y) > g (y)$ و در بازه ای $f (y) < g (y)$ باشد، بایستی مساحت هر قسمت جداگانه محاسبه شده و سپس حاصل‌ها را جمع کنیم:

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

$S = |\int_{c}^{e} (f (y) - g (y)) d y| + |\int_{e}^{d} (f (y) - g (y)) d y|$

تمرین

مساحت ناحيه بين منحنی های زیر را محاسبه كنيد.

$\{\begin{cases} y^{2} = 2 - x \\ y^{2} = x^{3} \end{cases}$

محاسبه مختصات نقاط تلاقی:

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} y^{2} = 2 - x \\ y^{2} = x^{3} \end{matrix}〉 x^{3} = 2 - x \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = \pm 1; A (1, 1), B (1, - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \{\begin{cases} y^{2} = 2 - x \Rightarrow x = 2 - y^{2} \Rightarrow f (y) = 2 - y^{2} \\ y^{2} = x^{3} \Rightarrow x = \sqrt[3]{y^{2}} \Rightarrow g (y) = \sqrt[3]{y^{2}} \end{cases} \end{array}$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} S = |\int_{- 1}^{1} (f (y) - g (y)) d y| \\ \Rightarrow S = |\int_{- 1}^{1} (2 - y^{2} - \sqrt[3]{y^{2}}) d y| \\ \Rightarrow S = 2 |{(2 y - \frac{1}{3} y^{3} - \frac{3}{5} y^{\frac{5}{3}})}_{0}^{1}| \\ \Rightarrow S = \frac{32}{15} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

انتگرال معین (محاسبه سطح)

10,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

انتگرال

انتگرال معین (محاسبه سطح)

مساحت نمودار تابع و محور طول ها و خطوط عمودی

مساحت بین دو منحنی وقتی متغیر مستقل $x$ است

مساحت بین دو منحنی وقتی متغیر مستقل $y$ است

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

انتگرال

انتگرال معین (محاسبه سطح)

مساحت نمودار تابع و محور طول ها و خطوط عمودی

مساحت بین دو منحنی وقتی متغیر مستقلxاست

مساحت بین دو منحنی وقتی متغیر مستقلyاست

مساحت بین دو منحنی وقتی متغیر مستقل $x$ است

مساحت بین دو منحنی وقتی متغیر مستقل $y$ است