انتگرال معین (محاسبه سطح)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 24 مرتبه

مساحت نمودار تابع و محور طول ها و خطوط عمودی

می‌خواهیم مساحت بین نمودار تابع y=fx، محور xها و خطوط x=a و x=b را محاسبه کنیم.

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

فرض کنیم   a  bfx  dx موجود باشد.

هرگاه به ازای هر x از بازه a,b تابع fx0 یا fx0 باشد، آن‌گاه   a  bfx  dx برابر است با مساحت بین نمودار تابع و محور xها و خطوط x=a و x=b.

Sab=  a  bfx  dx

در حالتی که سطح در طرفین محور xها واقع شود، باید تلاقی fx با محور xها را پیدا کرده و مساحت هر قسمت را جداگانه محاسبه کنیم و سپس مجموع آنها را به‌دست آوریم.

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

Sab=S1+S2=  a  cfx  dx+  c  bfx  dx

دریافت مثال

نکته

مساحت نمودار تابع  و محور عرض ها و خطوط افقی

می‌خواهیم مساحت بین نمودار تابع x=gy، محور yها و خطوط y=c و y=d را محاسبه کنیم.

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

هرگاه به ازای هر y از بازه c,d تابع gy0 یا gy0 باشد، آن‌گاه cdgy  dy برابر است با مساحت بین نمودار تابع و محور yها و خطوط y=c و y=d

Scd=  c  dgy  dy

در حالتی که سطح در طرفین محور yها واقع شود، باید تلاقی fy با محور yها یعنی x=0 را پیدا کرده و مساحت هر قسمت را جداگانه محاسبه کنیم و سپس مجموع آنها را به‌دست آوریم.

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

Scd=S1+S2=  c  egy  dy+  e  dgy  dy

دریافت مثال

تذکر

فرض کنیم تابع f در بازه a,b با شرط a0 تابعی پیوسته و اکیدا صعودی یا اکیدا نزولی باشد و به ازای هر x از a,b تابع fx0 در این‌صورت داریم: 

حالت اول) اگر f اکیدا صعودی باشد، آن‌گاه:

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

S+S'=  a  bfx  dx+  fa  fbfy  dy=bfbafa


حالت دوم)
 اگر f اکیدا نزولی باشد، آن‌گاه:

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

  a  bfx  dxbafb=  fb  fafy  dyfafba  fb  fafy  dy  a  bfx  dx=afabfb

دریافت مثال

مساحت بین دو منحنی وقتی متغیر مستقلxاست

فرض کنیم دو تابع f و g روی a,b انتگرال پذیر باشد و به ازای هر x از این بازه fxgx یا fxgx باشد، در این‌صورت مساحت بین نمودارهای دو تابع f و g و خطوط x=a و x=b را محاسبه کنیم.  

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

S=  a  bfxgx  dx

 اگر در بازه a,b همواره یکی بالای دیگری نباشد، باید نقطه تقاطع دو منحنی را پیدا کرده و هر قسمت را جداگانه محاسبه کنیم:

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

S=  a  cfxgx  dx+  c  bfxgx  dx

دریافت مثال

مساحت بین دو منحنی وقتی متغیر مستقلyاست

فرض کنیم دو تابع x=fy و x=gy روی c,d انتگرال پذیر باشد و به ازای هر y از این بازه fygy یا fygy باشد، در این‌صورت مساحت بین نمودارهای دو منحنی و خطوط y=c و y=d را محاسبه کنیم.   

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو

S=cdfygydy  

اگر همواره یکی سمت راست دیگری نباشد یعنی در بازه ای fy>gy و در بازه ای fy<gy باشد، بایستی مساحت هر قسمت جداگانه محاسبه شده و سپس حاصل‌ها را جمع کنیم:

مساحت زیر نمودار - پیمان گردلو 

S=cefygydy+edfygydy

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال معین (محاسبه سطح)

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید