سرفصل‌های این مبحث

تابع

تناظر یک به یک (نگاشت دو سویی)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 37 مرتبه

تعریف: تابع f:ABy=fx را تناظر یک به یک یا نگاشت دو سویی می‌نامیم، هرگاه f از A به روی B یک به یک و پوشا باشد.

قضیه

فرض کنیم توابع f:AB و g:BA چنان باشند به‌طوری‌که

gof=IAfog=IB

در این صورت f:AB یک تناظر یک به یک است. 

IA و IB به ترتیب توابع همانی با دامنه های A و B هستند.  

اثبات

بررسی یک به یک بودن تابع:

x1,x2A    ;     if    fx1=fx2gfx1=gfx2gofx1=gofx2IAx1=IAx2x1=x2


بررسی پوشا بودن تابع:

if   yBIBy=y            ;    IB=fogfogy=yfgy=y     ;    gyA  ,  x=gyfx=y

تمرین

نشان می‌دهیم تابع زیر یک تناظر یک به یک است. a<b

f:0,1a,bfx=bax+a

بررسی یک به یک بودن f:

x1,x20,1if  fx1=fx2bax1+a=bax2+abax1=bax2    ;    abx1=x2


بررسی پوشا بودن f:

y=bax+abax=yax=yaba  ay1b0y1aba     ;     ba>00y1aba10x11


یعنی به ازای هر y1 از فاصله a,b، x1 ی از فاصله 0,1 هست به طوری‌که fx1=y1 یعنی f  پوشا هست. 


بنابراین f تناظر یک به یک هست. 

تمرین

اگر E مجموعه اعداد طبیعی زوج و O مجموعه اعداد طبیعی فرد باشند، نشان دهید توابع زیر، تناظر یک به یک اند.

f:NEfn=2n  ,  g:NOgn=2n1

بررسی یک به یک بودن دو تابع:

fn1=fn22n1=2n2n1=n2gn1=gn22n11=2n21n1=n2


f و g هر دو یک به یک هستند.


بررسی پوشا بودن دو تابع:


قدم اول:

fn=2nn=fn2


قدم دوم:

به ازای هر fnE، n همواره تعریف شده.

n  دامنه تعریف می‌باشد، یعنی nN

و به همین ترتیب gn پوشا است.

بنابراین f و g تناظر یک به یک هستند. 

تمرین

در صورتی که f:AB تابعی مفروض باشد، ثابت می‌کنیم تابع زیر تناظر یک به یک است. 

g:A×BB×Bga,b=fa,b

اگر f تناظر یک به یک باشد، داریم:

اولا:

ga,b=ga',b'fa,b=fa',b'fa=fa'b=b'

بنابراین پیداست که تابع f یک به یک است، اگر و فقط اگر تابع g یک به یک باشد.


ثانیا: درصورتی که تابع g پوشا باشد، آن‌گاه:

α,βB×B      a,bA×B    ;    ga,b=α,βfa,b=α,βfa=αb=β

بنابراین f تابعی پوشا است.

برعکس، اگر f تابعی پوشا باشد، آن‌گاه می‌توان نوشت:

yB       aA    ;    y=fa

اکنون قرار می‌دهیم:

y,bB×B,y,b=fa,b=ga,b

یعنی g تابعی پوشاست.  

تمرین

اگر f1:A1B1 و f2:A2B2 توابعی مفروض باشند، تابع g را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم. ثابت می‌کنیم در صورتی‌که f2,f1 تناظر یک به یک باشند، آنگاه g نیز چنین است. 

g:A1×A2B1×B2ga1,a2=f1a1,f2a2

ga1,a2=ga'1,a'2f1a1,f2a2=f1a'1,f2a'2f1a1=f1a'1f2a2=f2a'2


از رابطه اخیر آشکارا می‌توان دید، شرط لازم و کافی برای یک به یک بودن تابع g آن است که تابع f یک به یک باشد.


اکنون اگر تابع g پوشا باشد، آن‌گاه می‌توان نوشت:

b1,b2B1×B2     a1,a2A1×A2ga1,a2=b1,b2=f1a1,f2a2f1a1=b1f2a2=b2


یعنی توابع f2,f1 پوشا هستند، اکنون اگر تابع f پوشا باشد، آن‌گاه خواهیم داشت:

b1B1       a1A1b1=f1a1b2B2         a2A2b2=f2a2b1,b2=f1a1,f2a2=ga1,a2


یعنی تابع g پوشاست.

تمرین

هرگاه f:AA تابع مفروض باشد به‌طوری‌که:

nN  ;   fn=fofo...fo=i

آن‌گاه ثابت می‌کنیم تابع f هم یک به یک و هم پوشا است.

fn=ifn1.f=i

چون تابع همانی i تابعی یک به یک است پس f یک به یک است.

در ادامه استدلال می‌توان نوشت:

fn=if.fn1=i

چون تابع همانی i تابعی پوشا است، می‌توان ادعا کرد تابع f پوشاست.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید