سرفصل‌های این مبحث

تابع

تناظر یک به یک (نگاشت دو سویی)

آخرین ویرایش: 01 اسفند 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تابع $\{\begin{cases} f : A \to B \\ y = f (x) \end{cases}$ را تناظر یک به یک یا نگاشت دو سویی می‌نامیم، هرگاه $f$ از $A$ به روی $B$ یک به یک و پوشا باشد.

قضیه

فرض کنیم توابع $f : A \to B$ و $g : B \to A$ چنان باشند به‌طوری‌که

$\{\begin{cases} g o f = I_{A} \\ f o g = I_{B} \end{cases}$

در این صورت $f : A \to B$ یک تناظر یک به یک است.

$I_{A}$ و $I_{B}$ به ترتیب توابع همانی با دامنه های $A$ و $B$ هستند.

اثبات

بررسی یک به یک بودن تابع:

$\begin{array}{l} \forall x_{1}, x_{2} \in A; i f f (x_{1}) = f (x_{2}) \\ \Rightarrow g (f (x_{1})) = g (f (x_{2})) \\ \Rightarrow (g o f) (x_{1}) = (g o f) (x_{2}) \\ \Rightarrow I_{A} (x_{1}) = I_{A} (x_{2}) \\ \Rightarrow x_{1} = x_{2} \end{array}$

بررسی پوشا بودن تابع:

$\begin{array}{l} i f y \in B \Rightarrow I_{B} (y) = y; I_{B} = f o g \\ \Rightarrow (f o g) (y) = y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (g (y)) = y; g (y) \in A, x = g (y) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = y \end{array}$

تمرین

نشان می‌دهیم تابع زیر یک تناظر یک به یک است. $(a < b)$

$\{\begin{cases} f : [0, 1] \to [a, b] \\ f (x) = (b - a) x + a \end{cases}$

بررسی یک به یک بودن $f$ :

$\begin{array}{l} \forall x_{1}, x_{2} \in [0, 1] \\ i f f (x_{1}) = f (x_{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (b - a) x_{1} + a = (b - a) x_{2} + a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (b - a) x_{1} = (b - a) x_{2}; (a \neq b) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} = x_{2} \end{array}$

بررسی پوشا بودن $f$ :

$\begin{array}{l} y = (b - a) x + a \Rightarrow (b - a) x = y - a \Rightarrow x = \frac{y - a}{b - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \forall a \leq y_{1} \leq b \\ \Rightarrow 0 \leq y_{1} - a \leq b - a; b - a > 0 \\ \Rightarrow 0 \leq \frac{y_{1} - a}{b - a} \leq 1 \\ \Rightarrow 0 \leq x_{1} \leq 1 \end{array}$

یعنی به ازای هر $y_{1}$ از فاصله $[a, b]$ ، $x_{1}$ ی از فاصله $[0, 1]$ هست به طوری‌که $f (x_{1}) = y_{1}$ یعنی $f$ پوشا هست.

بنابراین $f$ تناظر یک به یک هست.

تمرین

اگر $E$ مجموعه اعداد طبیعی زوج و $O$ مجموعه اعداد طبیعی فرد باشند، نشان دهید توابع زیر، تناظر یک به یک اند.

$\{\begin{cases} f : N \to E \\ f (n) = 2 n \end{cases}, \{\begin{cases} g : N \to O \\ g (n) = 2 n - 1 \end{cases}$

بررسی یک به یک بودن دو تابع:

$\begin{array}{l} f (n_{1}) = f (n_{2}) \Rightarrow 2 n_{1} = 2 n_{2} \Rightarrow n_{1} = n_{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} g (n_{1}) = g (n_{2}) \Rightarrow 2 n_{1} - 1 = 2 n_{2} - 1 \Rightarrow n_{1} = n_{2} \end{array}$

$f$ و $g$ هر دو یک به یک هستند.

بررسی پوشا بودن دو تابع:

قدم اول:

$f (n) = 2 n \Rightarrow n = \frac{f (n)}{2}$

قدم دوم:

به ازای هر $f (n) \in E$ ، $n$ همواره تعریف شده.

$n$ دامنه تعریف می‌باشد، یعنی $n \in N$

و به همین ترتیب $g (n)$ پوشا است.

بنابراین $f$ و $g$ تناظر یک به یک هستند.

تمرین

در صورتی که $f : A \to B$ تابعی مفروض باشد، ثابت می‌کنیم تابع زیر تناظر یک به یک است.

$\{\begin{cases} g : A \times B \to B \times B \\ g (a, b) = (f (a), b) \end{cases}$

اگر $f$ تناظر یک به یک باشد، داریم:

اولا:

$\begin{array}{l} g (a, b) = g (a^{'}, b^{'}) \\ \Leftrightarrow (f (a), b) = (f (a^{'}), b^{'}) \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (a) = f (a^{'}) \\ b = b^{'} \end{cases} \end{array}$

بنابراین پیداست که تابع $f$ یک به یک است، اگر و فقط اگر تابع $g$ یک به یک باشد.

ثانیا: درصورتی که تابع $g$ پوشا باشد، آن‌گاه:

$\begin{array}{l} \forall (α, β) \in B \times B \exists (a, b) \in A \times B; g (a, b) = (α, β) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (f (a), b) = (α, β) \\ \Rightarrow \{\begin{cases} f (a) = α \\ b = β \end{cases} \end{array}$

بنابراین $f$ تابعی پوشا است.

برعکس، اگر $f$ تابعی پوشا باشد، آن‌گاه می‌توان نوشت:

$\forall y \in B \exists a \in A; y = f (a)$

اکنون قرار می‌دهیم:

$\forall (y, b) \in B \times B, (y, b) = (f (a), b) = g (a, b)$

یعنی $g$ تابعی پوشاست.

تمرین

اگر $f_{1} : A_{1} \to B_{1}$ و $f_{2} : A_{2} \to B_{2}$ توابعی مفروض باشند، تابع $g$ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم. ثابت می‌کنیم در صورتی‌که $f_{2}, f_{1}$ تناظر یک به یک باشند، آنگاه $g$ نیز چنین است.

$\begin{array}{l} g : A_{1} \times A_{2} \to B_{1} \times B_{2} \\ g (a_{1}, a_{2}) = (f_{1} (a_{1}), f_{2} (a_{2})) \end{array}$

$\begin{array}{l} g (a_{1}, a_{2}) = g ({a^{'}}_{1}, {a^{'}}_{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (f_{1} (a_{1}), f_{2} (a_{2})) = (f_{1} ({a^{'}}_{1}), f_{2} ({a^{'}}_{2})) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{cases} f_{1} (a_{1}) = f_{1} ({a^{'}}_{1}) \\ f_{2} (a_{2}) = f_{2} ({a^{'}}_{2}) \end{cases} \end{array}$

از رابطه اخیر آشکارا می‌توان دید، شرط لازم و کافی برای یک به یک بودن تابع $g$ آن است که تابع $f$ یک به یک باشد.

اکنون اگر تابع $g$ پوشا باشد، آن‌گاه می‌توان نوشت:

$\begin{array}{l} \forall (b_{1}, b_{2}) \in B_{1} \times B_{2} \exists (a_{1}, a_{2}) \in A_{1} \times A_{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} g (a_{1}, a_{2}) = (b_{1}, b_{2}) = (f_{1} (a_{1}), f_{2} (a_{2})) \Leftrightarrow \{\begin{cases} f_{1} (a_{1}) = b_{1} \\ f_{2} (a_{2}) = b_{2} \end{cases} \end{array}$

یعنی توابع $f_{2}, f_{1}$ پوشا هستند، اکنون اگر تابع $f$ پوشا باشد، آن‌گاه خواهیم داشت:

$\{\begin{cases} \forall b_{1} \in B_{1} \exists a_{1} \in A_{1} \Rightarrow b_{1} = f_{1} (a_{1}) \\ \forall b_{2} \in B_{2} \exists a_{2} \in A_{2} \Rightarrow b_{2} = f_{2} (a_{2}) \end{cases}$

$\begin{matrix} (b_{1}, b_{2}) = (f_{1} (a_{1}), f_{2} (a_{2})) = g (a_{1}, a_{2}) \end{matrix}$

یعنی تابع $g$ پوشاست.

تمرین

هرگاه $f : A \to A$ تابع مفروض باشد به‌طوری‌که:

$\exists n \in N; f^{n} = f o f o ... f o = i$

آن‌گاه ثابت کنید تابع $f$ هم یک به یک و هم پوشا است.

$f^{n} = i \Rightarrow f^{n - 1} . f = i$

چون تابع همانی $i$ تابعی یک به یک است پس $f$ یک به یک است.

در ادامه استدلال می‌توان نوشت:

$f^{n} = i \Rightarrow f . f^{n - 1} = i$

چون تابع همانی $i$ تابعی پوشا است، می‌توان ادعا کرد تابع $f$ پوشاست.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تناظر یک به یک (نگاشت دو سویی)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟