سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع قدر مطلق (نمودار مجموع و تفاضل قدر مطلق دو جمله‌ ای درجه دوم)

آخرین ویرایش: 29 بهمن 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

رسم نمودار تابع $y = |x^{2} - a| + |x^{2} - b|; (0 < a < b)$

$\begin{array}{l} i f 0 < a < b \Rightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b} \Rightarrow - \sqrt{b} < - \sqrt{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} - a = 0 \Rightarrow x^{2} = a \Rightarrow x = \pm \sqrt{a} \end{array}$

$x^{2} - b = 0 \Rightarrow x^{2} = b \Rightarrow x = \pm \sqrt{b}$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} i f x \leq - \sqrt{b} \Rightarrow y = (x^{2} - a) + (x^{2} - b) \Rightarrow y = 2 x^{2} - (a + b) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f - \sqrt{b} \leq x \leq - \sqrt{a} \Rightarrow y = (x^{2} - a) + [- (x^{2} - b)] \Rightarrow y = b - a > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f - \sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a} \Rightarrow y = [- (x^{2} - a)] + [- (x^{2} - b)] \Rightarrow y = - 2 x^{2} + (a + b) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{b} \Rightarrow y = (x^{2} - a) + [- (x^{2} - b)] \Rightarrow y = b - a > 0 \end{array}$

$i f x \geq \sqrt{b} \Rightarrow y = (x^{2} - a) + (x^{2} - b) \Rightarrow y = 2 x^{2} - (a + b)$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

حل و بحث معادله $|x^{2} - a| + |x^{2} - b| = c$

اگر $c < |b - a|$ معادله جواب ندارد.
اگر $c = |b - a|$ معادله در فواصل $[\sqrt{a}, \sqrt{b}]$ و $[- \sqrt{b}, - \sqrt{a}]$ بی‌شمار جواب دارد.
اگر $|b - a| < c < a + b$ معادله چهار ریشه دارد که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{l} 2 x^{2} - (a + b) = c \Rightarrow 2 x^{2} = c + (a + b) \Rightarrow x^{2} = \frac{c + (a + b)}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{c + (a + b)}{2}} \end{array}$

$- 2 x^{2} + (a + b) = c \Rightarrow - 2 x^{2} = c - (a + b) \Rightarrow x^{2} = \frac{(a + b) - c}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{(a + b) - c}{2}}$

اگر $c = a + b$ معادله دو ریشه قرینه $x = \pm \sqrt{\frac{a + b + c}{2}}$ و یک ریشه مضاعف صفر دارد.
اگر $c > a + b$ معادله دو ریشه قرینه $x = \pm \sqrt{\frac{a + b + c}{2}}$ دارد.

ضمنا محور تقارن منحنی به‌معادله $x = \frac{\sqrt{a} + (- \sqrt{a})}{2} = 0$ می‌باشد.

رسم نمودار تابع $\{\begin{cases} y = |x^{2} + a| + |x^{2} - b| \\ y = |x^{2} - a| + |x^{2} + b| \end{cases}; (a, b > 0)$

در دو معادله فوق فقط یکی از قدرمطلق‌ها ریشه دارد. در معادله اول $x^{2} + a > 0$ و در معادله دوم $x^{2} + b > 0$ است.

به رسم معادله $y = |x^{2} - a| + |x^{2} + b|$ می‌پردازیم:

$\begin{array}{l} x^{2} + b > 0 \Rightarrow |x^{2} + b| = + (x^{2} + b) \end{array}$

$x^{2} - a = 0 \Rightarrow x^{2} = a \Rightarrow x = \pm \sqrt{a}$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} i f x \leq - \sqrt{a} \Rightarrow y = (x^{2} - a) + (x^{2} + b) \Rightarrow y = 2 x^{2} + (b - a) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f - \sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a} \Rightarrow y = [- (x^{2} - a)] + (x^{2} + b) \Rightarrow y = a + b \end{array}$

$i f x \geq \sqrt{a} \Rightarrow y = (x^{2} - a) + (x^{2} + b) \Rightarrow y = 2 x^{2} + (b - a)$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

حل و بحث معادله $|x^{2} - a| + |x^{2} + b| = c$

اگر $c < |a + b|$ باشد، معادله جواب ندارد.
اگر $c = |a + b|$ باشد، معادله در فاصله $[- \sqrt{a}, \sqrt{a}]$ بی‌شمار جواب دارد.
اگر $c > |a + b|$ باشد، معادله دو ریشه قرینه دارد که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{l} 2 x^{2} + (b - a) = c \Rightarrow 2 x^{2} = c - (b - a) \Rightarrow x^{2} = \frac{c - (b - a)}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{c - (b - a)}{2}} \end{array}$

رسم نمودار تابع $y = |x^{2} - a| - |x^{2} - b|; (0 < a < b)$

$\begin{array}{l} 0 < a < b \Rightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b} \Rightarrow - \sqrt{b} < - \sqrt{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} - a = 0 \Rightarrow x^{2} = a \Rightarrow x = \pm \sqrt{a} \end{array}$

$x^{2} - b = 0 \Rightarrow x^{2} = b \Rightarrow x = \pm \sqrt{b}$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} i f x \leq - \sqrt{b} \Rightarrow y = (x^{2} - a) - (x^{2} - b) \Rightarrow y = b - a > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f - \sqrt{b} \leq x \leq - \sqrt{a} \Rightarrow y = (x^{2} - a) - [- (x^{2} - b)] \Rightarrow y = 2 x^{2} - (a + b) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f - \sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a} \Rightarrow y = [- (x^{2} - a)] - [- (x^{2} - b)] \Rightarrow y = a - b < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{b} \Rightarrow y = (x^{2} - a) - [- (x^{2} - b)] \Rightarrow y = 2 x^{2} - (a + b) \end{array}$

$i f x \geq \sqrt{b} \Rightarrow y = (x^{2} - a) - (x^{2} - b) \Rightarrow y = b - a > 0$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

حل و بحث معادله $|x^{2} - a| - |x^{2} - b| = c; (0 < a < b)$

اگر $c > b - a$ باشد، معادله جواب ندارد.
اگر $c = b - a$ باشد، معادله در فاصله $[\sqrt{b}, + \infty)$ و $(- \infty, - \sqrt{b}]$ بی‌شمار جواب دارد.
اگر $a - b < c < b - a$ معادله دو ریشه قرینه دارد که به‌صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$2 x^{2} - (a + b) = c \Rightarrow 2 x^{2} = a + b + c \Rightarrow x^{2} = \frac{a + b + c}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{a + b + c}{2}}$

اگر $c = a - b$ باشد، معادله در فاصله $[- \sqrt{a}, \sqrt{a}]$ بی شمار جواب دارد.
اگر $c < a - b$ معادله جواب ندارد.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تابع قدر مطلق (نمودار مجموع و تفاضل قدر مطلق دو جمله‌ ای درجه دوم)

رسم نمودار تابع $y = |x^{2} - a| + |x^{2} - b|; (0 < a < b)$

حل و بحث معادله $|x^{2} - a| + |x^{2} - b| = c$

رسم نمودار تابع $\{\begin{cases} y = |x^{2} + a| + |x^{2} - b| \\ y = |x^{2} - a| + |x^{2} + b| \end{cases}; (a, b > 0)$

حل و بحث معادله $|x^{2} - a| + |x^{2} + b| = c$

رسم نمودار تابع $y = |x^{2} - a| - |x^{2} - b|; (0 < a < b)$

حل و بحث معادله $|x^{2} - a| - |x^{2} - b| = c; (0 < a < b)$

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

تابع

تابع قدر مطلق (نمودار مجموع و تفاضل قدر مطلق دو جمله‌ ای درجه دوم)

رسم نمودار تابع y=x2−a+x2−b ; 0<a<b

حل و بحث معادله x2−a+x2−b=c

رسم نمودار تابع y=x2+a+x2−by=x2−a+x2+b ; a,b>0

حل و بحث معادله x2−a+x2+b=c

رسم نمودار تابع y=x2−a−x2−b ; 0<a<b

حل و بحث معادله x2−a−x2−b=c ; 0<a<b

رسم نمودار تابع $y = |x^{2} - a| + |x^{2} - b|; (0 < a < b)$

حل و بحث معادله $|x^{2} - a| + |x^{2} - b| = c$

رسم نمودار تابع $\{\begin{cases} y = |x^{2} + a| + |x^{2} - b| \\ y = |x^{2} - a| + |x^{2} + b| \end{cases}; (a, b > 0)$

حل و بحث معادله $|x^{2} - a| + |x^{2} + b| = c$

رسم نمودار تابع $y = |x^{2} - a| - |x^{2} - b|; (0 < a < b)$

حل و بحث معادله $|x^{2} - a| - |x^{2} - b| = c; (0 < a < b)$