سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع قدر مطلق (نمودار مجموع و تفاضل قدر مطلق دو جمله‌ ای درجه اول)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 60 مرتبه

رسم نمودار تابع y=xa+xb  

نمودار این تابع از دو نیم خط به ضریب زاویه‌های m=±2 و یک پاره خط تشکیل شده است.

از نقاطی به طول a و b روی محور x ها به اندازه b-a بالا رفته و نمودار تابع را رسم می‌کنیم.

محور تقارن تابع، خط x=a+b2 است.

Rf=ba,+

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

تمرین

نمودار تابع زیر را رسم می‌کنیم:

fx=x+1+x1

x+1=0x=1x1=0x=1


رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

         if   x<1fx=x+1+x1=x1x+1=2x1x1fx=+x+1+x1=x+1x+1=2x>1fx=+x+1++x1=x+1+x1=2xfx=2x ; x>12 ; 1x12x ; x<1


رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

برد تابع به کمک نمودار به‌صورت زیر معلوم می‌شود:

Rf=2,+

تمرین

نمودار تابع زیر را رسم می‌کنیم:

y=x+1x

x=01x=0x=1


رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

if    x<0y=x++1x=x+1x=2x+10x1y=+x++1x=1x>1y=+x+1x=x1+x=2x1y=2x+1    ;    x<0  1                  ;    0x12x1       ;    x>1


رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

به‌ازای y=3 تعداد جواب‌های معادله x+1x=3 را به‌روش هندسی حل می‌کنیم: 

از روی شکل، معادله‌ فوق دو جواب دارد، یعنی دو منحنی y=3y=x+1x در دو نقطه هم‌دیگر را قطع کرده‌اند. 


رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

به‌ازای y=3 معادله x+1x=3 را به‌روش جبری حل می‌کنیم: 

x=01x=0x=1


رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

if  x<0x+1x=32x+1=32x=2x=1


جواب x=-1 قابل قبول است، زیرا در نامساوی x<0 صادق است.

if  0x1x+1x=31=3


تساوی فوق برقرار نیست و در این فاصله، معادله جواب ندارد.

x>1x1x=3x1+x=32x=4x=2


جواب x=2 قابل قبول است، زیرا در نامساوی x>1 صادق است.


جواب‌های دقیق معادله x=-1 , 2 می‌باشد.

حل و بحث معادله xa+xb=c

حالت اول: اگر c>0 باشد، به حل معادله xa+xb=c می‌پردازیم.

می‌دانیم منظور از حل معادله فوق یعنی تعیین نقاط تلاقی دو منحنی y=xa+xby=c نمودار دو تابع فوق به‌صورت زیر است:

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

x,yR    ;    x+yx+yxa+xb=xa+bxxa+bx=ba=ab

در نتیجه miny برابر است با a-b پس کافی است دو خط y=aby=c را با هم مقایسه کنیم:

  • اگر a-b>c باشد، خط y=c نمودار تابع y=xa+xb را قطع نمی‌کند، بنابراین معادله جواب ندارد.
  • اگر a-b=c باشد، خط y=c نمودار تابع y=xa+xb را در بی‌نهایت نقطه قطع می‌کند، بنابراین معادله دارای بی‌شمار جواب است. در این حالت اگر a<b باشد، این جواب‌ها در فاصله a,b می‌باشند و در این فاصله معادله تبدیل به اتحاد می‌شود.
  • اگر a-b<c باشد، خط y=c نمودار تابع y=xa+xb را در دو نقطه قطع می‌کند، بنابراین معادله دو جواب دارد و این جواب‌ها در فاصله ,ab,+ می‌باشد.

روابط بین دو ریشه به‌صورت x'+x''=a+bx'x''=c است و D=a+b+c2  ,  a+bc2 می‌باشد.

حالت دوم: اگر c=0 باشد، به حل معادله xa+xb=c می‌پردازیم.

معادله دو ریشه دارد که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

xa+xb=0xa=0x=axb=0x=b

حالت سوم: اگر c<0 باشد، به حل معادله xa+xb=c می‌پردازیم.

معادله غیر ممکن است، زیرا سمت راست معادله همواره مثبت و سمت چپ معادله همواره منفی است.

دریافت مثال

حل و بحث نامعادله xa+xb<c

برای تعیین تعداد جواب‌های نامعادله فوق به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

با توجه به نمودار دو تابع y=cy=xa+xb:

  • اگر ca-b آن‌گاه نامعادله جواب ندارد.
  • اگر c>a-b آن‌گاه تمام x هایی که به‌ازای آنها نمودار تابع زیر خط y=c می‌باشد، جواب نامعادله است.در این حالت محل تلاقی، خارج فاصله a,b است، لذا نقاط تلاقی برابرند با:

xa+xb=cx=a+b+c2ax+bx=cx=a+bc2D=a+bc2,a+b+c2

تمرین

نامعادله x+x15 را به روش جبری حل می‌کنیم: 

x=0x1=0x=1


رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

if  x<0x+x15xx+152x4x2


D1=,02,+=2,0


if  0x1+x+x15xx+1515


D2=0,1=0,1


نامساوی 15 همواره برقرار است.


if  x>1+x++x15x+x152x6x3


D3=1,+,3=1,3


جواب نامعادله در حالت کلی به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

D=D1D2D3=2,00,11,3=2,3

نامعادله x+x15 را به روش هندسی حل می‌کنیم: 

توابع y=x+x1y=5 را در یک دستگاه مختصات رسم می‌کنیم:


از روش جبری حل نامعادله فوق، به تابع چند ضابطه‌ای زیر رسیدیم:

y=x+x1=2x1;x>11;0x12x+1;x<0


رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

x+x15x2,3D=2,3

دریافت مثال

حل و بحث نامعادله xa+xb>c 

جواب نامعادله، فاصله زیر است:

D=,a+bc2a+b+c2,+

دریافت مثال

رسم نمودار تابع y=xa-xb 

نمودار این تابع شامل دو نیم خط افقی و یک پاره خط مایل به ضریب زاویه 2 یا -2 است.

مرکز تقارن این تابع نقطه ωa+b2,0 روی محور x هاست.   

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

اگر a<b باشد، از نقطه ای به طول a روی محور x ها به اندازه a-b پایین و از نقطه‌ای به طول b روی محور x ها به اندازه b-a بالا رفته و نمودار تابع را رسم می‌کنیم:

if      a<babybaRf=ab,ba

اگر a>b باشد، از نقطه‌ای به طول b روی محور x ها به اندازه a-b بالا و از نقطه‌ای به طول a روی محور x ها به اندازه b-a پایین رفته و نمودار تابع را رسم می‌کنیم:

if      a>bbayabRf=ba,ab

حل و بحث معادله xa+xb=c

برای تعیین تعداد جواب‌های معادله فوق به‌صورت زیر عمل می‌کنیم: ab

 جواب‌های این معادله، محل تلاقی دو تابع y=xaxby=c می‌باشد. نمودار معادله به یکی از دو صورت زیر است:

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

  • اگر c>ab یا c<ab باشد، خط y=c نمودار y=xaxb را قطع نمی‌کند، بنابراین معادله جواب ندارد.
  • اگر c=ab یا c=ab باشد، خط y=c نمودار y=xaxb را در بی‌نهایت نقطه قطع می‌کند، بنابراین معادله دارای بی‌شمار جواب است. خط y=c بر یکی از دو خط y=aby=ba منطبق شده و معادله بی‌شمار جواب دارد. این بی‌شمار جواب در یکی از فواصل b,+,,a یا a,+,,b است که با امتحان کردن یک نقطه، آن فاصله مشخص می‌شود.
  • اگر ab<c<ab باشد، خط y=c نمودار y=xaxb را در یک نقطه قطع می‌کند، بنابراین معادله یک جواب دارد که در فاصله a,b یا b,a است.    

if  a<bx=a+b+c2if  a>bx=a+bc2

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع قدرمطلق (نمودار مجموع و تفاضل قدرمطلق دو جمله‌ای درجه اول)

4,400تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید