سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع قدرمطلق (نمودار مجموع و تفاضل قدرمطلق دو جمله‌ ای درجه اول)

آخرین ویرایش: 05 دی 1400

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

رسم نمودار تابع $y = |x - a| + |x - b|$

نمودار این تابع از دو نیم خط به ضریب زاویه‌های $m = \pm 2$ و یک پاره خط تشکیل شده است.

از نقاطی به طول $a$ و $b$ روی محور $x$ ها به اندازه $|b - a|$ بالا رفته و نمودار تابع را رسم می‌کنیم.

محور تقارن تابع، خط $x = \frac{a + b}{2}$ است.

$R_{f} = [b - a, + \infty)$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

تمرین

نمودار تابع زیر را رسم می‌کنیم:

$f (x) = |x + 1| + |x - 1|$

$\{\begin{cases} x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \end{cases}$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} i f \{\begin{cases} x < - 1 \Rightarrow f (x) = - (x + 1) + [- (x - 1)] = - x - 1 - x + 1 = - 2 x \\ - 1 \leq x \leq 1 \Rightarrow f (x) = + (x + 1) + [- (x - 1)] = x + 1 - x + 1 = 2 \\ x > 1 \Rightarrow f (x) = + (x + 1) + [+ (x - 1)] = x + 1 + x - 1 = 2 x \end{cases} \\ f (x) = \{\begin{cases} 2 x; x > 1 \\ 2; - 1 \leq x \leq 1 \\ - 2 x; x < - 1 \end{cases} \end{array}$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

برد تابع به کمک نمودار به‌صورت زیر معلوم می‌شود:

$R_{f} = [2, + \infty)$

تمرین

نمودار تابع زیر را رسم می‌کنیم:

$y = |x| + |1 - x|$

$\{\begin{cases} x = 0 \\ 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1 \end{cases}$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} i f \{\begin{cases} x < 0 \Rightarrow y = - (x) + [+ (1 - x)] = - x + 1 - x = - 2 x + 1 \\ 0 \leq x \leq 1 \Rightarrow y = + (x) + [+ (1 - x)] = 1 \\ x > 1 \Rightarrow y = + (x) + [- (1 - x)] = x - 1 + x = 2 x - 1 \end{cases} \\ y = \{\begin{cases} - 2 x + 1; x < 0 \\ 1; 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x - 1; x > 1 \end{cases} \end{array}$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

به‌ازای $y = 3$ تعداد جواب‌های معادله $|x| + |1 - x| = 3$ را به‌روش هندسی حل می‌کنیم:

از روی شکل، معادله‌ فوق دو جواب دارد، یعنی دو منحنی $\{\begin{cases} y = 3 \\ y = |x| + |1 - x| \end{cases}$ در دو نقطه هم‌دیگر را قطع کرده‌اند.

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

به‌ازای $y = 3$ معادله $|x| + |1 - x| = 3$ را به‌روش جبری حل می‌کنیم:

$\{\begin{cases} x = 0 \\ 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1 \end{cases}$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} i f x < 0 \Rightarrow - (x) + (1 - x) = 3 \Rightarrow - 2 x + 1 = 3 \Rightarrow - 2 x = 2 \Rightarrow x = - 1 \end{array}$

جواب $x = - 1$ قابل قبول است، زیرا در نامساوی $x < 0$ صادق است.

$\begin{array}{l} i f 0 \leq x \leq 1 \Rightarrow (x) + (1 - x) = 3 \Rightarrow 1 = 3 \end{array}$

تساوی فوق برقرار نیست و در این فاصله، معادله جواب ندارد.

$\begin{array}{l} x > 1 \Rightarrow (x) - (1 - x) = 3 \Rightarrow x - 1 + x = 3 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2 \end{array}$

جواب $x = 2$ قابل قبول است، زیرا در نامساوی $x > 1$ صادق است.

جواب‌های دقیق معادله $x = - 1, 2$ می‌باشد.

حل و بحث معادله $|x - a| + |x - b| = c$

حالت اول: اگر $c > 0$ باشد، به حل معادله $|x - a| + |x - b| = c$ می‌پردازیم.

می‌دانیم منظور از حل معادله فوق یعنی تعیین نقاط تلاقی دو منحنی $\{\begin{cases} y = |x - a| + |x - b| \\ y = c \end{cases}$ نمودار دو تابع فوق به‌صورت زیر است:

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \forall x, y \in R; |x| + |y| \geq |x + y| \\ |x - a| + |x - b| = |x - a| + |b - x| \geq |(x - a) + (b - x)| = |b - a| = |a - b| \end{array}$

در نتیجه $m i n (y)$ برابر است با $|a - b|$ پس کافی است دو خط $\{\begin{cases} y = |a - b| \\ y = c \end{cases}$ را با هم مقایسه کنیم:

اگر $|a - b| > c$ باشد، خط $y = c$ نمودار تابع $y = |x - a| + |x - b|$ را قطع نمی‌کند، بنابراین معادله جواب ندارد.
اگر $|a - b| = c$ باشد، خط $y = c$ نمودار تابع $y = |x - a| + |x - b|$ را در بی‌نهایت نقطه قطع می‌کند، بنابراین معادله دارای بی‌شمار جواب است. در این حالت اگر $a < b$ باشد، این جواب‌ها در فاصله $[a, b]$ می‌باشند و در این فاصله معادله تبدیل به اتحاد می‌شود.
اگر $|a - b| < c$ باشد، خط $y = c$ نمودار تابع $y = |x - a| + |x - b|$ را در دو نقطه قطع می‌کند، بنابراین معادله دو جواب دارد و این جواب‌ها در فاصله $(- \infty, a) \cup (b, + \infty)$ می‌باشد.

روابط بین دو ریشه به‌صورت $\{\begin{cases} x^{'} + x^{''} = a + b \\ |x^{'} - x^{''}| = c \end{cases}$ است و $D = \{\frac{a + b + c}{2}, \frac{a + b - c}{2}\}$ می‌باشد.

حالت دوم: اگر $c = 0$ باشد، به حل معادله $|x - a| + |x - b| = c$ می‌پردازیم.

معادله دو ریشه دارد که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$|x - a| + |x - b| = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x - a = 0 \Rightarrow x = a \\ x - b = 0 \Rightarrow x = b \end{cases}$

حالت سوم: اگر $c < 0$ باشد، به حل معادله $|x - a| + |x - b| = c$ می‌پردازیم.

معادله غیر ممکن است، زیرا سمت راست معادله همواره مثبت و سمت چپ معادله همواره منفی است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حل و بحث نامعادله $|x - a| + |x - b| < c$

برای تعیین تعداد جواب‌های نامعادله فوق به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

با توجه به نمودار دو تابع $\{\begin{cases} y = c \\ y = |x - a| + |x - b| \end{cases}$ :

اگر $c \leq |a - b|$ آن‌گاه نامعادله جواب ندارد.
اگر $c > |a - b|$ آن‌گاه تمام $x$ هایی که به‌ازای آنها نمودار تابع زیر خط $y = c$ می‌باشد، جواب نامعادله است.در این حالت محل تلاقی، خارج فاصله $[a, b]$ است، لذا نقاط تلاقی برابرند با:

$\{\begin{cases} x - a + x - b = c \Rightarrow x = \frac{a + b + c}{2} \\ a - x + b - x = c \Rightarrow x = \frac{a + b - c}{2} \end{cases}〉 D = (\frac{a + b - c}{2}, \frac{a + b + c}{2})$

تمرین

نامعادله $|x| + |x - 1| \leq 5$ را به روش جبری حل می‌کنیم:

$\{\begin{cases} x = 0 \\ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \end{cases}$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} i f x < 0 \\ \Rightarrow - (x) + [- (x - 1)] \leq 5 \Rightarrow - x - x + 1 \leq 5 \Rightarrow - 2 x \leq 4 \Rightarrow x \geq - 2 \end{array}$

$D_{1} = (- \infty, 0) \cap [- 2, + \infty) = [- 2, 0)$

$\begin{array}{l} i f 0 \leq x \leq 1 \\ \Rightarrow + (x) + [- (x - 1)] \leq 5 \Rightarrow x - x + 1 \leq 5 \Rightarrow 1 \leq 5 \end{array}$

$D_{2} = [0, 1] \cap ℝ = [0, 1]$

نامساوی $(1 \leq 5)$ همواره برقرار است.

$\begin{array}{l} i f x > 1 \\ \Rightarrow + (x) + [+ (x - 1)] \leq 5 \Rightarrow x + x - 1 \leq 5 \Rightarrow 2 x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3 \end{array}$

$D_{3} = (1, + \infty) \cap (- \infty, 3] = (1, 3]$

جواب نامعادله در حالت کلی به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$D = D_{1} \cup D_{2} \cup D_{3} = [- 2, 0) \cup [0, 1] \cup (1, 3] = [- 2, 3]$

نامعادله $|x| + |x - 1| \leq 5$ را به روش هندسی حل می‌کنیم:

توابع $\{\begin{cases} y = |x| + |x - 1| \\ y = 5 \end{cases}$ را در یک دستگاه مختصات رسم می‌کنیم:

از روش جبری حل نامعادله فوق، به تابع چند ضابطه‌ای زیر رسیدیم:

$y = |x| + |x - 1| = \{\begin{cases} 2 x - 1; x > 1 \\ 1; 0 \leq x \leq 1 \\ - 2 x + 1; x < 0 \end{cases}$

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

$|x| + |x - 1| \leq 5 \Rightarrow x \in [- 2, 3] \Rightarrow D = [- 2, 3]$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حل و بحث نامعادله $|x - a| + |x - b| > c$

جواب نامعادله، فاصله زیر است:

$D = (- \infty, \frac{a + b - c}{2}) \cup (\frac{a + b + c}{2}, + \infty)$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

رسم نمودار تابع $y = |x - a| - |x - b|$

نمودار این تابع شامل دو نیم خط افقی و یک پاره خط مایل به ضریب زاویه $2$ یا $- 2$ است.

مرکز تقارن این تابع نقطه $ω (\frac{a + b}{2}, 0)$ روی محور $x$ هاست.

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

اگر $a < b$ باشد، از نقطه ای به طول $a$ روی محور $x$ ها به اندازه $a - b$ پایین و از نقطه‌ای به طول $b$ روی محور $x$ ها به اندازه $b - a$ بالا رفته و نمودار تابع را رسم می‌کنیم:

$i f a < b \Rightarrow a - b \leq y \leq b - a \Rightarrow R_{f} = [a - b, b - a]$

اگر $a > b$ باشد، از نقطه‌ای به طول $b$ روی محور $x$ ها به اندازه $a - b$ بالا و از نقطه‌ای به طول $a$ روی محور $x$ ها به اندازه $b - a$ پایین رفته و نمودار تابع را رسم می‌کنیم:

$i f a > b \Rightarrow b - a \leq y \leq a - b \Rightarrow R_{f} = [b - a, a - b]$

حل و بحث معادله $|x - a| + |x - b| = c$

برای تعیین تعداد جواب‌های معادله فوق به‌صورت زیر عمل می‌کنیم: $(a \neq b)$

جواب‌های این معادله، محل تلاقی دو تابع $\{\begin{cases} y = |x - a| - |x - b| \\ y = c \end{cases}$ می‌باشد. نمودار معادله به یکی از دو صورت زیر است:

رسم تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

اگر $c > |a - b|$ یا $c < - |a - b|$ باشد، خط $y = c$ نمودار $y = |x - a| - |x - b|$ را قطع نمی‌کند، بنابراین معادله جواب ندارد.
اگر $c = |a - b|$ یا $c = - |a - b|$ باشد، خط $y = c$ نمودار $y = |x - a| - |x - b|$ را در بی‌نهایت نقطه قطع می‌کند، بنابراین معادله دارای بی‌شمار جواب است. خط $y = c$ بر یکی از دو خط $\{\begin{cases} y = a - b \\ y = b - a \end{cases}$ منطبق شده و معادله بی‌شمار جواب دارد. این بی‌شمار جواب در یکی از فواصل $[b, + \infty), (- \infty, a]$ یا $[a, + \infty), (- \infty, b]$ است که با امتحان کردن یک نقطه، آن فاصله مشخص می‌شود.
اگر $- |a - b| < c < |a - b|$ باشد، خط $y = c$ نمودار $y = |x - a| - |x - b|$ را در یک نقطه قطع می‌کند، بنابراین معادله یک جواب دارد که در فاصله $(a, b)$ یا $(b, a)$ است.

$\{\begin{cases} i f a < b \Rightarrow x = \frac{a + b + c}{2} \\ i f a > b \Rightarrow x = \frac{a + b - c}{2} \end{cases}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

تابع قدرمطلق (نمودار مجموع و تفاضل قدرمطلق دو جمله‌ای درجه اول)

8,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تابع قدرمطلق (نمودار مجموع و تفاضل قدرمطلق دو جمله‌ ای درجه اول)

رسم نمودار تابع $y = |x - a| + |x - b|$

حل و بحث معادله $|x - a| + |x - b| = c$

حل و بحث نامعادله $|x - a| + |x - b| < c$

حل و بحث نامعادله $|x - a| + |x - b| > c$

رسم نمودار تابع $y = |x - a| - |x - b|$

حل و بحث معادله $|x - a| + |x - b| = c$

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

تابع

تابع قدرمطلق (نمودار مجموع و تفاضل قدرمطلق دو جمله‌ ای درجه اول)

رسم نمودار تابع y=x−a+x−b

حل و بحث معادله x−a+x−b=c

حل و بحث نامعادله x−a+x−b<c

حل و بحث نامعادله x−a+x−b>c

رسم نمودار تابع y=x−a-x−b

حل و بحث معادله x−a+x−b=c

رسم نمودار تابع $y = |x - a| + |x - b|$

حل و بحث معادله $|x - a| + |x - b| = c$

حل و بحث نامعادله $|x - a| + |x - b| < c$

حل و بحث نامعادله $|x - a| + |x - b| > c$

رسم نمودار تابع $y = |x - a| - |x - b|$

حل و بحث معادله $|x - a| + |x - b| = c$