سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع معکوس مثلثاتی (تانژانت)

آخرین ویرایش: 13 مهر 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:

تعریف تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

تابع زیر یک به یک در نتیجه معکوس پذیر است:

f:π2,π2Rfx=tanx

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

و معکوس آن را در این فاصله به tan1x یا Arctanx نشان داده و داریم:

f1:Rπ2,π2f1x=tan1x=Arctanx

Arctanx را آرک تانژانت بخوانید و به معنی کمان یا زاویه اصلی است که تانژانت آن برابر x می‌باشد.

رسم تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

برای رسم نمودار تابع زیر قرینه نمودار تابع fx=tanx را نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم رسم می‌کنیم:

f1x=Arctanx=tan1x

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

دامنه تابع f1x=Arctanx اعداد حقیقی R و برد آن بازه π2,π2 است. 

یادآوری

تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی تانژانت را در زیر مشاهده می‌کنید:

تابع معکوس مثلثاتی - پیمان گردلو

نکته

معکوس تابع fx=tanx را در فواصل دیگر، رسم می‌کنیم: 

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

معکوس تابع با ضابطه fx=tanx در فواصل دیگر تابع در هر یک از فواصل kππ2,kπ+π2 اکیدا صعودی و معکوس پذیر است.

در فاصله π2,3π2 معکوس تابع fx=tanx به‌صورت معادله y=π+Arctanx است. 

معکوس تابع با ضابطه fx=tanx در هر یک از فواصل kππ2,kπ+π2 به صورت معادله y=kπ+Arctanx است که در هر فاصله، معکوس آن با انتقال قائم به اندازه kπ از روی y=Arctanx به‌دست می‌آید. 

یکنوایی یا اکیدا یکنوایی تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

تابع f1x=Arctanx از R به روی π2,π2 اکیدا صعودی است، زیرا تابع fx=tanx از π2,π2 به روی R اکیدا صعودی و یک به یک است.

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

x1,x2Df=Rif  x1<x2Arctanx1<Arctanx2f1x1<f1x2

مجانب های تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

خطوط x=π2    ,  x=π2 مجانب‌های قائم تابع y=tanx در فاصله اصلی آن می‌باشند، در نتیجه خطوط y=π2    ,y=π2 مجانب‌های افقی تابع y=Arctanx می‌باشند: 

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

lim   x+Arctanx=π2limxArctanx=π2

بررسی زوج و فرد بودن تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

قضیه

تابع y=Arctanx تابعی فرد است.

اثبات

xRxR

Arctanx=yx=tanyx=tanyx=tanyy=ArctanxArctanx=ArctanxArctanx=Arctanx

ترکیب تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی تانژانت

برای ترکیب fx=tanx و f1x=Arctanx دو حالت زیر را در نظر می‌گیریم:

حالت اول:

fof1x=xff1x=xtanArctanx=x    ;     Dfof1=Df1=R

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

y=tanArctanx=x    ;    xR

حالت دوم:

f1ofx=xf1fx=xArctantanx=x   ;   Df1of=Df=π2,π2

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

y=Arctantanx=x     ;    π2<x<π2

نکته

می‌توانیم تابع y=Arctantanx را در حالت کلی بررسی کنیم: 

این تابع در R متناوب و دوره تناوب آن T=π است، لذا نمودار در فاصله π2,π2 است و مرتبا تکرار می‌شود. 

به‌طور کلی ضابطه تابع به‌صورت زیر است:

y=Arctantanx=xkπ    ;    kππ2<x<kπ+π2


تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

تذکر

برای محاسبه Arctantanα چنان tanα را ساده می‌کنیم تا زاویه در فاصله π2,π2 قرار گیرد.

تمرین

مقدار زیر را محاسبه کنید:

Arctantan8π3

=Arctantan3ππ3=Arctantanπ3=Arctantanπ3=π3   

برای ارسال نظر وارد سایت شوید