سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع معکوس مثلثاتی (تانژانت)

آخرین ویرایش: 01 اسفند 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

تابع زیر یک به یک در نتیجه معکوس پذیر است:

$\{\begin{cases} f : (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \to R \\ f (x) = \tan x \end{cases}$

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

و معکوس آن را در این فاصله به $\tan^{- 1} x$ یا $A r c \tan x$ نشان داده و داریم:

$\{\begin{cases} f^{- 1} : R \to (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \\ f^{- 1} (x) = \tan^{- 1} x = A r c \tan x \end{cases}$

$A r c \tan x$ را آرک تانژانت بخوانید و به معنی کمان یا زاویه اصلی است که تانژانت آن برابر $x$ می‌باشد.

رسم تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

برای رسم نمودار تابع زیر قرینه نمودار تابع $f (x) = \tan x$ را نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم رسم می‌کنیم:

$f^{- 1} (x) = A r c \tan x = \tan^{- 1} x$

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

دامنه تابع $f^{- 1} (x) = A r c \tan x$ اعداد حقیقی $R$ و برد آن بازه $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ است.

یادآوری

تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی تانژانت را در زیر مشاهده می‌کنید:

تابع معکوس مثلثاتی - پیمان گردلو

نکته

معکوس تابع $f (x) = \tan x$ را در فواصل دیگر، رسم می‌کنیم:

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

معکوس تابع با ضابطه $f (x) = \tan x$ در فواصل دیگر تابع در هر یک از فواصل $(k π - \frac{π}{2}, k π + \frac{π}{2})$ اکیدا صعودی و معکوس پذیر است.

در فاصله $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ معکوس تابع $f (x) = \tan x$ به‌صورت معادله $y = π + A r c \tan x$ است.

معکوس تابع با ضابطه $f (x) = \tan x$ در هر یک از فواصل $(k π - \frac{π}{2}, k π + \frac{π}{2})$ به صورت معادله $y = k π + A r c \tan x$ است که در هر فاصله، معکوس آن با انتقال قائم به اندازه $k π$ از روی $y = A r c \tan x$ به‌دست می‌آید.

یکنوایی یا اکیدا یکنوایی تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

تابع $f^{- 1} (x) = A r c \tan x$ از $R$ به روی $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ اکیدا صعودی است، زیرا تابع $f (x) = \tan x$ از $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ به روی $R$ اکیدا صعودی و یک به یک است.

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \forall x_{1}, x_{2} \in D_{f} = R \end{array}$

$i f x_{1} < x_{2} \Rightarrow A r c \tan x_{1} < A r c \tan x_{2} \Rightarrow f^{- 1} (x_{1}) < f^{- 1} (x_{2})$

مجانب های تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

خطوط $x = \frac{π}{2}, x = - \frac{π}{2}$ مجانب‌های قائم تابع $y = \tan x$ در فاصله اصلی آن می‌باشند، در نتیجه خطوط $y = \frac{π}{2}, y = - \frac{π}{2}$ مجانب‌های افقی تابع $y = A r c \tan x$ می‌باشند:

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} \lim_{x \to + \infty} A r c \tan x = \frac{π}{2} \\ \lim_{x \to - \infty} A r c \tan x = - \frac{π}{2} \end{cases}$

بررسی زوج و فرد بودن تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

قضیه

تابع $y = A r c \tan x$ تابعی فرد است.

اثبات

$\forall x \in R \Rightarrow - x \in R$

$\begin{array}{l} A r c \tan (- x) = y \\ \Rightarrow - x = \tan y \\ \Rightarrow x = - \tan y \\ \Rightarrow x = \tan (- y) \\ \Rightarrow - y = A r c \tan x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - A r c \tan (- x) = A r c \tan x \end{array}$

$\Rightarrow A r c \tan (- x) = - A r c \tan x$

ترکیب تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی تانژانت

برای ترکیب $f (x) = \tan x$ و $f^{- 1} (x) = A r c \tan x$ دو حالت زیر را در نظر می‌گیریم:

حالت اول

$\begin{array}{l} f o f^{- 1} (x) = x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (f^{- 1} (x)) = x \end{array}$

$\Rightarrow \tan (A r c \tan x) = x; D_{f o f^{- 1}} = D_{f^{- 1}} = R$

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

$y = \tan (A r c \tan x) = x; x \in R$

حالت دوم

$\begin{array}{l} f^{- 1} o f (x) = x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{- 1} (f (x)) = x \end{array}$

$\Rightarrow A r c \tan (\tan x) = x; D_{f^{- 1} o f} = D_{f} = (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

$y = A r c \tan (\tan x) = x; - \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$

نکته

می‌توانیم تابع $y = A r c \tan (\tan x)$ را در حالت کلی بررسی کنیم:

این تابع در $R$ متناوب و دوره تناوب آن $T = π$ است، لذا نمودار در فاصله $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ است و مرتبا تکرار می‌شود.

به‌طور کلی ضابطه تابع به‌صورت زیر است:

$y = A r c t a n \tan x = x - k π; k π - \frac{π}{2} < x < k π + \frac{π}{2}$

تابع معکوس مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

تذکر

برای محاسبه $A r c \tan (\tan α)$ چنان $\tan α$ را ساده می‌کنیم تا زاویه در فاصله $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ قرار گیرد.

تمرین

مقدار زیر را محاسبه کنید:

$A r c tantan \frac{8 π}{3}$

$\begin{array}{l} = A r c tantan (3 π - \frac{π}{3}) \\ = A r c \tan (- \tan \frac{π}{3}) \\ = - A r c tantan \frac{π}{3} \\ = - \frac{π}{3} \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تابع معکوس مثلثاتی (تانژانت)

تعریف تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

رسم تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

یکنوایی یا اکیدا یکنوایی تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

مجانب های تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

بررسی زوج و فرد بودن تابع معکوس مثلثاتی تانژانت

ترکیب تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی تانژانت

حالت اول

حالت دوم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟