تعریف تابع پوشا
در ابتدای مبحث تابع مشاهده کردیم که ممکن است در هم‌دامنه ( مجموعه انجام) از یک تابع، عضوی باشد که هیچ عضوی از دامنه به آن نظیر نشده باشد.
به بیان دیگر برد تابع با هم‌دامنه (مجموعه انجام) برابر نباشد، در این گونه توابع گوییم هم‌دامنه تابع به وسیله تابع پوشانده نشده است.
نمایش زوج مرتب تابع پوشا
اگر تابع به صورت زیر، مجموعه‌ای از حاصل ضرب دکارتی در به صورت زیر تعریف شده باشد:
این تابع وقتی پوشا می‌باشد که مجموعه مولفه‌های دوم زوج‌های مرتب که همان برد است با هم‌دامنه (یعنی مجموعه ) برابر باشند.
دریافت مثال
نمایش نمودار پیکانی تابع پوشا
اگر یک تابع به‌صورت نمودار پیکانی بیان شده باشد، این نمودار وقتی بیان‌گر یک تابع پوشا هست که هیچ عضوی از مجموعه دوم نتوان یافت که توسط عضوی از دامنه پوشیده نشده باشد.
به‌عبارت دیگر هر عضوی که از هم‌دامنه (مجموعه انجام یا مجموعه پایان یا مجموعه ) که در نظر گرفته شود، عضوی از دامنه به آن نظیر شده باشد، در این‌صورت تابع پوشاست.
تمرین
پوشا بودن توابع زیر را که به‌صورت نمودار پیکانی بیان شده است، بررسی می‌کنیم:
این تابع پوشا نیست.
توسط هیچ یک از اعضای پوشیده نشده است.
تابع پوشا است.
همه اعضای توسط عضوهای پوشیده شده است.
نمایش رابطه ریاضی تابع پوشا
تابع را پوشا گویند، هرگاه برد تابع یعنی با مجموعه دوم (مجموعه)
با توجه به تعریف توابع پوشا، برای بررسی این که آیا تابع پوشا هست یا نه، مستلزم این است که برد تابع را تعیین کرده و بررسی کنیم آیا این برد با مجموعه دوم برابری دارد یا خیر.
قدم اول
را بر حسب به‌دست می‌آوریم، یعنی .
قدم دوم
به بحث روی وجود به‌ازای های واقع در مجموعه دوم می‌پردازیم که نیاز است دو شرط زیر بررسی شود:
- به ازای هر در مجموعه دوم، همواره تعریف شده باشد.
- در دامنه تعریف باشد.
نقض هر یک از دو شرط بالا، پوشایی را نقض می‌کند.
تمرین
خاصيت پوشايی توابع زير را بررسی كنيد:
قدم اول)
قدم دوم)
شرط اول - به‌ازای هر همواره تعریف می‌شود.
شرط دوم - اين شرط برقرار نيست:
تابع پوشا نیست.
دریافت مثال
نمایش نمودار هندسی تابع پوشا
فرض کنیم نمودار تابع موجود باشد، برای فهمیدن این‌که آیا این نمودار، بیان‌گر پوشا بودن تابع هست یا نه، کافی است:
از هر نقطه واقع بر محور ها که ضمنا عضو مجموعه می‌باشد، خطی به موازات محور رسم کنیم، بایستی خط، نمودار را حداقل در یک نقطه قطع کند.
به عبارت دیگر:
تابع از به پوشا است اگر و فقط اگر هر خط نمودار تابع را حداقل در یک نقطه قطع کند.
دریافت مثال
بررسی پوشا بودن تابع چند ضابطه ای
تابع اگر تابعی چند ضابطه‌ای باشد، در صورتی پوشا است که:
برد هر ضابطه را جداگانه به‌دست آورده و اجتماع این بردها را محاسبه می‌کنیم، اگر اجتماع بردها با مجموعه دوم برابر باشد، تابع پوشا است، در غیر این صورت پوشا نیست.
دریافت مثال
