سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع علامت

آخرین ویرایش: 29 بهمن 1402
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف تابع علامت

تابع f: R→Z با ضابطه زیر  را تابع علامت می‌نامیم:

fx=sgnx=    1 ;x>0   0 ;x=0−1 ;x<0

نمودار هندسی این تابع به‌صورت زیر است:

تابع علامت - پیمان گردلو

دامنه و برد تابع علامت به‌صورت زیر می‌باشد:

Df=RRf=−1,0,1

تذکر

تابع با ضابطه fx=x را می‌توان برحسب تابع علامت به‌صورت زیر نوشت:

fx=x=x ​sgn ​x=    x    ;x>0    0     ;x=0−x    ;x<0

تمرین

تابع علامت Sx=    1       ;x>0   0      ;x=0−1      ;x<0  مفروض است، مقادیر زیر را محاسبه می‌کنیم: 

S−5

−5<0⇒S−5=−1

S6

6>0⇒S6=1

Sx2−Sx

if  x>0⇒ Sx=1 Sx2=1 Sx2−Sx=1−1=0


if   x<0⇒x2>0⇒ Sx=−1 Sx2=1 Sx2−Sx=1−−1=2 


if  x=0⇒x2=0⇒ Sx=0 Sx2=0 Sx2−Sx=0−0=0


Sx2−Sx=0        ;x≥0 2       ;x<0


تابع علامت - پیمان گردلو

رسم  sgnfx از روی fx

فرض کنیم f:A→R تابعی حقیقی باشد.

تابع sgn f:A→R از روی تابع علامت:

sgnx=   1       ;x>0   0      ;x=0−1      ;x<0

به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

sgnfx=   1      ;fx>0   0     ;fx=0−1     ;fx<0

sgnfx=fxfx     ;     fx≠0       0          ;      fx=0

از این تعریف، می‌توانیم نمودار sgnfx را از روی نمودار fx به سادگی رسم کنیم. ابتدا نمودار تابع fx را رسم کرده: 

  • تمام نمودار fx را که بالای محور x ها واقع است، روی خط y=1 تصویر می‌کنیم.
  • تمام نمودار fx را که زیر محور x ها واقع است، روی خط y=-1 تصویر می‌کنیم. 
  • هر نقطه از نمودار fx را که روی محور x ها واقع است، روی خود آن تصویر می‌کنیم.

به این ترتیب نمودار sgnfx رسم می‌شود.

تمرین

توابع زیر را رسم می‌کنیم:

fx=sgnx2−1

تابع علامت - پیمان گردلو

fx=sgn cosx

تابع علامت - پیمان گردلو

fx=x3sgnx2−1

sgnfx=   1      ;fx>0   0     ;fx=0−1     ;fx<0

sgn x2−1=   1      ;x2−1>0   0     ;x2−1=0−1     ;x2−1<0 

sgn x2−1=   1      ;  x>1 ,    x<−1    0     ;   x=1,−1−1     ;  −1< x<1

fx=x3sgn x2−1 =   x3     ;  x>1 ,    x<−1    0     ;    x=1,−1−x3     ;  −1< x<1


تابع علامت - پیمان گردلو

fx=xsgnx2−4 

sgnfx=   1      ;fx>0   0     ;fx=0−1     ;fx<0

sgn x2−4=   1      ;x2−4>0   0     ;x2−4=0−1     ;x2−4<0 

sgn x2−4=   1      ;  x>2  ,  x<−2   0     ;   x=2,−2−1     ;  −2< x<2

fx=xsgn x2−4=   x      ;  x>2  ,  x<−2   0         ;   x=2,−2−x     ;  −2< x<2


تابع علامت - پیمان گردلو

fx=xsgnsinπx    ;    x∈ −3,3

sgn sinπx=  1       ;sinπx>0        ;      k∈Z  0      ;sinπx=0−1     ;sinπx<0

sgn sinπx=  1       ;2kπ<πx<2kπ+π        ;      k∈Z  0      ;πx=kπ−1     ;2kπ−π<πx<2kπ

sgn sinπx=  1       ;2k<x<2k+1        ;      k∈Z  0      ;x=k−1     ;2k−1<x<2k

fx=x sgn sinπx=x      ;2k<x<2k+1        ;      k∈Z0      ;x=k−x   ;2k−1<x<2k


تابع علامت - پیمان گردلو

برای ارسال نظر وارد سایت شوید