سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع ماکزیمم و تابع مینیمم

آخرین ویرایش: 29 بهمن 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف تابع ماکزیمم و مینیمم

فرض کنیم $f : A \to R$ و $g : B \to R$ توابعی حقیقی باشند، به طوری که $A \cap B \neq \emptyset$ .

توابع $\{\begin{cases} M a x \{f, g\} : A \cap B \to R \\ M i n \{f, g\} : A \cap B \to R \end{cases}$ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$\begin{array}{l} M a x \{f, g\} (x) = M a x \{f (x), g (x)\} = \frac{f (x) + g (x)}{2} + \frac{|f (x) - g (x)|}{2} \end{array}$

$M i n \{f, g\} (x) = M i n \{f (x), g (x)\} = \frac{f (x) + g (x)}{2} - \frac{|f (x) - g (x)|}{2}$

تمرین

$M a x \{f, g\} (x)$ و $M i n \{f, g\} (x)$ توابع زیر رسم می‌کنیم:

$\{\begin{cases} f : [0, + \infty) \to R \\ f (x) = 1 - x^{2} \end{cases}, \{\begin{cases} g : [0, + \infty) \to R \\ g (x) = x^{3} \end{cases}$

ابتدا نمودارهای $f (x) = 1 - x^{2}$ و $g (x) = x^{3}$ را در دامنه‌شان رسم می‌کنیم، سپـس $M a x$ و $M i n$ را با توجه به شکل، مشخص می‌کنیم:

تابع ماکزیمم ومینیمم - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} f (x) = \sin x \\ g (x) = \cos x \end{cases}; x \in [0, 2 π]$

تابع ماکزیمم ومینیمم - پیمان گردلو

نکته

1- مجموع ماکزیمم و مینیمم دو تابع به‌صورت زیر محاسبه می‌شود.

$\begin{array}{l} M a x \{f, g\} (x) + M i n \{f, g\} (x) \end{array}$

$\begin{array}{l} = [\frac{f (x) + g (x)}{2} + \frac{|f (x) - g (x)|}{2}] + [\frac{f (x) + g (x)}{2} - \frac{|f (x) - g (x)|}{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 [\frac{f (x) + g (x)}{2}] \end{array}$

$= f (x) + g (x)$

2- ماکزیمم و مینیمم بین دو مقدار حقیقی $a$ و b چنین تعریف می‌شوند:

$\{\begin{cases} M a x \{a, b\} = \frac{a + b}{2} + \frac{|a - b|}{2} \\ \min \{a, b\} = \frac{a + b}{2} - \frac{|a - b|}{2} \end{cases}$

اگر $a > b$ باشد، آن‌گاه ماکزیمم بین این دو عدد، مقدار $a$ و مینیمم بین این دو عدد، مقدار $b$ است. حال ببینیم آیا با تعریف‌های بالا هم به چنین نتایجی می‌رسیم؟

$i f a > b \Rightarrow a - b > 0 \Rightarrow |a - b| = a - b$

$\begin{array}{l} M a x \{a, b\} = \frac{a + b}{2} + \frac{a - b}{2} = \frac{2 a}{2} = a \end{array}$

$\min \{a, b\} = \frac{a + b}{2} - \frac{a - b}{2} = \frac{2 b}{2} = b$

اگر $a < b$ باشد، آن‌گاه ماکزیمم بین این دو عدد، مقدار $b$ و مینیمم بین این دو عدد، مقدار $a$ است.

$i f a < b \Rightarrow a - b < 0 \Rightarrow |a - b| = - (a - b)$

$\begin{array}{l} M a x \{a, b\} = \frac{a + b}{2} + \frac{- (a - b)}{2} = \frac{2 b}{2} = b \end{array}$

$\min \{a, b\} = \frac{a + b}{2} - \frac{- (a - b)}{2} = \frac{2 a}{2} = a$

تمرین

معادلات زیر را حل می‌کنیم:

$M a x \{3 x, 2 - x\} = 3$

$\begin{array}{l} i f M a x \{3 x, 2 - x\} = 3 \Rightarrow \frac{3 x + 2 - x}{2} + \frac{|3 x - 2 + x|}{2} = 3 \Rightarrow x + 1 + |2 x - 1| = 3 (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x \geq \frac{1}{2} \Rightarrow 2 x - 1 > 0 \Rightarrow |2 x - 1| = 2 x - 1 \overset{(1)}{\to} x + 1 + (2 x - 1) = 3 \Rightarrow x = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x < \frac{1}{2} \Rightarrow 2 x - 1 < 0 \Rightarrow |2 x - 1| = 1 - 2 x \overset{(1)}{\to} x + 1 + (1 - 2 x) = 3 \Rightarrow x = - 1 \end{array}$

امتحان می‌کنیم:

$i f x = 1 \Rightarrow M a x \{3, 1\} = \frac{3 + 1}{2} + \frac{|3 - 1|}{2} = 2 + 1 = 3$

$M a x \{3 x, x + 4\} + M i n \{2 x, - 2 x + 4\} = 8$

$\begin{array}{l} [\frac{3 x + x + 4}{2} + \frac{|3 x - x - 4|}{2}] + [\frac{2 x - 2 x + 4}{2} - \frac{|2 x + 2 x - 4|}{2}] = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x + 2 + |x - 2| + 2 - 2 |x - 1| = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x + 2 + |x - 2| - 2 |x - 1| = 6 \end{array}$

عبارات داخل نماد قدرمطلق را تعیین علامت می‌کنیم:

تابع ماکزیمم ومینیمم - پیمان گردلو

$x \leq 1 \Rightarrow \{\begin{matrix} x - 2 < 0 \Rightarrow |x - 2| = - (x - 2) \\ x - 1 < 0 \Rightarrow |x - 1| = - (x - 1) \end{matrix}$

در این فاصله، معادله به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$2 x + 2 - (x - 2) + 2 (x - 1) = 6 \Rightarrow 3 x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \notin (- \infty, 1]$

چون $x = \frac{4}{3}$ درفاصله $(- \infty, 1]$ قرار ندارد، پس قابل قبول نیست.

$1 < x \leq 2 \Rightarrow \{\begin{matrix} x - 2 < 0 \Rightarrow |x - 2| = - (x - 2) \\ x - 1 > 0 \Rightarrow |x - 1| = x - 1 \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$

در این فاصله، معادله به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$2 x + 2 - (x - 2) - 2 (x - 1) = 6 \Rightarrow - x = 0 \Rightarrow x = 0 \notin (1, 2]$

پس $x = 0$ هم قابل قبول نیست.

$x > 2 \Rightarrow \{\begin{matrix} x - 2 > 0 \Rightarrow |x - 2| = x - 2 \\ x - 1 > 0 \Rightarrow |x - 1| = x - 1 \begin{array}{l} \end{array} \end{matrix}$

در این فاصله، معادله به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$2 x + 2 + (x - 2) - 2 (x - 1) = 6 \Rightarrow x = 4 \in (2, + \infty)$

پس $x = 4$ جواب معادله است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تابع ماکزیمم و تابع مینیمم

تعریف تابع ماکزیمم و مینیمم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟