سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع ماکزیمم و تابع مینیمم

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 46 مرتبه

تعریف تابع ماکزیمم و مینیمم

فرض کنیم f:AR و g:BR توابعی حقیقی باشند، به طوری که AB.

توابع Maxf,g:ABRMinf,g:ABR را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

Maxf,gx=Maxfx,gx=fx+gx2+fxgx2Minf,gx=Minfx,gx=fx+gx2fxgx2

تمرین

Maxf,gx و Minf,gx توابع زیر رسم می‌کنیم:  

f:0,+Rfx=1x2   ,   g:0,+Rgx=x3

ابتدا نمودارهای fx=1x2 و gx=x3 را در دامنه‌شان رسم می‌کنیم، سپـس Max و Min را با توجه به شکل، مشخص می‌کنیم:

 تابع ماکزیمم ومینیمم - پیمان گردلو

fx=sinxgx=cosx    ;    x0,2π

تابع ماکزیمم ومینیمم - پیمان گردلو

نکته

1- مجموع ماکزیمم و مینیمم دو تابع به‌صورت زیر محاسبه می‌شود.

Maxf,gx+Minf,gx=fx+gx2+fxgx2+fx+gx2fxgx2=2fx+gx2=fx+gx

2- ماکزیمم و مینیمم بین دو مقدار حقیقی a و b چنین تعریف می‌شوند:

Maxa,b=a+b2+ab2mina,b=a+b2ab2

اگر a>b باشد، آن‌گاه ماکزیمم بین این دو عدد، مقدار a و مینیمم بین این دو عدد، مقدار b است. حال ببینیم آیا با تعریف‌های بالا هم به چنین نتایجی می‌رسیم؟

ifa>bab>0ab=abMaxa,b=a+b2+ab2=2a2=amina,b=a+b2ab2=2b2=b

اگر a<b باشد، آن‌گاه ماکزیمم بین این دو عدد، مقدار b و مینیمم بین این دو عدد، مقدار a است.

ifa<bab<0ab=abMaxa,b=a+b2+ab2=2b2=bmina,b=a+b2ab2=2a2=a

تمرین

معادلات زیر را حل می‌کنیم:

Max3x,2x=3

if  Max3x,2x=33x+2x2+3x2+x2=3x+1+2x1=3    1if  x122x1>02x1=2x11x+1+2x1=3x=1if    x<122x1<02x1=12x1x+1+12x=3x=1


امتحان می‌کنیم:

if  x=1Max3,1=3+12+312=2+1=3

Max3x,x+4+Min2x,2x+4=8

3x+x+42+3xx42+2x2x+422x+2x42=82x+2+x2+22x1=2x+2+x22x1=6


عبارات داخل نماد قدرمطلق را تعیین علامت می‌کنیم:

تابع ماکزیمم ومینیمم - پیمان گردلو

x1x2<0x2=x2x1<0x1=x1


در این فاصله، معادله به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

2x+2x2+2x1=63x=4x=43,1


چون x=43 درفاصله ,1 قرار ندارد، پس قابل قبول نیست.

1<x2x2<0x2=x2x1>0x1=x1


در این فاصله، معادله به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

2x+2x22x1=6x=0x=01,2


پس x=0 هم قابل قبول نیست.

x>2x2>0x2=x2x1>0x1=x1


در این فاصله، معادله به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

2x+2+x22x1=6x=42,+


پس x=4 جواب معادله است. 

برای ارسال نظر وارد سایت شوید