سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع چند جمله‌ ای (خطی)

آخرین ویرایش: 04 مرداد 1403

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

هر تابع چندجمله ای را به‌صورت زیر نمایش می‌دهیم:

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$

که در آن $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}, a_{n}$ ضرایب چندجمله ای و متعلق به اعداد حقیقی است.
توان $n$ یک عدد صحیح نامنفی است.
$f (x)$ را با شرط $a_{n} \neq 0$ ، یک تابع چندجمله‌ ای از درجه $n$ می‌نامیم.

توابع زیر نمونه‌ای از توابع چند جمله‌ای به ترتیب از درجه $5, 3, 2, 1$ هستند.

$\begin{matrix} y = 3 x^{1} + 5 \end{matrix}$

$y = - 8 x^{2} + 2 x - \frac{1}{2} \sqrt{2}$

$y = x^{3} + \frac{3}{4} x$

$y = 2 x^{5} - 4 x^{3} + \sqrt{7} x^{2}$

انواع توابع چند جمله‌ای که در ادامه با آنها آشنا خواهیم شد، به‌صورت زیر است:

تابع چند جمله ای خطی - پیمان گردلو

تذکر

ویژه علاقه مندان به ریاضی

در ریاضی، برخی از توابع چند جمله ای با نام های زیر مورد استفاده قرار می‌گیرند.

تمرین

در زیر، چند تابع چند جمله‌ای نوشته شده‌اند.

درجه هرکدام را مشخص کنید.

$f (x) = 2 x - 3$

$f$ از درجه $(1)$ است.

$h (x) = x^{3} + x - 4$

$h$ از درجه $(3)$ است.

$n (x) = 2 x - x^{4}$

$n$ از درجه $(4)$ است.

$g (x) = {(x - 1)}^{2} + 3$

$g$ از درجه $(2)$ است.

$m (x) = 5$

$m$ از درجه $(0)$ است.

$p (x) = x^{2} {(1 - x)}^{3}$

$p$ از درجه $(5)$ است.

یادآوری

قبل از مطالعه مبحث تابع خطی، به مرور مطالب زیر بپردازید:

1- معادلات خط

2- طول و عرض از مبدا

3- شیب خط (ضریب زاویه)

4- معادله خط با داشتن دو نقطه

5- معادله خط با یک نقطه و شیب خط

6- شرط موازی بودن دو خط

7- شرط عمود بودن دو خط

تعریف تابع خطی

هر تابعی را که بتوان به‌شکل زیر نمایش داد، یک تابع خطی می‌نامیم.

$f (x) = a x + b$

تمرین

معادله‌ ای برای هر یک از توابع خطی داده شده با جدول‌های زیر می‌نویسیم:

رابطه ای بین $x$ ها و $y$ به‌دست می‌آوریم تا نهایتا معادله‌ ای برای تابع خطی فوق به‌دست آوریم:

$\begin{matrix} 1 = 3 (0) + 1 \\ 4 = 3 (1) + 1 \\ 7 = 3 (2) + 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} 10 = 3 (3) + 1 \\ 13 = 3 (4) + 1 \\ 16 = 3 (5) + 1 \end{matrix}$

با توجه به الگوی فوق، معادله این تابع خطی به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

$y = 3 x + 1$

رابطه ای بین $x$ ها و $y$ به‌دست می‌آوریم تا نهایتا معادله‌ ای برای تابع خطی فوق به‌دست آوریم:

$\begin{matrix} 6 = - (2) + 8 \\ 4 = - (4) + 8 \\ 2 = - (6) + 8 \end{matrix}$

$\begin{matrix} 0 = - (8) + 8 \\ - 2 = - (10) + 8 \\ - 4 = - (12) + 8 \end{matrix}$

با توجه به الگوی فوق، معادله این تابع خطی به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

$y = - x + 8$

نکته

اگر ضابطه $f (x)$ در دست باشد، برای محاسبه $f (p)$ ، کافی است $p$ را به جای $x$ در ضابطه جایگزین کنیم.

تمرین

اگر $f (x) = 2 x - 3$ یک تابع خطی باشد، مقادیر زیر را به‌دست آورید:

$f (0)$

$f (0) = 2 (0) - 3 = - 3$

$f (1)$

$f (1) = 2 (1) - 3 = - 1$

$f (\frac{3}{2})$

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3}{2}) - 3 = 0$

$f (2 x)$

$f (2 x) = 2 (2 x) - 3 = 4 x - 3$

$f (a)$

$f (a) = 2 (a) - 3 = 2 a - 3$

$f (x + 1)$

$f (x + 1) = 2 (x + 1) - 3 = (2 x + 2) - 3 = 2 x - 1$

تمرین

با توجه به توابع خطی داده شده در جدول زیر، نمودار آنها را رسم می‌کنیم:

تابع چند جمله ای خطی - پیمان گردلو

تمرین

نمودار هندسی تابع زیر را با توجه به دامنه‌اش رسم می‌کنیم و از روی شکل، برد آن را مشخص می‌کنیم:

$h (x) = 4 x + 1; D_{h} = R$

برای رسم نمودار این تابع خطی، کافی است مختصات دو نقطه را داشته باشیم:

$\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow h (0) = 4 (0) + 1 \Rightarrow h (0) = 1; A (0, 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} x = - 1 \Rightarrow h (- 1) = 4 (- 1) + 1 \Rightarrow h (- 1) = - 3; B (- 1, - 3) \end{array}$

تابع چند جمله ای خطی - پیمان گردلو

اگر تابعی به‌صورت نمودار هندسی بیان شده باشد، آن‌گاه:

برای یافتن برد تابع کافی است نمودار رسم شده را روی محور y ها تصویر نماییم، هر قسمت از محور y ها که توسط عمل تصویر پوشیده شود را برد معرفی می‌نماییم.

$h (x) = 4 x + 1; R_{h} = R$

تمرین

اگر تابع زیر یک تابع خطی باشد:

$f = \{(1, m + 2), (0, m), (2, 2)\}$

مقدار $m$ را محاسبه کنید.

صورت کلی هر تابع خطی به شکل زیر می‌باشد:

$d : y = a x + b$

تابع $f$ به‌صورت مجموعه ای از زوج های مرتب بیان شده است و هر زوج مرتب را می‌توان یک نقطه در دستگاه مختصات دکارتی در نظر گرفت.

اگر یک نقطه متعلق به تابع خطی باشد، مختصات آن در معادله خط صادق است:

$\begin{array}{l} (1, m + 2) \in d; m + 2 = a (1) + b \Rightarrow a + b = m + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} (0, m) \in d; m = a (0) + b \Rightarrow b = m \end{array}$

$\begin{array}{l} (2, 2) \in d; 2 = a (2) + b \Rightarrow 2 a + b = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} a + b = m + 2 \overset{b = m}{\to} a + (m) = m + 2 \Rightarrow a = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 a + b = 2 \overset{a = 2}{\to} 2 (2) + b = 2 \\ \Rightarrow b = - 2 \overset{b = m}{\to} m = - 2 \end{array}$

تمرین

$f$ تابعی خطی است که نمودار آن از نقاط زیر می‌گذرد:

$(1, 3), (- 1, 1)$

مساحت مثلثی که نمودار تابع $f$ با محورهای مختصات ایجاد می‌کند، چقدر است؟

صورت کلی هر تابع خطی به شکل زیر می‌باشد:

$d : y = a x + b$

نمودار تابع از نقاط مفروض می‌گذرد، بنابراین مختصات آن نقاط در تابع خطی صدق می‌کند:

$\begin{array}{l} (1, 3) \in d; 3 = a (1) + b \Rightarrow a + b = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} (- 1, 1) \in d; 1 = a (- 1) + b \Rightarrow - a + b = 1 \end{array}$

از حل دستگاه زیر مقدار $b$ را محاسبه می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a + b = 3 \\ - a + b = 1 \end{cases}〉 2 b = 4 \Rightarrow b = 2 \\ a + b = 3 \overset{b = 2}{\to} a + 2 = 3 \Rightarrow a = 1 \\ y = a x + b \overset{\{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases}}{\to} y = x + 2 \end{array}$

معادله خط $y = x + 2$ را رسم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} i f x = 0 \overset{y = x + 2}{\to} y = 2; A (0, 2) \\ i f y = 0 \overset{y = x + 2}{\to} x = - 2; B (- 2, 0) \end{array}$

$S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} (2) (2) = 2$

تمرین

نمودار تابع خطی $f$ به‌صورت زیر است:

مقدار $f (1)$ را به‌دست آورید.

روش اول) فرمول کلی یک تابع خطی به شکل زیر است:

$d : y = a x + b$

نمودار تابع از نقاط مفروض می‌گذرد.

بنابراین مختصات آن نقاط در تابع خطی صدق می‌کند، در این صورت مانند تمرینات قبلی می‌توانیم مجهولات را محاسبه کنیم.

روش دوم) معادله خطی را می‌نویسیم که از دو نقطه بگذرد.

فرض کنیم $A (3, 0)$ و $B (0, 1)$ می‌باشد:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y - y_{A} = m_{A B} (x - x_{A}) \\ m_{A B} = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} = \frac{0 - 1}{3 - 0} = - \frac{1}{3} \end{cases} \\ y - y_{A} = m_{A B} (x - x_{A}) \\ y - 0 = - \frac{1}{3} (x - 3) \\ \Rightarrow y = - \frac{1}{3} x + 1; y = f (x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = - \frac{1}{3} x + 1; x = 1 \\ \Rightarrow f (1) = - \frac{1}{3} (1) + 1 \\ \Rightarrow f (1) = \frac{2}{3} \end{array}$

تمرین

در مورد تابع خطی $f$ می‌دانیم:

$\{\begin{cases} f (- 1) = - 1 \\ f (2) = 5 \end{cases}$

این تابع محور طول ها را در نقطه ای با چه طولی قطع می‌کند؟

$\{\begin{cases} f (- 1) = - 1; A (- 1, - 1) \in d \\ f (2) = 5; A (2, 5) \in d \end{cases}$

معادله خطی را می‌نویسیم که از دو فوق نقطه بگذرد:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y - y_{A} = m_{A B} (x - x_{A}) \\ m_{A B} = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} = \frac{- 1 - 5}{- 1 - 2} = \frac{- 6}{- 3} = 2 \end{cases} \end{array}$

$y - 5 = 2 (x - 2) \Rightarrow y = 2 x - 4 + 5 \Rightarrow y = 2 x + 1$

اگر این معادله خط، محور طول ها را قطع کند، یعنی عرض آن نقطه صفر است:

$\{\begin{cases} y = 2 x + 1 \\ y = 0 \end{cases}〉 0 = 2 x + 1 \Rightarrow 2 x = - 1 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$

تمرین

$f$ تابعی خطی است که از نقاط زیر می‌گذرد:

$A (3, 1), B (2, - 1)$

معادله خط را بنویسید.

برای نوشتن معادله یک خط با داشتن مختصات دو نقطه از آن خط، داریم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y - y_{A} = m_{A B} (x - x_{A}) \\ m_{A B} = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} \end{cases} \end{array}$

اما می‌خواهیم تمرین را با روش دیگری حل کنیم:

صورت کلی هر تابع خطی به شکل زیر است:

$d : y = a x + b$

چون این تابع خطی از دو نقطه مفروض می‌گذرد، بنابراین مختصات این دو نقطه در تابع خطی صادق است:

$\begin{array}{l} A (3, 1) \in d; 1 = a (3) + b \Rightarrow 3 a + b = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} B (2, - 1) \in d; - 1 = a (2) + b \Rightarrow 2 a + b = - 1 \end{array}$

دستگاه دو معادله دو مجهول زیر را حل می‌کنیم:

$\{\begin{cases} 3 a + b = 1 \\ 2 a + b = - 1 \end{cases}〉 \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 5 \end{cases}〉 y = 2 x - 5 \Rightarrow f (x) = 2 x - 5$

تمرین

در یک تابع خطی داریم:

$\{\begin{cases} f (- 1) = - 5 \\ f (2) = 1 \end{cases}$

اگر $f (t) = 47$ باشد، مقدار $t$ را به‌دست آورید.

صورت کلی هر تابع خطی به شکل زیر است:

$d : y = a x + b$

چون این تابع خطی از دو نقطه مفروض می‌گذرد، بنابراین مختصات این دو نقطه در تابع خطی صادق است:

$\begin{array}{l} f (- 1) = - 5; - 5 = a (- 1) + b \Rightarrow - a + b = - 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} f (2) = 1; 1 = a (2) + b \Rightarrow 2 a + b = 1 \\ \{\begin{cases} - a + b = - 5 \\ 2 a + b = 1 \end{cases}〉 \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 3 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} y = 2 x - 3 \\ \Rightarrow f (x) = 2 x - 3; x \to t \\ \Rightarrow f (t) = 2 t - 3; f (t) = 47 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 47 = 2 t - 3 \\ \Rightarrow 2 t = 50 \\ \Rightarrow t = 25 \end{array}$

تمرین

اگر $f$ یک تابع خطی باشد به‌طوری که داشته باشیم:

$f (- 3) = 12 + f (- 1)$

شیب خط را به‌دست آورید.

یادآوری)

اگر $B (x_{B}, y_{B}), A (x_{A}, y_{A})$ دو نقطه از یک خط باشند، شیب خط به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$m_{A B} = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} = \frac{f (x_{A}) - f (x_{B})}{x_{A} - x_{B}}$

$\begin{array}{l} f (- 3) = 12 + f (- 1) \\ \Rightarrow f (- 3) - f (- 1) = 12 \\ \Rightarrow m_{A B} = \frac{f (x_{A}) - f (x_{B})}{x_{A} - x_{B}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m_{A B} = \frac{f (- 3) - f (- 1)}{- 3 - (- 1)}; f (- 3) - f (- 1) = 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m_{A B} = \frac{12}{- 2} \\ \Rightarrow m_{A B} = - 6 \end{array}$

تمرین

اگر $f (x)$ یک تابع خطی و داشته باشیم:

$\{\begin{cases} f (3) = f (- 3) + 4 \\ f (2) = 1 \end{cases}$

تابع $f$ محور $y$ ها را با چه عرضی قطع می‌کند؟

$f (3) = f (- 3) + 4 \Rightarrow f (3) - f (- 3) = 4$

$\begin{array}{l} m_{A B} = \frac{f (x_{A}) - f (x_{B})}{x_{A} - x_{B}} \\ \Rightarrow m_{A B} = \frac{f (3) - f (- 3)}{3 - (- 3)} \\ \Rightarrow m_{A B} = \frac{4}{6} \\ \Rightarrow m_{A B} = \frac{2}{3} \end{array}$

صورت کلی هر تابع خطی به شکل زیر است:

$\begin{array}{l} y = a x + b; m_{A B} = a = \frac{2}{3} \\ \Rightarrow y = \frac{2}{3} x + b; f (2) = 1 \\ \Rightarrow 1 = \frac{2}{3} (2) + b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow b = 1 - \frac{4}{3} \\ \Rightarrow b = - \frac{1}{3} \\ y = \frac{2}{3} x - \frac{1}{3} \end{array}$

اگر تابع خطی فوق، محور $y$ ها را قطع کند، یعنی $x = 0$ است:

$y = \frac{2}{3} (0) - \frac{1}{3} \Rightarrow y = - \frac{1}{3}$

تمرین

تساوی زیر برقرار است:

$f (x) = 2 x - f (1)$

$f (- 1)$ را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} f (x) = 2 x - f (1); i f x = 1 \\ \Rightarrow f (1) = 2 (1) - f (1) \\ \Rightarrow 2 f (1) = 2 \\ \Rightarrow f (1) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x) = 2 x - f (1); f (1) = 1 \\ \Rightarrow f (x) = 2 x - 1; x = - 1 \\ \Rightarrow f (- 1) = 2 (- 1) - 1 \\ \Rightarrow f (- 1) = - 3 \end{array}$

تمرین

تابع زیر مفروض است:

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

اگر تابع فوق یک تابع خطی گذرا از مبدا باشد، نشان دهید تساوی زیر برقرار است:

$c^{2} + b^{2} = 0$

تابع فوق خطی است و از مبدا مختصات می‌گذرد:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) = k x \\ f (x) = \frac{a x + b}{c x + d} \end{cases} \\ \frac{a x + b}{c x + d} = k x \Rightarrow \{\begin{cases} c = 0 \\ b = 0 \\ a \in R \\ d \in R - \{0\} \end{cases} \\ c^{2} + b^{2} = 0 \end{array}$

تمرین

اگر $f$ تابعی خطی باشد به‌صورتی که رابطه زیر برقرار باشد:

$f (x - 1) + f (x + 2) = x$

$f (2)$ را محاسبه کنید.

اگر $f$ تابع خطی باشد، داریم:

$\begin{array}{l} f (x) = a x + b \\ f (x - 1) + f (x + 2) = x \\ \Rightarrow [a (x - 1) + b] + [a (x + 2) + b] = x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x - a + b + a x + 2 a + b = x \\ \Rightarrow 2 a x + a + 2 b = x \\ \Rightarrow 2 a x + a + 2 b - x = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (2 a - 1) x + (a + 2 b) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} 2 a - 1 = 0 \\ a + 2 b = 0 \end{cases}〉 \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = - \frac{1}{4} \end{cases} \end{array}$

معادله خط به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$\begin{array}{l} f (x) = a x + b \\ \Rightarrow f (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4}; x = 2 \\ \Rightarrow f (2) = \frac{1}{2} (2) - \frac{1}{4} \\ \Rightarrow f (2) = \frac{3}{4} \end{array}$

تمرین

در یک تابع خطی داریم:

$\{\begin{cases} f (x) + f (- x) = - 12 \\ f (4) = - 2 f (1) \end{cases}$

$f (10)$ را محاسبه کنید.

اگر $f$ تابع خطی باشد، داریم:

$\begin{array}{l} f (x) = a x + b \\ f (x) + f (- x) = - 12 \\ \Rightarrow (a x + b) + [a (- x) + b] = - 12 \\ \Rightarrow a x + b - a x + b = - 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 b = - 12 \\ \Rightarrow b = - 6; f (x) = a x + b \\ \Rightarrow f (x) = a x - 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} f (4) = - 2 f (1); f (x) = a x - 6 \\ \Rightarrow a (4) - 6 = - 2 [a (1) - 6] \\ \Rightarrow 4 a - 6 = - 2 a + 12 \\ \Rightarrow 6 a = 18 \\ \Rightarrow a = 3 \end{array}$

معادله خط به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$f (x) = 3 x - 6 \overset{x = 10}{\to} f (10) = 3 (10) - 6 = 24$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 4 a x + c}{b - x}; x \neq b \\ 1; x = b \end{cases}$

اگر نمودار تابع فوق به‌صورت زیر باشد، حاصل $\frac{a + b}{c}$ کدام گزینه است؟

$\frac{7}{4}$
$\frac{5}{4}$
$\frac{7}{8}$
$\frac{5}{8}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

تابع چند جمله‌ای (خطی)

6,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تابع چند جمله‌ ای (خطی)

مقدمه

تعریف تابع خطی

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟