سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع پوشا (نکات)

آخرین ویرایش: 01 اسفند 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

بررسی خاصیت پوشایی برای توابع $\{\begin{cases} f : R^{n} \to R^{m} \\ f : R^{n} \to R^{n} \end{cases}$

کلیات بررسی خاصیت پوشایی در توابع از $R^{2}$ به $R^{2}$ هیچ‌گونه فرقی با توابع از $R$ به $R$ نداشته و فقط جزئیات آن کمی اختلاف دارد.

عضوی که از مجموعه دوم به صورت دل‌خواه در نظر می‌گیریم، چون از $R^{2}$ انتخاب شده است، باید یک زوج مرتب مثلا به شکل $(x_{1}, y_{1})$ باشد.

این عضو را مساوی با ضابطه تابع که آن هم به صورت زوج مرتب خواهد بود، قرار می‌دهیم و به یک دستگاه معادلات برخورد می‌کنیم که باید از این دستگاه $x$ را بر حسب $x_{1}$ و $y$ را بر حسب $y_{1}$ به‌دست آورده و هر دو شرط ذکر شده در ابتدای درس را برای هر ضابطه بررسی کنیم.

تمرین

خاصیت پوشا بودن را در توابع زیر بررسی می‌کنیم:

$\{\begin{matrix} f : R^{2} \to R^{2} \\ f (x, y) = (2 x - 1, 3 y + 2) \end{matrix}$

فرض کنیم $(x_{1}, y_{1}) \in R^{2}$ باشد:

$\forall (x_{1}, y_{1}) \in R^{2}$

$\begin{matrix} \Rightarrow (x_{1}, y_{1}) = (2 x - 1, 3 y + 2) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x_{1} = 2 x - 1 \Rightarrow x = \frac{x_{1} + 1}{2} \\ y_{1} = 3 y + 2 \Rightarrow y = \frac{y_{1} - 2}{3} \end{matrix} \end{matrix}$

شرط اول: به‌ازای هر $x_{1} \in R$ همواره $x$ تعریف شده است و به ازای هر $y_{1} \in R$ همواره $y$ تعریف شده است.

شرط دوم: به‌ازای $x \in R, \forall x_{1} \in R$ و به ازای $y \in R, \forall y_{1} \in R$ هست پس $f$ پوشا است.

$\{\begin{matrix} f : R^{2} \to R^{2} \\ f (x, y) = (2 x + y, x - 3 y) \end{matrix}$

$\forall (x_{1}, y_{1}) \in R^{2}$

$\begin{matrix} \Rightarrow (x_{1}, y_{1}) = (2 x + y, x - 3 y) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \begin{matrix} 3 \times \end{matrix} \{\begin{matrix} x_{1} = 2 x + y \\ y_{1} = x - 3 y \end{matrix}〉 \{\begin{matrix} 3 x_{1} = 6 x + 3 y \\ y_{1} = x - 3 y \end{matrix} \end{matrix}$

طرفین دستگاه را با هم جمع می‌کنیم:

$3 x_{1} + y_{1} = 7 x \Rightarrow x = \frac{y_{1} + 3 x_{1}}{7}$

چون برای هر $y_{1}, x_{1}$ همواره $y, x$ تعریف شده و زوج مرتب $(x, y)$ در $D_{f} = R^{2}$ قرار دارد، بنابراین تابع پوشا است.

$\{\begin{matrix} f : R^{2} \to R^{2} \begin{matrix} \end{matrix} \\ f (x, y) = (\frac{x - 1}{2 x + 1}, y + 5) \end{matrix}$

$\forall (x_{1}, y_{1}) \in R^{2}$

$\begin{matrix} \Rightarrow (x_{1}, y_{1}) = (\frac{x - 1}{2 x + 1}, y + 5) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x_{1} = \frac{x - 1}{2 x + 1} \\ y_{1} = y + 5 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x = \frac{- x - 1}{2 x_{1} - 1} \\ y = y_{1} - 5 \end{matrix} \end{matrix}$

به‌ازای هر $y_{1} \in R$ همواره $y \in R$ تعریف شده است اما برای هر $x$ مقداری برای $x_{1}$ تعریف نشده است.

مثلا به‌ازای $x_{1} = \frac{1}{2}$ مقداری برای $x$ تعریف نمی‌شود $(x = \frac{- \frac{1}{2} - 1}{0})$ بنابراین شرط اول برقرار نیست، یعنی تابع پوشا نیست.

$\{\begin{matrix} f : Z^{2} \to R^{2} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \\ f (x, y) = (2 x - 1, 3 y + 2) \end{matrix}$

$\forall (x_{1}, y_{1}) \in R^{2}$

$\begin{matrix} \Rightarrow (x_{1}, y_{1}) = (2 x - 1, 3 y + 2) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} = 2 x - 1 \\ y_{1} = 3 y + 2 \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x = \frac{x_{1} + 1}{2} \\ y = \frac{y_{1} - 2}{3} \end{matrix} \end{matrix}$

واضح است که برای هر $y_{1}, x_{1}$ همواره $y, x$ تعریف شده است (شرط اول) اما ممکن است در دامنه تعریف تابع یعنی $Z^{2}$ نباشد.

مثلا اگر $y_{1} = 1, x_{1} = 2$ باشد، $y = - \frac{1}{3}, x = \frac{3}{2}$ یعنی زوج مرتب $(\frac{3}{2}, - \frac{1}{3}) \notin Z^{2}$ پس تابع پوشا نیست.

قضایای توابع پوشا

قضیه

اگر $f : A \to B$ و $g : B \to C$ پوششی باشند، آن‌گاه $g o f$ نیز پوششی است.

اثبات

چون $g$ پوششی است، به‌ازای هر $z \in C$ عضوی مانند $y \in B$ هست به‌طوری‌که $z = g (y)$ .

چون $f$ پوششی است، عضوی از $A$ مانند $x$ هست که $y = f (x)$ در نتیجه به‌ازای هر $z$ از $C$ عضوی مانند $x$ از $A$ هست که:

$(g o f) (x) = g (f (x)) = g (y) = z$

تمرین

اگر $\{\begin{cases} A = \{a, b, c, d, e\} \\ B = \{m, n, p, r\} \\ C = \{1, 2, 3\} \end{cases}$ باشد، و فرض کنیم $f : A \to B$ و $g : B \to C$ به‌صورت زیر تعریف شوند:

$\begin{array}{l} f = \{(a, m), (b, n), (c, p), (d, r), (e, n)\} \\ g = \{(m, 1), (n, 2), (p, 3), (r, 2)\} \end{array}$

نشان دهید $g o f$ پوششی است.

f و g هر دو پوششی می‌باشند، یعنی:

$\{\begin{cases} R_{f} = B \\ R_{g} = C \end{cases}$

اگر تابع $g o f$ را تشکیل دهیم، مشاهده می‌کنیم که تابعی از $A$ به روی $C$ می‌باشد.

$\begin{array}{l} g o f (x) = (g o f) (x) \\ \{\begin{cases} a \overset{f}{\to} m \overset{g}{\to} 1 \\ b \overset{f}{\to} n \overset{g}{\to} 2 \\ c \overset{f}{\to} p \overset{g}{\to} 3 \\ d \overset{f}{\to} r \overset{g}{\to} 2 \\ e \overset{f}{\to} n \overset{g}{\to} 2 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} g o f (x) = \{(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2), (e, 2)\} \end{array}$

قضیه

اگر $f : A \to B$ و $g : B \to C$ و $g o f : A \to C$ اگر $g o f$ پوشا باشد، آن‌گاه $g$ پوشا است.

اثبات

اگر $z \in C$ باشد، چون $g o f$ پوشا است، عضوی از $A$ مانند $x$ هست که $g (f (x)) = (g o f) (x) = z$ .

اگر فرض کنیم $y = f (x)$ باشد، آن‌گاه $y \in B$ و $g (y) = z$ یعنی $g$ پوشا است.

نکته

اگر $f : A \to B$ و $g : B \to C$ باشد، و $g$ پوشا نباشد، آن‌گاه $g o f$ نیز پوشا نمی‌باشد.

در هر دو قضیه $R_{f} = D_{g}$ است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تابع پوشا (نکات)

بررسی خاصیت پوشایی برای توابع $\{\begin{cases} f : R^{n} \to R^{m} \\ f : R^{n} \to R^{n} \end{cases}$

قضایای توابع پوشا

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

تابع

تابع پوشا (نکات)

بررسی خاصیت پوشایی برای توابع f:Rn→Rmf:Rn→Rn

قضایای توابع پوشا

بررسی خاصیت پوشایی برای توابع $\{\begin{cases} f : R^{n} \to R^{m} \\ f : R^{n} \to R^{n} \end{cases}$