سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع پوشا (نکات)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 46 مرتبه

نکات توابع پوشا

1- بررسی خاصیت پوشایی برای توابع f:RnRmf:RnRn

کلیات بررسی خاصیت پوشایی در توابع از R2 به R2 هیچ‌گونه فرقی با توابع از R به R نداشته و فقط جزئیات آن کمی اختلاف دارد.

عضوی که از مجموعه دوم به صورت دل‌خواه در نظر می‌گیریم، چون از R2 انتخاب شده است، باید یک زوج مرتب مثلا به شکل x1,y1 باشد.

این عضو را مساوی با ضابطه تابع که آن هم به صورت زوج مرتب خواهد بود، قرار می‌دهیم و به یک دستگاه معادلات برخورد می‌کنیم که باید از این دستگاه x را بر حسب x1 و y را بر حسب y1 بدست آورده و هر دو شرط ذکر شده در ابتدای درس را برای هر ضابطه بررسی کنیم.  

تمرین

خاصیت پوشا بودن را در توابع زیر بررسی می‌کنیم:

f:R2R2                         fx,y=2x1,3y+2

فرض کنیم x1,y1R2 باشد:

x1,y1R2x1,y1=2x1,3y+2x1=2x1x=x1+12y1=3y+2y=y123


شرط اول: به‌ازای هر x1R همواره x تعریف شده است و به ازای هر y1R همواره y تعریف شده است. 


شرط دوم: به‌ازای xR,x1R و به ازای yR,y1R هست پس f پوشا است.     

f:R2R2                            fx,y=2x+y,  x3y

x1,y1R2x1,y1=2x+y,x3y3×x1=2x+yy1=x3y3x1=6x+3yy1=x3y


طرفین دستگاه را با هم جمع می‌کنیم:

3x1+y1=7xx=y1+3x17


چون برای هر y1,x1 همواره y,x تعریف شده و زوج مرتب x,y در Df=R2 قرار دارد، بنابراین تابع پوشا است. 

f:R2R2fx,y=x12x+1   ,y+5

x1,y1R2x1,y1=x12x+1  ,  y+5x1=x12x+1y1=y+5x=x12x11y=y15


به‌ازای هر y1R همواره yR تعریف شده است اما برای هر x مقداری برای x1 تعریف نشده است.


مثلا به‌ازای x1=12 مقداری برای x تعریف نمی‌شود x=1210 بنابراین شرط اول برقرار نیست، یعنی تابع پوشا نیست.

f:Z2R2fx,y=2x1,3y+2

x1,y1R2x1,y1=2x1   ,  3y+2x1=2x1y1=3y+2x=x1+12y=y123


واضح است که برای هر y1  ,x1 همواره y,x تعریف شده است (شرط اول) اما ممکن است در دامنه تعریف تابع یعنی Z2 نباشد.


مثلا اگر y1=1  ,  x1=2 باشد، y=13  ,x=32 یعنی زوج مرتب 32,13Z2 پس تابع پوشا نیست. 

قضایای توابع پوشا

قضیه

اگر f:AB و g:BC پوششی باشند، آن‌گاه gof نیز پوششی است.

اثبات

چون g پوششی است، به‌ازای هر zC عضوی مانند yB هست به‌طوری‌که z=gy و چون f پوششی است، عضوی از A مانند x هست که y=fx در نتیجه به‌ازای هر z از C عضوی مانند x از A هست که: 

gofx=gfx=gy=z

تمرین

اگر A=a,b,c,d,eB=m,n,p,rC=1,2,3 باشد، و فرض کنیم f:AB و g:BC به‌صورت زیر تعریف شوند:

f=a,m,b,n,c,p,d,r,e,ng=m,1,n,2,p,3,r,2

نشان دهید gof پوششی است.

f و g هر دو پوششی می‌باشند، یعنی:

Rf=BRg=C


اگر تابع gof را تشکیل دهیم، مشاهده می‌کنیم که تابعی از A به روی C می‌باشد.


gofx=gofxaf   m   g1bf   n    g2cf   p    g3df   r    g2ef   n    g2gofx=a,1,b,2,c,3,d,2,e,2

قضیه

اگر f:AB و g:BC و gof:AC اگر gof پوشا باشد، آن‌گاه g پوشا است. 

اثبات

اگر zC باشد، چون gof پوشا است، عضوی از A مانند x هست که gfx=gofx=z.    

اگر فرض کنیم y=fx باشد، آن‌گاه yB و gy=z یعنیg پوشا است.

نکته

اگر f:AB و g:BC باشد، و g پوشا نباشد، آن‌گاه gof نیز پوشا نمی‌باشد.  

در هر دو قضیه Rf=Dg است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید