سرفصل‌های این مبحث

تابع

تبدیل نمودار تابع (عکس تابع)

آخرین ویرایش: 01 اسفند 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

رسم تابع $\frac{1}{f (x)}$ از روی $f (x)$

مقدمه

در نمونه زیر، مشاهده می‌کنیم اگر تابع $f$ اکیدا صعودی باشد، آن‌گاه $\frac{1}{f}$ اکیدا نزولی است:

$\begin{array}{l} f = \{(0, 1), (1, 2), (3, 4), (5, 8)\} \end{array}$

$\frac{1}{f} = \{(0, 1), (1, \frac{1}{2}), (3, \frac{1}{4}), (5, \frac{1}{8})\}$

در تابع زیر با وجود این‌که تابع $f$ اکیدا صعودی می‌باشد، اما $\frac{1}{f}$ یکنوا نمی‌باشد:

$\begin{array}{l} f = \{(0, - 2), (1, - 1), (2, 4), (3, 5), (4, 7)\} \end{array}$

$\frac{1}{f} = \{(0, - \frac{1}{2}), (1, - 1), (2, \frac{1}{4}), (3, \frac{1}{5}), (4, \frac{1}{7})\}$

اختلاف اساسی این دو نمونه در مثبت و منفی بودن $y$ ها می‌باشد.

تعریف

تابع $f : A \to R$ مفروض است، داریم:

$g (x) = (\frac{1}{f}) (x) = \frac{1}{f (x)}; d o m (\frac{1}{f}) = d o m (f) - \{x |f (x) = 0\}$

1- $\frac{1}{f}$ را به صورت $f^{- 1}$ نمی‌نویسیم زیرا این نماد را برای تابع معکوس به كار می‌بریم.

2- اگر $a$ هر عددی حقیقی مثبت یا منفی باشد، $\frac{1}{a}$ هم مثبت یا منفی است، پس اگر در فاصله‌ای نمودار $f$ بالا (یا پایین) محور $x$ ها باشد، نمودار $\frac{1}{f}$ هم بالا (یا پایین) محور $x$ ها واقع است.

قضیه

اگر $f$ روی بازه $[a, b]$ صعودی ( اكیدا صعودی) و مثبت باشد، آنگاه $\frac{1}{f}$ روی بازه $[a, b]$ (اكیدا نزولی ) و مثبت است.

اثبات

$\begin{array}{l} \forall x_{1}, x_{2} \in [a, b] \end{array}$

$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2}) \Rightarrow \frac{1}{f (x_{1})} > \frac{1}{f (x_{2})} \Rightarrow g (x_{1}) > g (x_{2})$

3- از نظر تغییرات افزایشی یا كاهشی، این دو تابع بر خلاف هم عمل می‌كنند، مگر در حالتی كه $f (x) = 1$ یا $f (x) = - 1$ باشد.

4- از نظر علامت (مثبت و منفی بودن)، این دو تابع هم‌علامت هستند، اگر $f$ مثبت باشد، $\frac{1}{f}$ مثبت، به‌همین ترتیب اگر $f$ مثبت باشد، $\frac{1}{f}$ مثبت است.

5- برای رسم $\frac{1}{f (x)}$ از روی $f (x)$ :

$i f f (x) \to \pm \infty \Rightarrow \frac{1}{f (x)} \to 0; D_{\frac{1}{f}} = D_{f} - \{x| f (x) = 0\}$

خط $y = 0$ مجانب افقی است، ضمنا داریم:

$i f \lim_{x \to a} f (x) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{1}{f (x)} = \{\begin{cases} + \infty; f (x) > 0 \\ - \infty; f (x) < 0 \end{cases}$

تمرین

توابع $\{\begin{cases} f (x) = x \\ \frac{1}{f (x)} = \frac{1}{x} \end{cases}$ را رسم می‌کنیم:

$i f f (x) \to \pm \infty \Rightarrow \frac{1}{f (x)} \to 0$

6- برای رسم $\frac{1}{f (x)}$ از روی $f (x)$ :

اگر تابع $f$ از از نقاط به عرض $1$ و $- 1$ بگذرد، حتما $\frac{1}{f}$ نیز از نقاط به‌همین عرض خواهد گذشت:

$f (x) = \frac{1}{f (x)} \Rightarrow f^{2} (x) = 1 \Rightarrow f (x) = \pm 1$

اگر نمودار $f$ و $\frac{1}{f}$ همدیگر را در نقاطی قطع کنند، این نقاط به عرض های $1$ و $- 1$ می‌باشد.

تمرین

توابع $\{\begin{cases} f (x) = x \\ \frac{1}{f (x)} = \frac{1}{x} \end{cases}$ را رسم می‌کنیم:

7- برای رسم $\frac{1}{f (x)}$ از روی $f (x)$ :

در هر نقطه که تابع max و min داشته باشد و مقدار آن مخالف صفر باشد، تابع $\frac{1}{f}$ در آن نقطه max و min دارد.

تمرین

توابع $\{\begin{cases} f (x) = x^{2} + 1 \\ \frac{1}{f (x)} = \frac{1}{x^{2} + 1} \end{cases}$ را رسم می‌کنیم:

مجانب افقی:

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^{2} + 1} = 0 \Rightarrow y = 0$

8- برای رسم $\frac{1}{f (x)}$ از روی $f (x)$ ، باید عرض هر نقطه از $f (x)$ را معکوس کنیم.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تبدیل نمودار تابع (عکس تابع)

رسم تابع $\frac{1}{f (x)}$ از روی $f (x)$

مقدمه

تعریف

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

تابع

تبدیل نمودار تابع (عکس تابع)

رسم تابع 1fx از روی fx

مقدمه

تعریف

رسم تابع $\frac{1}{f (x)}$ از روی $f (x)$