سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع مثلثاتی (سینوس)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 51 مرتبه

رسم تابع مثلثاتی سینوس

حالت اول: تابع fx=sinx را در بازه 0,2π رسم می‌کنیم:

تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

sinπ2=1sin5π6=sin(ππ6)=sinπ6=12sinx=0x=πsin7π6=sin(π+π6)=sinπ6=12sin11π6=sin(2ππ6)=sinπ6=12sin2π=0

تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

نکته

رابطه بین دایره مثلثاتی و دستگاه مختصات تابع مثلثاتی fx=sinx 

تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

حالت دوم: تابعfx=sinxرا در بازه-2π,0رسم می‌کنیم:

تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

اکیدا یکنوایی تابع مثلثاتی سینوس

حالت اول: برای بررسی یکنوایی و اکیدا یکنوایی، تابع fx=sinx را در بازه 0,2π رسم می‌کنیم: 

تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

  • وقتی که x از 0 تا π2 افزایش می‌یابد، مقدار y=sinx از 0 تا 1 افزایش می‌یابد. (اکیدا صعودی)
  • وقتی که x از π2 تا π افزایش می‌یابد، مقدار y=sinx از 1 تا 0 کاهش می‌یابد. (اکیدا نزولی
  • وقتی که x از π تا 3π2 افزایش می‌یابد، مقدار y=sinx از 0 تا -1 کاهش می‌یابد. (اکیدا نزولی)
  • وقتی که x از 3π2 تا 2π افزایش می‌یابد، مقدار y=sinx از -1 تا 0 افزایش می‌یابد. (اکیدا صعودی)

حالت دوم: برای بررسی یکنوایی و اکیدا یکنوایی، تابع fx=sinx را در بازه -2πو0 رسم می‌کنیم: 

تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

  • وقتی که x از 0 تا -π2 کاهش می‌یابد، مقدار y=sinx از 0 تا -1 کاهش می‌یابد. (اکیدا صعودی)
  • وقتی که x از -π2 تا -π کاهش می‌یابد، مقدار y=sinx از -1 تا 0 افزایش می‌یابد. (اکیدا نزولی
  • وقتی که x از -π تا -3π2 کاهش می‌یابد، مقدار y=sinx از 0 تا 1 افزایش می‌یابد. (اکیدا نزولی)
  • وقتی که x از -3π2 تا -2π کاهش می‌یابد، مقدار y=sinx از 1 تا 0 کاهش می‌یابد. (اکیدا صعودی)

یک به یکی و معکوس پذیری تابع مثلثاتی سینوس

تابع fx=sinx در دامنه‌اش یک به یک نیست، بنابراین در دامنه خود معکوس پذیر نیست.

اگر دامنه این تابع را محدود کنیم، فواصلی وجود دارند که این تابع در آنها معکوس پذیر می‌باشد، یعنی تحدیدهایی از این تابع  وجود دارد که هر یک از آنها یک به یک می‌باشند، در زیر آنها را بررسی می‌کنیم.  

اگر نموار تابع fx=sinx را که دامنه آن R و برد آن -1و1 درنظر بگیریم، این تابع در R یک به یک نیست.

تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو  

اما مشاهده می‌کنیم که اگر تابع در هر یک از فواصل π2,3π2 و π2,π2 و ....در نظر گرفته شود، یک به یک است.

قضیه

تابع مثلثاتی fx=sinx در فاصله π2,π2 یک به یک است.   

اثبات

x1,x2π2,π2if  fx1=fx2sinx1=sinx2x1=2kπ+x2x1x2=2kπx1=2kπ+πx2x1+x2=2kπ+π

اگر π2x1,x2π2 باشد، لذا جواب دوم قابل قبول نیست و جواب اول وقتی برقرار است که k=0 باشد.

if    x1x2=2kπ    ;    k=0x1x2=0x1=x2

 طبق قرارداد، فاصله π2,π2 را برای تابع fx=sinx فاصله اصلی، تعریف می‌کنیم.

تعریف: تابع f:π2,π21,1fx=sinx در فاصله اصلی π2,π2 یک به یک است، در نتیجه معکوس پذیر است.   

تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

بررسی زوج و فرد بودن تابع مثلثاتی سینوس

تابع مثلثاتی fx=sinx در دامنه تعریفش یعنی R تابعی فرد است و مبدا مختصات، مرکز تقارن این تابع است.

  تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

xRxRfx=sinx=sinx=fx

بررسی دوره‌ تناوب تابع مثلثاتی سینوس

دوره‌ تناوب تابع مثلثاتی سینوس، فاصله‌ای است که منحنی fx=sinx مجددا تکرار می‌شود.

با دقت به نمودار تابع مثلثاتی سینوس در شکل زیر، مشاهده می‌شود که نمودار در بازه‌هایی به طول .....,  6π,  4π,  2π تکرار می‌شود.

تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

اما کوچک‌ترین بازه‌ای که نمودار این تابع در آن تکرار شده است، همان 2π است که به‌عنوان دوره‌ تناوب شکل فوق معرفی می‌شود. 

 تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع fx=a.sinx 

1- می‌دانیم دوره تناوب تابع fx=sinx برابر 2π و مقادیر ماکزیمم و مینیمم این تابع به ترتیب 1 و -1 است.

می‌خواهیم تاثیر ضریب a را در تابع زیر بر دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم این تابع، بررسی نماییم. 

fx=a.sinx

تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

2- دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع زیر را محاسبه می‌کنیم:

fx=a.sinx

fx=asinxTfx=2π1sinx1aasinxamaxf=aminf=a   ;    a>0

3- دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع زیر را محاسبه می‌کنیم:

fx=asinx+c

if     1sinx1aasinxaa+cc+asinxa+ca+cfxa+cmaxf=a+cminf=a+c

دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع fx=sinb.x 

1- می‌خواهیم تاثیر ضریب b را در تابع زیر بر دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم این تابع، بررسی نماییم:

fx=sinb.x

تابع مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

2- دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع زیر را محاسبه می‌کنیم:

fx=a.sinb.x

fx=asinbxTfx=2πb1sinbx1aasinbxamaxf=aminf=a   ;    a>0

3- دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع زیر را محاسبه می‌کنیم:

fx=asinb.x+c

Tfx=2πbif  1sinbx1aasinbxaa+casinbx+ca+cmaxf=a+cminf=a+c

تذکر

تابع fx=asinb.x+c دارای مقدار ماکزیمم a+c و مقدار مینیمم -a+c و دوره تناوب 2πb است.  

if   fx=a  sinbx+c    ;    Tfx=2πb    ,maxf=a+cminf=a+c

در این تابع، ضریب a در دوره تناوب تابع بی‌تاثیر است، اما در مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع تاثیر گذار است.

در این تابع، ضریب b در دوره تناوب تابع، ‌تاثیر‌گذار است اما در مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع، بی‌تاثیر  است.

در این تابع، مقدار c نیز از آنجا که فقط باعث انتقال نمودار می‌شود، در دوره تناوب بی‌تاثیر است و صرفا در مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع تاثیر‌گذار است. 

با داشتن ضابطه تابعی به صورت فوق، می‌توان مقادیر ماکزیمم و مینیمم و دوره تناوب تابع را به‌دست آورد و برعکس با داشتن مقادیر ماکزیمم و مینیمم و دوره تناوب یک تابع مثلثاتی، می‌توان ضابطه تابع مورد نظر را به‌دست آورد.

دریافت مثال

رسم تابع مثلثاتی سینوسی با استفاده از انتقال

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع مثلثاتی (سینوس)

4,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید