سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع معکوس مثلثاتی (سینوس)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 46 مرتبه

تعریف تابع معکوس مثلثاتی سینوس

تابع زیر  یک به یک در نتیجه معکوس پذیر است:

f:π2,π21,1fx=sinx

تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

و معکوس آن را در این فاصله بهsin1xیاArcsinxنشان داده و داریم:

f1:1,1π2,π2f1x=sin1x=Arcsinx

Arcsinx را آرک سینوس بخوانید و به‌معنی کمان یا زاویه اصلی است که سینوس آن برابر x می‌باشد.

رسم تابع معکوس مثلثاتی سینوس

برای رسم نمودار تابع زیر قرینه نمودار تابعfx=sinxرا نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم رسم می‌کنیم:

f1x=Arcsinx=sin1x

تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو  

نکته

معکوس تابع fx=sinx را در فواصل دیگر، رسم می‌کنیم: 

تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

معکوس تابع y=sinx را وقتی xπ2,π2 به‌صورت تابع y=Arcsinx تعریف کردیم.

می‌دانیم که تابع y=sinx در فاصله π2,3π2 و به طور کلی در هریک از فاصله‌های زیر معکوس پذیر است:

2kπ+π2,2kπ+3π2,2kππ2,2kπ+π2

اکنون فقط معکوس آن را در فاصله π2,3π2 محاسبه می‌کنیم. 

معکوس تابع y=sinx در هر یک از فواصل زیر به صورت y=2kπ+Arcsinx که با انتقال‌های قائم به اندازه 2kπ از روی نمودار  y=Arcsinx به‌دست می‌آید.

2kππ2,2kπ+π2

معکوس تابع y=sinx در هر یک از فواصل زیر به‌صورت y=2kπ+πArcsinx است. 

2kπ+π2,2kπ+3π2

یکنوایی یا اکیدا یکنوایی تابع معکوس مثلثاتی سینوس

تابع f1x=Arcsinx از فاصله 1,1 به روی π2,π2 اکیدا صعودی است، زیرا تابع fx=sinx از π2,π2 به روی 1,1 اکیدا صعودی است.   

تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

x1,x21,1if  x1<x2Arcsinx1<Arcsinx2f1x1<f1x2

بررسی زوج و فرد بودن تابع معکوس مثلثاتی سینوس

قضیه

تابع y=Arcsinx تابعی فرد است.

اثبات

x11,1x1,1

Arcsinx=yx=sinyx=sinyx=sinyy=ArcsinxArcsinx=ArcsinxArcsinx=Arcsinx

ترکیب تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی سینوس

برای ترکیبfx=sinxوf1x=Arcsinxدو حالت زیر را در نظر می‌گیریم:  

حالت اول:

fof1x=xff1x=xsinArcsinx=x    ;    Dfof1=Df1=1,1

تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

y=sinArcsinx=xDf=1,1

حالت دوم:

f1ofx=xf1fx=xArcsinsinx=x    ;   Df1of=Df=π2,π2

تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

y=Arcsinsinx=xDf=π2,π2

نکته

می‌توانیم تابع y=Arcsinsinx را در حالت کلی بررسی کنیم:  

این تابع در R متناوب و دوره تناوب آن T=2π است، کافی است حاصل آن در فاصله π2,3π2 به‌دست آوریم، بقیه فواصل بنابر تناوب مشخص می‌شود. به‌طورکلی: 

y=Arcsinsinx=x2kπ          ;   2kππ2x2kπ+π2  π-x+2kπ   ;    2kπ+π2x2kπ+3π2


تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

تذکر

برای محاسبه Arcsinsinα چنان sinα را ساده می‌کنیم تا زاویه در فاصله π2,π2 قرار گیرد.

تمرین

مقدار زیر را محاسبه کنید:

Arcsin  sin5π6

=Arcsin  sinππ6=Arcsinsinπ6=π6

برای ارسال نظر وارد سایت شوید