سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع معکوس مثلثاتی (سینوس)

آخرین ویرایش: 01 اسفند 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف تابع معکوس مثلثاتی سینوس

تابع زیر یک به یک در نتیجه معکوس پذیر است:

$\{\begin{cases} f : [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \to [- 1, 1] \\ f (x) = \sin x \end{cases}$

تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

و معکوس آن را در این فاصله به $\sin^{- 1} x$ یا $A r c \sin x$ نشان داده و داریم:

$\{\begin{matrix} f^{- 1} : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \\ f^{- 1} (x) = \sin^{- 1} x = A r c \sin x \end{matrix}$

$A r c \sin x$ را آرک سینوس بخوانید و به‌معنی کمان یا زاویه اصلی است که سینوس آن برابر $x$ می‌باشد.

رسم تابع معکوس مثلثاتی سینوس

برای رسم نمودار تابع زیر قرینه نمودار تابع $f (x) = \sin x$ را نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم رسم می‌کنیم:

$f^{- 1} (x) = A r c \sin x = \sin^{- 1} x$

تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

یادآوری

تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی سینوس را در زیر مشاهده می‌کنید:

تابع معکوس مثلثاتی - پیمان گردلو

نکته

معکوس تابع $f (x) = \sin x$ را در فواصل دیگر، رسم می‌کنیم:

تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

معکوس تابع $y = \sin x$ را وقتی $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ به‌صورت تابع $y = A r c \sin x$ تعریف کردیم.

می‌دانیم که تابع $y = \sin x$ در فاصله $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ و به طور کلی در هریک از فاصله‌های زیر معکوس پذیر است:

$[2 k π + \frac{π}{2}, 2 k π + \frac{3 π}{2}], [2 k π - \frac{π}{2}, 2 k π + \frac{π}{2}]$

اکنون فقط معکوس آن را در فاصله $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ محاسبه می‌کنیم.

معکوس تابع $y = \sin x$ در هر یک از فواصل زیر به صورت $y = 2 k π + A r c \sin x$ که با انتقال‌های قائم به اندازه $2 k π$ از روی نمودار $y = A r c \sin x$ به‌دست می‌آید.

$[2 k π - \frac{π}{2}, 2 k π + \frac{π}{2}]$

معکوس تابع $y = \sin x$ در هر یک از فواصل زیر به‌صورت $y = 2 k π + π - A r c \sin x$ است.

$[2 k π + \frac{π}{2}, 2 k π + \frac{3 π}{2}]$

یکنوایی یا اکیدا یکنوایی تابع معکوس مثلثاتی سینوس

تابع $f^{- 1} (x) = A r c \sin x$ از فاصله $[- 1, 1]$ به روی $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ اکیدا صعودی است، زیرا تابع $f (x) = \sin x$ از $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ به روی $[- 1, 1]$ اکیدا صعودی است.

تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \forall x_{1}, x_{2} \in [- 1, 1] \\ i f x_{1} < x_{2} \Rightarrow A r c \sin x_{1} < A r c \sin x_{2} \Rightarrow f^{- 1} (x_{1}) < f^{- 1} (x_{2}) \end{array}$

بررسی زوج و فرد بودن تابع معکوس مثلثاتی سینوس

قضیه

تابع $y = A r c \sin x$ تابعی فرد است.

اثبات

$\forall x_{1} \in [- 1, 1] \Rightarrow - x \in [- 1, 1]$

$\begin{array}{l} A r c \sin (- x) = y \\ \Rightarrow - x = \sin y \\ \Rightarrow x = - \sin y \\ \Rightarrow x = \sin (- y) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - y = A r c \sin x \\ \Rightarrow - A r c s i n (- x) = A r c \sin x \\ \Rightarrow A r c \sin (- x) = - A r c \sin x \end{array}$

ترکیب تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی سینوس

برای ترکیب $f (x) = \sin x$ و $f^{- 1} (x) = A r c \sin x$ دو حالت زیر را در نظر می‌گیریم:

حالت اول

$\begin{array}{l} f o f^{- 1} (x) = x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (f^{- 1} (x)) = x \end{array}$

$\Rightarrow \sin (A r c \sin x) = x; D_{f o f^{- 1}} = D_{f^{- 1}} = [- 1, 1]$

تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} y = \sin (A r c \sin x) = x \\ D_{f} = [- 1, 1] \end{cases}$

حالت دوم

$\begin{array}{l} f^{- 1} o f (x) = x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{- 1} (f (x)) = x \end{array}$

$\Rightarrow A r c \sin (\sin x) = x; D_{f^{- 1} o f} = D_{f} = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} y = A r c \sin (\sin x) = x \\ D_{f} = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \end{cases}$

نکته

می‌توانیم تابع $y = A r c \sin (\sin x)$ را در حالت کلی بررسی کنیم:

این تابع در $R$ متناوب و دوره تناوب آن $T = 2 π$ است، کافی است حاصل آن در فاصله $[- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ به‌دست آوریم، بقیه فواصل بنابر تناوب مشخص می‌شود. به‌طورکلی:

$y = A r c \sin \sin x$

$\{\begin{cases} x - 2 k π; 2 k π - \frac{π}{2} \leq x \leq 2 k π + \frac{π}{2} \\ π - x + 2 k π; 2 k π + \frac{π}{2} \leq x \leq 2 k π + \frac{3 π}{2} \end{cases}$

تابع معکوس مثلثاتی سینوس - پیمان گردلو

تذکر

برای محاسبه $A r c \sin (\sin α)$ چنان $\sin α$ را ساده می‌کنیم تا زاویه در فاصله $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ قرار گیرد.

تمرین

مقدار زیر را محاسبه کنید:

$A r c \sin \sin (\frac{5 π}{6})$

$\begin{array}{l} = A r c \sin \sin (π - \frac{π}{6}) \\ = A r c sinsin \frac{π}{6} \\ = \frac{π}{6} \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تابع معکوس مثلثاتی (سینوس)

تعریف تابع معکوس مثلثاتی سینوس

رسم تابع معکوس مثلثاتی سینوس

یکنوایی یا اکیدا یکنوایی تابع معکوس مثلثاتی سینوس

بررسی زوج و فرد بودن تابع معکوس مثلثاتی سینوس

ترکیب تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی سینوس

حالت اول

حالت دوم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟