سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع معکوس مثلثاتی (کسینوس)

آخرین ویرایش: 01 اسفند 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف تابع معکوس مثلثاتی کسینوس

تابع زیر یک به یک در نتیجه معکوس پذیر است:

$\{\begin{cases} f : [0, π] \to [- 1, 1] \\ f (x) = \cos x \end{cases}$

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

و معکوس آن را در این فاصله به $\cos^{- 1} x$ یا $A r c \cos x$ نشان داده و داریم:

$\{\begin{cases} f^{- 1} : [- 1, 1] \to [0, π] \\ f^{- 1} (x) = \cos^{- 1} x = A r c \cos x \end{cases}$

$A r c \cos x$ را آرک کسینوس بخوانید و به‌معنی کمان یا زاویه اصلی است که کسینوس آن برابر $x$ می‌باشد.

رسم تابع معکوس مثلثاتی کسینوس

برای رسم نمودار تابع زیر قرینه نمودار تابع $f (x) = \cos x$ را نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم رسم می‌کنیم:

$f^{- 1} (x) = A r c \cos x = \cos^{- 1} x$

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

یادآوری

تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی کسینوس را در زیر مشاهده می‌کنید:

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس

نکته

معکوس تابع $f (x) = \cos x$ را در فواصل دیگر، رسم می‌کنیم:

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

تابع $y = \cos x$ در هریک از فواصل زیر یک به یک در نتیجه معکوس پذیر است.

$[2 k π - π, 2 k π], [2 k π, 2 k π + π]$

$i f π \leq x \leq 2 π \Rightarrow 0 \leq x - π \leq π$

$\begin{array}{l} y = \cos x \\ \Rightarrow y = - \cos (x - π) \\ \Rightarrow - y = \cos (x - π) \\ \Rightarrow x - π = A r c \cos (- y) \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \Rightarrow x - π = π - A r c \cos y \\ \Rightarrow x = 2 π - A r c \cos y \\ \Rightarrow f^{- 1} (x) = 2 π - A r c \cos x \end{array} \end{array}$

معکوس تابع در فاصله $[π, 2 π]$ به صورت زیر است:

$y = 2 π - A r c \cos x$

معکوس تابع $y = \cos x$ در هر یک از فواصل زیر به‌صورت $y = 2 k π + A r c \cos x$ است:

$[2 k π, (2 k + 1) π]$

که با انتقال به اندازه $2 k π$ از روی نمودار $y = A r c \cos x$ به‌دست می‌آید.

معکوس تابع $y = \cos x$ در هر یک از فواصل زیر به‌صورت $y = 2 k π + π - A r c \cos x$ است.

$[(2 k - 1) π, 2 k π]$

که با انتقال قائم به اندازه $2 k π$ از روی نمودار $y = - A r c \cos x$ به‌دست می‌آید.

یکنوایی یا اکیدا یکنوایی تابع معکوس مثلثاتی کسینوس

تابع $f^{- 1} (x) = A r c \cos x$ از فاصله $[- 1, 1]$ به روی $[0, π]$ اکیدا نزولی است، زیرا تابع $f (x) = \cos x$ از $[0, π]$ به روی $[- 1, 1]$ اکیدا نزولی است.

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \forall x_{1}, x_{2} \in [- 1, 1] \end{array}$

$i f x_{1} < x_{2} \Rightarrow A r c \cos x_{1} > A r c \cos x_{2} \Rightarrow f^{- 1} (x_{1}) > f^{- 1} (x_{2})$

بررسی زوج و فرد بودن تابع معکوس مثلثاتی کسینوس

قضیه

تابع $y = A r c \cos x$ نه تابعی زوج است و نه تابعی فرد است.

اثبات

$\forall x_{1} \in [- 1, 1] \Rightarrow - x \in [- 1, 1]$

$\begin{array}{l} A r c \cos (- x) = y \\ \Rightarrow - x = \cos y \\ \Rightarrow x = - \cos y \\ \Rightarrow x = \cos (π - y) \\ \Rightarrow π - y = A r c \cos x \\ \Rightarrow y = π - A r c \cos x \end{array}$

$\Rightarrow A r c \cos (- x) = π - A r c \cos x$

ترکیب تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی کسینوس

برای ترکیب $f (x) = \cos x$ و $f^{- 1} (x) = A r c \cos x$ دو حالت زیر را در نظر می‌گیریم:

حالت اول

$\begin{array}{l} f o f^{- 1} (x) = x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (f^{- 1} (x)) = x \end{array}$

$\Rightarrow \cos (A r c \cos x) = x; D_{f o f^{- 1}} = D_{f^{- 1}} = [- 1, 1]$

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} y = \cos (A r c \cos x) = x \\ D_{f} = [- 1, 1] \end{cases}$

حالت دوم

$\begin{array}{l} f^{- 1} o f (x) = x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{- 1} (f (x)) = x \end{array}$

$\Rightarrow A r c \cos (\cos x) = x; D_{f^{- 1} o f} = D_{f} = [0, π]$

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} y = A r c \cos (\cos x) = x \\ D_{f} = [0, π] \end{cases}$

نکته

می‌توانیم تابع $y = A r c \cos (\cos x)$ را در حالت کلی بررسی کنیم:

این تابع در $R$ متناوب و دوره تناوب آن $T = 2 π$ است، کافی است حاصل آن در فاصله $[0, 2 π]$ بدست آوریم، بقیه فواصل بنابر تناوب مشخص می‌شود. به‌طورکلی:

$y = A r c \cos (\cos x) = \{\begin{cases} x - 2 k π; 2 k π \leq x \leq π + 2 k π \\ - x + 2 k π; 2 k π - π \leq x \leq 2 k π \end{cases}$

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

تابع فوق با تابع $f (x) = |x - 2 n π|$ با شرط زیر برابر است:

$2 n π \leq x < 2 (n + 1) π$

تذکر

برای محاسبه $A r c \cos (\cos α)$ چنان $\cos α$ را ساده می‌کنیم تا زاویه در فاصله $[0, π]$ قرار گیرد.

تمرین

مقدار زیر را محاسبه کنید:

$A r c \cos \cos \frac{36 π}{7}$

$\begin{array}{l} = A r c \cos \cos (4 π + \frac{8 π}{7}) \\ = A r c coscos (\frac{8 π}{7}) \\ = A r c coscos (π + \frac{π}{7}) \\ = A r c \cos (- \cos \frac{π}{7}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = π - A r c c o s (\cos \frac{π}{7}) \\ = π - \frac{π}{7} \\ = \frac{6 π}{7} \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تابع معکوس مثلثاتی (کسینوس)

تعریف تابع معکوس مثلثاتی کسینوس

رسم تابع معکوس مثلثاتی کسینوس

یکنوایی یا اکیدا یکنوایی تابع معکوس مثلثاتی کسینوس

بررسی زوج و فرد بودن تابع معکوس مثلثاتی کسینوس

ترکیب تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی کسینوس

حالت اول

حالت دوم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع