سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع معکوس مثلثاتی (کسینوس)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 40 مرتبه

تعریف تابع معکوس مثلثاتی کسینوس

تابع زیر یک به یک در نتیجه معکوس پذیر است:

f:0,π1,1fx=cosx

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

و معکوس آن را در این فاصله به cos1x یا Arccosx نشان داده و داریم:

f1:1,10,πf1x=cos1x=Arccosx

Arccosx را آرک کسینوس بخوانید و به‌معنی کمان یا زاویه اصلی است که کسینوس آن برابر x می‌باشد.

رسم تابع معکوس مثلثاتی کسینوس

برای رسم نمودار تابع زیر قرینه نمودار تابع fx=cosx را نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم رسم می‌کنیم:

f1x=Arccosx=cos1x

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

نکته

معکوس تابع fx=cosx را در فواصل دیگر، رسم می‌کنیم: 

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

تابع y=cosx در هریک از فواصل زیر یک به یک در نتیجه معکوس پذیر است.

2kπ-π,2kπ,2kπ,2kπ+π

if   πx2π0xππ


y=cosxy=cosxπy=cosxπxπ=Arccosyxπ=πArccosyx=2πArccosyf1x=2πArccosx

معکوس تابع در فاصله π,2π به صورت زیر است:

y=2πArccosx

معکوس تابع y=cosx در هر یک از فواصل زیر  به‌صورت y=2kπ+Arccosx است:

2kπ,2k+1π

که با انتقال به اندازه 2kπ از روی نمودار  y=Arc cosx به‌دست می‌آید.

معکوس تابع y=cosx در هر یک از فواصل زیر  به‌صورت y=2kπ+πArc cosx است.

2k-1π,2kπ

که با انتقال قائم به اندازه 2kπ از روی نمودار  y=-Arc cosx به‌دست می‌آید.

یکنوایی یا اکیدا یکنوایی تابع معکوس مثلثاتی کسینوس

تابع f1x=Arccosx از فاصله 1,1 به روی 0,π اکیدا نزولی است، زیرا تابع fx=cosx از 0,π به روی 1,1 اکیدا نزولی است. 

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

x1,x21,1if   x1<x2Arc  cosx1>Arc cosx2f1x1>f1x2

بررسی زوج و فرد بودن تابع معکوس مثلثاتی کسینوس

قضیه

تابع y=Arc cosx نه تابعی زوج است و نه تابعی فرد است.

اثبات

x11,1x1,1


Arccosx=yx=cosyx=cosyx=cosπyπy=Arccosxy=πArccosxArccosx=πArccosx

ترکیب تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی کسینوس

برای ترکیبfx=cosxوf1x=Arc cosxدو حالت زیر را در نظر می‌گیریم:

حالت اول:

fof1x=xff1x=xcosArccosx=x    ;    Dfof1=Df1=1,1

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

y=cosArccosx=xDf=1,1

حالت دوم:

f1ofx=xf1fx=xArccoscosx=x    ;   Df1of=Df=0,π

تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

y=Arccoscosx=xDf=0,π

نکته

می‌توانیم تابع y=Arccoscosx را در حالت کلی بررسی کنیم:  

این تابع در R متناوب و دوره تناوب آن T=2π است، کافی است حاصل آن در فاصله 0,2π بدست آوریم، بقیه فواصل بنابر تناوب مشخص می‌شود. به‌طورکلی: 

y=Arccoscosx=x2kπ       ;     2kπxπ+2kπx+2kπ    ;    2kππx2kπ


تابع معکوس مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

تابع فوق با تابع fx=x2nπ با شرط زیر برابر است:

2nπx<2n+1π

تذکر

برای محاسبه Arc coscosα چنان cosα را ساده می‌کنیم تا زاویه در فاصله 0,π قرار گیرد.

تمرین

مقدار زیر را محاسبه کنید:

Arc cos  cos36π7

=Arccos  cos4π+8π7=Arccoscos8π7=Arccoscosπ+π7=Arccoscosπ7=πArccoscosπ7=ππ7=6π7

برای ارسال نظر وارد سایت شوید