سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع معکوس مثلثاتی (کتانژانت)

آخرین ویرایش: 01 اسفند 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

تابع زیر یک به یک در نتیجه معکوس پذیر است:

$\{\begin{cases} f : (0, π) \to R \\ f (x) = c o t x \end{cases}$

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

و معکوس آن را در این فاصله به $c o t^{- 1} x$ یا $A r c c o t x$ نشان داده و داریم:

$\{\begin{cases} f^{- 1} : R \to (0, π) \\ f^{- 1} (x) = \cot^{- 1} x = A r c \cot x \end{cases}$

$A r c c o t x$ را آرک کتانژانت بخوانید و به معنی کمان یا زاویه اصلی است که کتانژانت آن برابر $x$ می‌باشد.

رسم تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

برای رسم نمودار تابع زیر قرینه نمودار تابع $f (x) = c o t x$ را نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم رسم می‌کنیم:

$f^{- 1} (x) = A r c c o t x = c o t^{- 1} x$

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

دامنه تابع $f^{- 1} (x) = A r c c o t x$ اعداد حقیقی $R$ و برد آن بازه $(0, π)$ است.

نکته

معکوس تابع $f (x) = c o t x$ را در فواصل دیگر، رسم می‌کنیم:

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

چنان‌چه مشاهده کردیم تابع $f (x) = c o t x$ در هر یک از فواصل $(k π, (k + 1) π)$ اکیدا نزولی و معکوس پذیر است، در هر فاصله معکوس آن با انتقال به اندازه $k π$ به‌دست می‌آید، یعنی معکوس آن در هر یک از فواصل فوق به صورت $y = k π + A r c \cot x$ است.

یکنوایی یا اکیدا یکنوایی تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

تابع $f^{- 1} (x) = A r c c o t x$ از $R$ به روی $(0, π)$ اکیدا نزولی است، زیرا تابع $f (x) = c o t x$ از $(0, π)$ به روی $R$ اکیدا نزولی و یک به یک است.

$\begin{array}{l} \forall x_{1}, x_{2} \in D_{f} = R \end{array}$

$i f x_{1} < x_{2} \Rightarrow A r c c o t x_{1} > A r c c o t x_{2} \Rightarrow f^{- 1} (x_{1}) < f^{- 1} (x_{2})$

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

مجانب‌های تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

خطوط $x = 0, x = π$ مجانب‌های قائم تابع $y = c o t x$ در فاصله اصلی آن می‌باشند، در نتیجه خطوط $y = 0, y = π$ مجانب‌های افقی تابع $y = A r c c o t x$ می‌باشند:

$\{\begin{cases} \lim_{x \to + \infty} A r c \cot x = 0 \\ \lim_{x \to - \infty} A r c \cot x = π \end{cases}$

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

بررسی زوج و فرد بودن تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

قضیه

تابع $y = A r c c o t x$ نه تابعی فرد است و نه تابعی زوج است.

اثبات

$\forall x \in R \Rightarrow - x \in R$

$\begin{array}{l} y = A r c \cot (- x) \\ \Rightarrow - x = \cot y \\ \Rightarrow x = - \cot y \\ \Rightarrow x = \cot (π - y) \\ \Rightarrow π - y = A r c \cot x \\ \Rightarrow y = π - A r \cot x \end{array}$

$\Rightarrow A r c \cot (- x) = π - A r c \cot x$

ترکیب تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی کتانژانت

برای ترکیب $f (x) = c o t x$ و $f^{- 1} (x) = A r c c o t x$ دو حالت زیر را در نظر می‌گیریم:

حالت اول

$\begin{array}{l} f o f^{- 1} (x) = x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (f^{- 1} (x)) = x \end{array}$

$\Rightarrow c o t (A r c c o t x) = x; D_{f o f^{- 1}} = D_{f^{- 1}} = R$

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

$y = c o t (A r c c o t x) = x; x \in R$

حالت دوم

$\begin{array}{l} f^{- 1} o f (x) = x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{- 1} (f (x)) = x \end{array}$

$\Rightarrow A r c c o t (c o t x) = x; D_{f^{- 1} o f} = D_{f} = (0, π)$

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

$y = A r c c o t (c o t x) = x; 0 < x < π$

نکته

می‌توانیم تابع $y = A r c c o t (c o t x)$ را در حالت کلی بررسی کنیم:

این تابع در $R$ متناوب و دوره تناوب آن $T = π$ است، لذا نمودار در فاصله $(0, π)$ است و مرتبا تکرار می‌شود.

به‌طور کلی ضابطه تابع در $R - \{x |x = k π, k \in Z\}$ به‌صورت زیر است:

$y = A r c \cot (\cot x) = x - k π; k π < x < (k + 1) π$

می‌توان تابع با ضابطه $y = A r c c o t (c o t x)$ را به صورت تابع جزء‌صحیح به‌صورت زیر بیان کرد:

$y = A r c \cot (\cot x) = x - π [\frac{x}{π}]; x \neq k π, k \in Z$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تابع معکوس مثلثاتی (کتانژانت)

تعریف تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

رسم تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

یکنوایی یا اکیدا یکنوایی تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

مجانب‌های تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

بررسی زوج و فرد بودن تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

ترکیب تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی کتانژانت

حالت اول

حالت دوم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟