سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع معکوس مثلثاتی (کتانژانت)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 40 مرتبه

تعریف تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

تابع زیر یک به یک در نتیجه معکوس پذیر است:

f:0,πRfx=cotx

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

و معکوس آن را در این فاصله به cot1x یا Arc cotx نشان داده و داریم:

f1:R0,πf1x=cot1x=Arccotx

Arc cotx را آرک کتانژانت بخوانید و به معنی کمان یا زاویه اصلی است که کتانژانت آن برابر x می‌باشد.

رسم تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

برای رسم نمودار تابع زیر قرینه نمودار تابع fx=cotx را نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم رسم می‌کنیم:

f1x=Arc cotx=cot1x

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

دامنه تابع f1x=Arc cotx اعداد حقیقی R و برد آن بازه 0,π است. 

نکته

معکوس تابع fx=cotx را در فواصل دیگر، رسم می‌کنیم: 

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

چنان‌چه مشاهده کردیم تابع fx=cotx در هر یک از فواصل kπ,k+1π اکیدا نزولی و معکوس پذیر است، در هر فاصله معکوس آن با انتقال به اندازه kπ به‌دست می‌آید، یعنی معکوس آن در هر یک از فواصل فوق به صورت y=kπ+Arccotx است. 

یکنوایی یا اکیدا یکنوایی تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

تابع f1x=Arc cotx از R به روی 0,π اکیدا نزولی است، زیرا تابع fx=cotx از 0,π به روی R اکیدا نزولی و یک به یک است.

x1,x2Df=Rif  x1<x2Arc cotx1>Arc cotx2f1x1<f1x2

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

مجانب‌های تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

خطوط x=0    ,  x=π مجانب‌های قائم تابع y=cotx در فاصله اصلی آن می‌باشند، در نتیجه خطوط y=0    ,y=π مجانب‌های افقی تابع y=Arccotx می‌باشند: 

limx+Arccotx=0limxArccotx=π

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

بررسی زوج و فرد بودن تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت

قضیه

تابع y=Arccotx نه تابعی فرد است و نه تابعی زوج است.

اثبات

xRxR

y=Arccotxx=coty                                          x=coty                                          x=cotπy                                          πy=Arccotx                                          y=πArcotx                                          Arccotx=πArccotx

 ترکیب تابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی کتانژانت

برای ترکیب fx=cotx و f1x=Arc cotx دو حالت زیر را در نظر می‌گیریم:

حالت اول:

fof1x=xff1x=xcotArc cotx=x    ;     Dfof1=Df1=R

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

y=cotArc cotx=x    ;    xR

حالت دوم:

f1ofx=xf1fx=xArc cotcotx=x   ;   Df1of=Df=0,π

تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

y=Arc cotcotx=x     ;0<x<π

نکته

می‌توانیم تابع y=Arc cotcotx را در حالت کلی بررسی کنیم: 

این تابع در R متناوب و دوره تناوب آن T=π است، لذا نمودار در فاصله 0,π است و مرتبا تکرار می‌شود. 

به‌طور کلی ضابطه تابع در Rxx=kπ,kZ به‌صورت زیر است:

y=Arccotcotx=xkπ    ;    kπ<x<k+1π


تابع معکوس مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

می‌توان تابع با ضابطه y=Arc cotcotx را به صورت تابع جزء‌صحیح به‌صورت زیر بیان کرد:

y=Arccotcotx=xπxπ    ;    xkπ,kZ

برای ارسال نظر وارد سایت شوید